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2013广东模拟函数理


龙岗中心城碧湖玫瑰园 6 栋 103 商铺 佛山(二)20. (本题满分 14 分)

Tel:33167649

某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响,环保部门 迅速反应,及时向污染河道投入固体碱, 1 个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度 f ( x) 与时间 x (小时)的

r />
x 6 ? 2? ? ? ? 6 x?3 关系可近似地表示为: f ( x) ? ? ?1 ? x ? ? 6
产生有效的抑制作用.

0? x?3
,只有当污染河道水中碱的浓度不低于

3? x ?6

1 时,才能对污染 3

(1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长? (2) 第一次投放 1 单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到

1 时,马上再投放 1 个单位的固体碱,设第二次 ... 3

投放后 水中碱浓度为 g ( x) ,求 g ( x) 的函数式及水中碱浓度的最大值.(此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加 ) ... ..

佛山(一)19. (本题满分 14 分)某工厂生产某种产品,每日的成本 C (单位:万元)与日产量 x (单位:吨)满足

k ? ? 5, (0 ? x ? 6) ?3 x ? 函数关系式 C ? 3 ? x ,每日的销售额 S (单位:万元)与日产量 x 的函数关系式 S ? ? , x ?8 ? ( x ? 6) ?14, 已知每日的利润 L ? S ? C ,且当 x ? 2 时, L ? 3 . (1)求 k 的值;
(2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.

佛山(一)21. (本题满分 14 分)设 g ( x) ? e , f ( x) ? g[?x ? (1 ? ?)a] ? ?g ( x) ,其中 a, ? 是常数,且 0 ? ? ? 1 .
x

(1)求函数 f ( x) 的极值; (2)证明:对任意正数 a ,存在正数 x ,使不等式

ex ?1 ? 1 ? a 成立; x
? ?

+ (3)设 ?1 , ?2 ? R ,且 ?1 ? ?2 ? 1 ,证明:对任意正数 a1 , a 2 都有: a1 1 a2 2 ? ?1a1 ? ? 2 a2 .

1 编辑:艾茂春 Tel:15986659251

龙岗中心城碧湖玫瑰园 6 栋 103 商铺
广州(二)19. (本小题满分14分) 已知

Tel:33167649

a ? 0 ,设命题 p

:函数

f ? x ? ? x 2 ? 2ax ? 1 ? 2a 在 区 间 ? 0,1? 上 与 x

轴有两个不同的交点;命题

q



g ? x ? ? x ? a ? ax 在区间 ? 0, ?? ? 上有最小值.若 ? ?p ? ? q 是真命题,求实数 a 的取值范围.

广州(一)21.(本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? x ? ax ? m ? 1 , 关于 x 的不等式 f ( x) ? (2m ? 1) x ? 1 ? m 的解集为 (m, m ? 1) , 其中 m
2 2

为非零常数.设 g ( x) ? (1)求 a 的值;

f ( x) . x ?1

(2) k (k ? R) 如何取值时,函数 ? ( x) ? g ( x) ? k ln( x ? 1) 存在极值点,并求出极值点; (3)若 m=1,且 x>0,求证: [ g ( x ? 1)] ? g ( x ? 1) ? 2 ? 2(n ? N *)
n n n

惠州(二)21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? x ln x ? b 是奇函数,且图像在点 (e, f (e)) 处的切线斜率为 3 ( e 为自然对数的底数) . (1)求实数 a 、 b 的值; (2)若 k ? Z ,且 k ?

f ( x) 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1

(3)当 m ? n ? 1 (m, n ? Z ) 时,证明: nmm

?

? ? ? mn ?
n

n m

惠州(三)21. (本小题满分14分)已知函数

f ( x) ? ln ? 2ax ? 1? ?

x3 ? x 2 ? 2ax ? a ? R ? 3 .

(1)若 x ? 2 为 f (x) 的极值点,求实数 a 的值;

? ?? ?3 , (2)若 y ? f ( x) 在 上为增函数,求实数 a 的取值范围;

?1 ? x ? + b 1 f ?1 ? x ? ? a?? 3 x 有实根,求实数 b 的最大值。 2 时,方程 (3)当
3

2 编辑:艾茂春 Tel:15986659251

龙岗中心城碧湖玫瑰园 6 栋 103 商铺 惠州(一)21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a x 2 ? bx ? 1 在 x ? 3 处的切线方程为 y ? 5 x ? 8 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? k e x 恰有两个不同的实根,求实数 k 的值 ; (3)数列 ?an? 满足 2a1 ? f (2) , an ?1 ? f (an ), n ? N ? , 求S ?

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1 1 1 1 的整数部分. ? ? ? ???? ? a1 a2 a3 a2013

揭阳(一)21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ,函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴.
2

(1)确定 a 与 b 的关系; (2)试讨论函数 g ( x) 的单调性; (3)证明:对任意 ,都有 成立.

茂名(一)21.(本小题满分 14 分)

1 3 ax ? 2 x 2 ? 2 x ,函数 f ( x) 是函数 g ( x) 的导函数. 3 (1)若 a ? 1 ,求 g ( x) 的单调减区间; x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (2)若对任意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,都有 f ( 1 ,求实数 a 的取值范围; )? 2 2 (3)在第(2)问求出的实数 a 的范围内,若存在一个与 a 有关的负数 M ,使得对任意 x ?[M ,0] 时 | f ( x) |? 4 恒成立,求 M 的最小值及相应的 a 值.
已知函数 g ( x) ?

3 编辑:艾茂春 Tel:15986659251

龙岗中心城碧湖玫瑰园 6 栋 103 商铺 茂名(二)21. (本小题满分 14 分)已知函数 (1)若 存在极值点,求实数 b 的取值范围; 。

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(2)当 b ? 0 时,令 原点,请完成下面两个问题:

。 P ? x1 , F ( x1 ) ? , Q ? x2 , F ( x2 ) ? 为曲线 y ? F ( x) 上的两动点, O 为坐标

①能否使得 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在 y 轴上?请说明理由。 ②当 1 ? x1 ? x2 时,若存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使得曲线 y ? F ( x) 在 x ? x0 处的切线 l / / PQ ,求证: x0 ?

x1 ? x2 . 2

梅州(一)20、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ( a ? ) x 2 ? ln x( x ? R ) 。 (1)当 a ? 1 时, ?x0 ? ?1, e? 使不等式 f ( x0 ) ? m ,求实数 m 的取值范围; (2)若在区间 ?1, ?? ? 上,函数 f ? x ? 的图象恒在直线 y ? 2ax 的下方,求实数 a 的取值范围。

1 2

汕头(二)21.已知函数 f ( x) ? x ? ax, g ( x) ? ln x 。
2

(1)若 f ( x) ? g ( x) 对于定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围;

1 3 x ? (0, ) h ( x ) ? h ( x ) ? ? ln 2 1 1 2 x ,x 2 ,证明: 4 (2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有两个极值点 1 2 ,且 ; r ( x) ? f ( x) ? g(
(3)设 数 k 的取值范围。

1 ? ax 1 ) x0 ? [ ,1] 2 2 对于任意的 a ? (1, 2) ,总存在 2 ,使不等式 r ( x) ? k (1 ? a ) 成立,求实

汕头(一)21.(本小题满分 14 分)已知函数 f1 ( x) ? e| x ? a| , f 2 ( x) ? ebx . (I)若 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? bf 2 ( ? x) ,是否存在 a, b ? R , y ? f ? x ? 为偶函数.如果存在.请举例并证明你的 结论,如果不存在,请说明理由; (II)若 a ? 2, b ? 1 .求函数 g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 在 R 上的单调区间; (III )对于给定的实数 ?x0 ? ? 0,1? ,对 ?x ? ? 0,1? ,有 f1 ? x ? ? f 2 ? x0 ? ? 1 成立.求 a 的取值范围.
4 编辑:艾茂春 Tel:15986659251

龙岗中心城碧湖玫瑰园 6 栋 103 商铺 韶关(二)21. (本题满分14分) 设函数 f ( x) ? ax 3 ? (a ? b) x 2 ? bx ? c 其中 a ? 0, b, c ? R
1 (1)若 f ?( ) =0,求 f ( x) 的单调区间; 3

Tel:33167649

(2)设 M 表示 f '(0) 与 f '(1) 两个数中的最大值,求证:当 0≤x≤1 时,| f ?( x) |≤ M .

韶关(一)20.(本小题满分 14 分)已知定义在实数集上的函数 f n ( x) ? x n , n ? N ? ,其导函数记为 f n?( x) , (1)设函数 g ( x) ? f 2n?1 ( x) ? f n (1 ? x) ,求 g ( x) 的极大值与极小值; (2)试求关于 x 的方程

f n?(1 ? x) 2n ? 1 在区间 (0,1) 上的实数根的个数. ? n ?1 f n??1 (1 ? x) 2 ? 1
x ?

深圳(二)21.定义 ? ( x, y ) ?| e ? y | ? y | x ? ln y | ,其中 x ? R, y ? R 。 (1)设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? ( x, a ) ,试判断 f ( x) 的定义域内零点的个数; (2)设 0 ? a ? b ,函数 F ( x) ? ? ( x, a ) ? ? ( x, b) ,求 F ( x) 的最小值; (3)记(2)中最小值为 T (a, b) ,若 ?an ? 是各项均为正数的单调递增数列,证明: 深圳(一)21.(本小题满分 14 分) 已知 f(x)=x- a (a>0),g(x)=2lnx+bx 且直线 y=2x-2 与曲线 y=g(x)相切.

? T (a , a
i ?1 i

n

i ?1

) ? (an ?1 ? a1 ) ln 2

x (1)若对[1,+ ? )内的一切实数 x,小等式 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围;
(2)当 a=l 时,求最大的正整数 k,使得对[e,3](e=2.71828…是自然对数的底数)内的任意 k 个实数 x1,x2,…, xk 都有 f ( x1) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1) ? 16g( xk ) 成立; (3)求证:

? 4i 4i? 1 ? 1n(2n ? 1)(n ? N )
* i ?1 2

n

增城 21(14 分)圆 x ? y ? 1 内接等腰梯形 ABCD ,其中 AB 为圆的直径(如图).
2 2

y

(1)设 C ( x, y)( x ? 0) ,记梯形 ABCD 的周长为

D A O

C B

f ( x) ,求 f ( x) 的解析式及最大值;
(2)求梯形 ABCD 面积的最大值.

x

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龙岗中心城碧湖玫瑰园 6 栋 103 商铺 湛江(二)19. ( 本小题满分 1 4 分)已知 a ? 2 , f ( x) ? x ? a ln x ? (1) 求 f ? x ? 的单调区间;

Tel:33167649

a ?1 1 , g ( x) ? x 2 ? e x ? xe x . x 2

2 (2)若存在 x1 ? ? ? e, e ? ? ,使得对任意的 x2 ? ? ?2, 0? , f ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立,求实数 a 的取值范围.

湛江(一)21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)= e x -1, g ( x) ?

x ? x ,其中 e 是自然对数的底,e=2.71828…。

(1)证明:函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点; (2)求方程 f(x)=g(x)根的个数,并说明理由; (3)若数列{ an }( n ? N * )满足 a1 ? a(a ? 0)(a 为常数) , f (an ?1 ) ? g (an ) , 证明:存在常数 M,使得对于任意 n ? N * ,都有 an ? M

2 ? ? x ? ax ? 1, x ? a 珠海(二)21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ? x x ?a ? ?4 ? 4 ? 2 , x ? a

(1) 若 x ? a 时, f ? x ? ? 1 恒成立,求 a 的取值范围; (2) 若 a ? ?4 时,函数 f ? x ? 在实数集 R 上有最小值,求实数 a 的取值范围. 珠海(一)20.(本小题满分 14 分)已知函数 (1)如果函数 (2)是否存在实数 在,请求出 在 上是单调减函数,求 , 的取值范围; 在区间 内有且只有两个不相等的实数根?若存 .

,使得方程

的取值范围;若不存在,请说明理由.

6 编辑:艾茂春 Tel:15986659251


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