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2.4.1人教A版抛物线及其标准方程(1-2课时)


2.4.1抛物线及其标准方程

抛物线的生活实例

抛球运动

画抛物线

一、抛物线的定义:
平面内到定点 F与到定直线 L 的距 离的相等的点的轨迹叫抛物线.
定点 F 叫做 抛 物线的焦点; 定直线 L 叫做 抛物线的准线.
N M

K

F

L

平面上与一个定点F和一条定直线l(F 不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线。

F在l上时,轨迹是过点F垂
注意

直于L的一条直线。

二、标准方程
想 一 想 ?
步骤:
(1)建系 (2)设点 (3)列式 (4)化简 (5)检验

l
N

· · F
M

如何建立直角 坐标系?
求曲线方程的基 本步骤是怎样的?

标准方程
y y y

N
Ko F

M
x

N K oF

M

N
x Ko F

M
x

L

(1)

L

(2)

L

(3)

二、标准方程
取过焦点F且垂直于准线l的直线
为x轴,线段KF的中垂线y轴 设︱KF︱= p p p 则F( 2 ,0),l:x = 2 设点M的坐标为(x,y), 由定义可知, N

l y
M

K o

· · F

x

p2 p ( x ? ) ? y2 ? x ? 2 2
化简得

y2 = 2px(p>0)

二、标准方程
方程 y2 = 2px(p>0)叫做抛物线的标 准方程 其中 p 为正常数,它的几何意义是:
l y N
M

焦点到准线的距离

K o

· · F

x

方程y2 = 2px(p>0)表示抛物线的焦点 在 X轴的正半轴上一条抛物线,
p p 则F( 2 ,0),l:x = 2

由于它在坐标平面内的位置不同, 方程也不同,所以抛物线的标准方 程还有其它形式.
抛物线的标准方程还有 几种不同的形式?它们是 如何建系的?

﹒ ﹒ ﹒
y

图 形 o







线

标准方程

x

y

o

x

y

o

x


o

y

x

想一想:
根据上表中抛物线的标准方程的不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程对 应关系,如何判断抛物线的焦点位置, 开口方向? 第一:一次项的变量为抛物线的对 称轴,焦点就在对称轴上; 第二:一次项系数的正负决定了抛 物线的开口方向,正右负左。

例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x,
3 解:因为p=3,故焦点坐标为(-,0) 2 3 准线方程为x=- - 2.

求它的焦点坐标和准线方程;

(2)已知抛物线的方程是y = -6x2, 求它的焦点坐标和准线方程;
1 1 解:方程可化为:x =- -y,故p=- ,焦点坐标 12 6 1 1 为(0, -24 -),准线方程为y= - 24.
2

(3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。
解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准 方程为:x 2 = - 8y

练习:
1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是F(3,0);

y2 =12x y2 =x =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y

1 (2)准线方程 是x = ? ; 4
(3)焦点到准线的距离是2。 y2

2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
( 1 ) y2 = 20x ( 2 ) x 2=
1 y 2

(3)x2 +8y =0

焦点坐标

准线方程

(1)

( 5, 0 )
1 (0,—) 8 (0 , -2)

x= -5
1 y= - — 8

(2)
(3)

y=2

求抛物线方程的方法:-----待定系数法 例2:一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线, 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口(直径) 为4.8m,深度为0.5m。建立适当的坐标系,求抛物线 y 的标准方程和焦点坐标。
A

o

.F
B

x

解:如下图,在接收天线的轴截面所在平面内建立直 角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与 原点重合。
设抛物线的标准方程是 y ? 2 px( p ? 0) ,由已知条件 可得,点A的坐标是(0.5, 2.4),代入方程,得 即 p ? 5.76
2

2.4

2

? 2 p ? 0.5

y
A

所以,所求抛物线的标准方程是 y ? 11.52 x , 焦点的坐标是 (2.88, 0)

2

o

.F
B

x

例3、求过点A(-3,2)的抛物线的
标准方程。
解:当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2 =2py,得p=

9 4


A

y

O

x

当焦点在x轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px,

4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = ? x 3 2

2 得p= 3



思考题、M是抛物线y2 = 2px(P>0)上一点,若点
M 的横坐标为X0,则点M到焦点的距离是

X0 +

————————————

— 2

p

y

O F

. .
M

x

P66,练习3

小 结 :
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程

3、求标准方程(1)用定义;
(2)用待定系数法


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