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059几何概型(复习设计)


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专题 059:几何概型(复习设计) 考点要求: 1.以选择题或填空题的形式考查与长度、 面积或体积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法, 特别是与平面 几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容.新课标高考对几何概型的要求较低,因此

高考试卷中此类试题以低、 中档题为主. 2.本讲复习时,准确理解几何概型的意义、构造出度量区域是用几何概型求随机事件概率的关键,复习时要多反思和多 领悟,掌握方法要领.同时要加强与平面区域、空间几何体、平面向量、函数结合等方面的训练. 知识结构: 1.几何概型 事件 A 理解为区域 Ω 的某一子区域 A,A 的概率只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与 A 的位置 和形状无关.满足以上条件的试验称为几何概型. 2.几何概型中,事件 A 的概率计算公式 P(A)= 构成事件A的区域长度?面积或体积? . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; (2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性. (3)对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而与形状和位置无关,在解题时,要 掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法. 4.常见几何模型的两种类型 (1)线型几何概型:当基本事件只受一个连续的变量控制时. (2)面型几何概型:当基本事件受两个连续的变量控制时,一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样 基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决. 基础自测 1.在线段[0,3]上任投一点,则此点坐标小于 1 的概率为( 1 A. 2 1 B. 3 1 C. 4 D.1 答案 B ).

1 解析 点坐标小于 1 的区间长度为 1,故所求其概率为 . 3

2.一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒,当某人到达路口时看见的是红 灯的概率是( 1 A. 5 ). 2 B. 5 3 C. 5 4 D. 5

30 2 解析 以时间的长短进行度量,故 P= = . 答案 B 75 5 3.有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖 机会,应选择的游戏盘是( ).
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3 2 2 1 解析 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,P(D)= , 8 8 6 3 ∴P(A)>P(C)=P(D)>P(B). 答案 A 4.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界), 则针扎到阴影区域(不包括 边界)的概率为( ).

π A. 3 C. 3 4

3 3 B. 4π D.以上全错 3 2 3 a× = a, 2 3 3

解析 设正三角形边长为 a,则外接圆半径 r= 3 2 a 4 3 3 ∴所求概率 P= = . 4π 3 π? a?2 ?3 ? 答案 B

5.在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为________. |CD| 1 1 解析 如图,这是一个长度型的几何概型题,所求概率 P= = .答案 |AB| 3 3 例题选讲: 1.与长度有关的几何概型 例 1: A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点. 点 若在该圆周上随机取一点 B, 则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为________. 分析: 用劣弧 AB 的长度与圆周长的比值. 解析

如右图,设 A、M、N 为圆周的三等分点,当 B 点取在优弧 MAN 上时,对劣弧 AB 来说,其长度小于 1,故其概率为

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2 . 3

答案

2 3

小结:将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个 随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解. 学生练习 1:取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1 m 的概率是
1 3

2.与面积有关的几何概型 例 2:设有关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率. 分析: (1)为古典概型,利用列举法求概率. (2)建立 ab 平面直角坐标系,将问题转化为与面积有关的几何概型. 解 设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”. 当 a≥0,b≥0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共有 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数 9 3 表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P(A)= = . 12 4 (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},构成事件 A 的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}, 1 3×2- ×22 2 2 所以所求的概率为 P(A)= = . 3 3×2 小结:数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键:用图形准确表示出试验的全部结果 所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式,在图形中画出事件 A 发生的区域,利用公式可求. 学生练习 2: (2011· 福建)如图,

矩形 ABCD 中, E 为边 CD 的中点. 点 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q, 则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于(

).

1 A. 4

1 1 2 B. C. D. 3 2 3

S△ABE 1 1 解析 S△ABE= |AB|· |AD|,S 矩形 ABCD=|AB||AD|.故所求概率 P= = .答案 C 2 S矩形ABCD 2 3.与体积(或角度)有关的几何概型 例 3: 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中, O 为底面 ABCD 的中心, 点 在正方体 ABCD--A1B1C1D1 内随机取一点 P, 则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________.
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解:点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心,以 1 为半径的半球外.记点 P 到点 O 的距离大于 1 为事件 A,则 1 4π 23- × ×13 2 3 π P(A)= =1- . 23 12 π 答案 1- 12 学生练习 3: (1) 如下图,在直角坐标系内,射线 OT 落在 60°的终边上,任作一条射线 OA,则射线落在∠xOT 内的 概率是
y A T

1 . 6

O

x

(2)在 500ml 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是 巩固作业: 1.若 x 可以在 x ? 1 ? 3 的条件下任意取值,则 x 是负数的概率是 2/3 .

0.004

2.在区间 ? ?1, ?1? 上任取两实数 a,b,则二次方程 x2+2ax+b2=0 的两根都为实数的概率 1/2 .
3. (2013 年高考湖北卷(文) 在区间 [?2, 4] 上随机地取一个数 x,若 x 满足 | x | ? m 的概率为 )

5 ,则 m ? __________. 6

【答案】

5 2
本题考查绝对值不等式以及几何概型的计算。由题意知 m ? 0 ,则由 | x | ? m 得 ?m ? x ? m ,所以足

| x | ? m 的概率为

m ? (?m) 2m 5 5 ? ? ,解得 m ? 。 4 ? (?2) 6 6 2

4. (2013 年高考福建卷(文) 利用计算机产生 0 ~ 1 之间的均匀随机数 a ,则事件“ 3a ? 1 ? 0 ”发生的概率为_______ ) 【答案】

1 3

1 1 1 本题考查的是几何概型求概率. 3a ? 1 ? 0 ,即 a ? ,所以 P ? 3 ? . 1 3 3
5.一只蚂蚁在三边长分别为 3,4,5 的三角形的边上爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率为 ________.

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解析 如图,该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的长度为:1+2+3=6,故所求概率为 P= 答案 1 2

6 1 = . 12 2

6.2013 年高考湖南 ( (文 9)已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使△APB 的最大边是 AB”发生的概率为 )

1 ., 2



AD =( AB 1 2



A.

B.

1 4

C.

3 2

D.

7 4

【答案】D 本题考查几何概型,以及推理能力。要使△APB 的最大边是 AB,则当三角形 ABP 为等腰三角形,且

1 PQ 1 3 3 ? ,则 DQ ? DC ? AB .此时 AB ? BP 或 AQ ? AB ,要使△APB 的最大边是 AB”发生的概率为 ,则有 2 CD 2 4 4
AD 2 7 3 7 ? ,所以 AQ ? AB ,所以 AQ 2 ? DQ 2 ? AD 2 ,即 AB 2 ? ( AB)2 ? AD 2 ,所以 AB 2 ? AD 2 ,即 AB 2 16 4 16

AD 7 7 ? ? ,选 D. AB 16 4
7. 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,在包围该三棱锥的外接球内任取一点,该点落在三棱锥内部的 概率为( A ) A.

4 27?

B.

2 27?

C.

4 9?

D.

2 9?

4 4
正视图

2
侧视图

俯视图

视图

8.两人相约 7 点到 8 点在某地会面,先到者等候另一人 20 分钟,过时离去.求两人能会面的概率. 【解】以 7 点钟作为计算时间的起点,设甲、乙分别在 x 分钟和 y 分钟到达,则样本空间为

D ? ?? x, y ? 0 ? x ? 60, 0 ? y ? 60? ,画成图为如图所示的正方形.
会面的充要条件是 x ? y ? 20 ,即事件 A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影部分.所以,

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P ? A? ?

d 的面积 D 的面积

602 ? 402 5 = ? . 602 9

60

20 0 20 60

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