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高阶等差数列与应用论文


高阶等差数列的探究与应用 一、问题提出 问题 1:数列 1,2,3…,的通项公式怎样?如何求其前项和? 问题 2:数列, ,…的通项公式怎样?如何求其前项和? 二、问题分析 对于问题 1:显然这是一个等差数列,首项,公差,通项公式.其 前项和 仔细观察其前项和公式和通项公式,具有明显的组合数特征,对于 通项公式有 于是…+ +++…+ …++…+ = 由此可知,对于一个等差数列,通项公式 其前项和=。 而对于一个等差数列,它的次幂的通项公式和前项和又会怎样? 这里先以数列, ,…,为例作进一步探究。 由于在数列 1,2,3…,的通项公式中,为数列的首项,为公差, 也可看作由原数列每相邻两项与之差形成的新数列:1,1,1,…, 1 的首项,不妨记作,即有,由此可知用与的线性组合可表示,相 应的系数为与,这会使我们产生类比的联想:是否可用、与的线性 组合来表示, ,…,.且相应的系数为、 、?这里有: :, ,…, ;其中. :3,5,7,…,;其中. :2,2,2,…,2;其中. 不妨令 + 而 此恒等式表明猜想:, ,…,.的通项公式完全可以改写为,由此很 容易推出此数列的前项和公式: …+ … + … ……+ … 三、抽象概括 1、对于常数数列,我们称之为零阶等差数列,通项公式,前项和 公式=; 2、对于常见的等差数列,我们称之为一阶等差数列,通项公式, 前项和公式=; 3、若为一阶等差数列,则称为二阶等差数列,令,即为二阶等差数 列,其通项公式 ,其中… … 其中。 二阶等差数列其前项和公式. 4、若为一阶等差数列,则称为阶等差数列,令,即为阶等差数列,其 通项公式 ,其中… … 其前项和公式 注:1、在中,均为非负数,且,若; 若;若; 2、 ; 3、当(常数)时,则数列为阶等差数列可通过公式证明阶等差数 列的通项公式: . 四、应用举例 试求下列各数列的组合数通项公式: (1)1,2,3…,; (2), ,…,; (3), ,…,; (4), ,…,; 解: (1)此数列显然是一阶等差数列,则: , 所以通项公式;其前项和=。 (2)此数列是二阶等差数列,则: , , 所以通项公式 其前项和 (3)数列 , ,…,为三阶等差数列。其中,,…, , ,则:, , , 此三阶等差数列的组合数通项公式为: 其前项和 (3)数列, ,…,为三阶等差数列。其中,,…, , ,则: , , , 所以,此四阶等差数列的组合数公式为: 其前项和 五、归纳总结: 由上述例题可知,连续自然数(从 1 开始)的 k 次幂所构成的数 列为 k 阶等差数列,通项公式均可由可用、 、…来线性表示相应的 系数为、、…,而 、 …… 其前项和公式 可由通项公式变换而来: 因此如何尽快地确定成为关键,下面模仿二项式定理的二项式系 数的确定办法——杨辉三角而发明出确定从 1 开始的连续自然数之 次幂形成的阶等差数列的通项公式中的、 、…的系数三角表: 0阶 一阶: 二阶: 三阶: 四阶: 五阶: 六阶: 对此数表的解释:1、这里的 0 阶等差数列的指数里这一特定的常 数列; 2、某阶等差数列的系数即为同一横行中后面表中各数据,其角码 表示其所在项的位置。例如在二阶等差数列中即表示的系数; 3、表中数据的内在规律:(a)每行左边排头第一个数均为 1; (b) 表中数据从第二行开始以后的每一个数据,都等于其左右肩上两个 数据与其角码之积的和。例如=15*2+50*3.特别的,最左边排头或 最右边排尾的某个数据,它们要么只有右肩上有数据,要么只有左 肩上有数

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