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002导数几何的意义


数学科学案

序号 002

高二年级

班 教师

王德鸿

学生
例 2、已知曲线 y= x3 ? . (1)求曲线在 x=2 处的切线方程; (2)求曲线过点(2,4)的切线方程.
1 3 4 3

002 导数几何的意义

习目标: 【知识与技能目标】通过图像探究,理解导数的几何意义,体会导数在刻画函数性质中的作用授 【过程与方法目标】 培养学生分析、抽象、概括等思维能力;通过“以直代曲”思想的具体运动,是学生达到思维方式的迁移, 培养学生科学的思维习惯。 【情感态度价值观目标】 渗透“逼近”和“以直代曲”思想,能激发学生的学习兴趣,培养学生不断发现、探索新知识的精神,引导 学生从有限中认识无限,体会量变和质变的辩证关系,感受数学思想方法的魅力。 重、难点分析 重点:导数的几何意义,导数的实际应用, “以直代曲”数学思想方法. 难点:对导数几何意义的理解与掌握,在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解. 学习过程: 知识点回顾: 函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数等于在该点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率, 即 f ?( x0 ) ? lim 说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出 P 点的坐标; ②求出函数在点 x0 处的变化率 f ?( x0 ) ? lim ③利用点斜式求切线方程. 例题分析:
?x ?0 ?x ?0

练习:已知曲线 f ( x) ? x3 ? 3x ,过点(0, 16)作曲线 f(x)的切线,求曲线的切线方程。

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?k ?x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k 得到曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率; ?x
【方法总结】 1、要注意“在”和“过” : “在 x ? 2 处的切线方程”即 x ? 2 是切点的横坐标;而“过 x ? 2 或过(2,4)点的切 线方程”则 x ? 2 不一定是切点的横坐标(2,4)点有可能不是切点,此时要用待定系数法,设出切点. 2、求曲线的切线方程有两种情况, 一是求曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线方程,其方法如下: (1)求出函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率. (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为 y=y0+f′(x0)(x-x0). 二是求曲线 y=f(x)过点 P(x0,y0)的切线方程,其方法如下: (1)设切点 A(xA,f(xA)),求切线的斜率 k=f′(xA),写出切线方程.

sin x 例 1、求曲线 y ? 在点 M (? , 0) 处的切线方程。 x

练习:求函数 y ? x ln(? x) 在 x ? ?1 处的切线方程.

(2)把 P(x0,y0)的坐标代入切线方程,建立关于 xA 的方程,解得 xA 的值,进而写出切线方程. 例 3、设直线 y=

1 x+b 是曲线 y=lnx(x>0)的一条切线,试求实数 b 的值 2

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练习: 8、已知抛物线 y=ax +bx+c 通过点(1, 1),且在点(2, -1)处的切线与直线 y=x-3 平行,求 a, b, c 的值。 已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1, f(1))处的切线方程是 y=
2

1 x+2,则 f(1)+ f ? (1)=___________。 2

课堂小结: 导数几何意义的理解,利用导数几何意义求切线方程时需注意的问题

课后作业: 1、已知曲线 y ? 2 x 2 上的一点 A(2,8) ,则点 A 处的切线斜率为( A 4 B 16 C 8 D 2 9、在曲线 y ? x 2 上过哪一点的切线,
1



2、曲线 y ? e 2 在点(4, e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
2

x





(1)平行于直线 y ? 4 x ? 5 ;

(2)垂直于直线 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 ;

9 2 A. e 2
3

B. 4e

2

C. 2e

2

D. e

2

3、曲线 y ? x 在点 P 处的切线斜率为 k ,当 k =3 时, P 点坐标为 ( A.(-8,-2) B.(-1,-1) , (1,1) C.(2,8) D. (?



1 1 ,? ) 2 8

4、曲线 y ? A.

? 6

1 3 x ? x 2 ? 5 在 x ? 1 处的切线的倾斜角是( 3 3? ? B. C. 4 4
x

) D.

? 3

5、设函数 f ( x) ? 1 ? e 的图像与 x 轴相交于点 P,则曲线在点 P 处的切线方程

6、若曲线 y ? kx ? ln x 在点

?1, k ? 处的切线平行于 x 轴,则 k ? ______.

7、设函数 f ( x) ? ax ?

1 (a,b∈Z),曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2, f ( 2)) 处的切线方程为 y=3.求 f ( x) 的解析式; x?b

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