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2015秋高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(第2课时)学案设计 新人教A版必修1


第二章

基本初等函数(Ⅰ) 指数函数

2.1 2.1.1

指数与指数幂的运算(第二课时)
学习目标

①理解分数指数幂的概念; ②掌握分数指数幂和根式之间的互化; ③掌握分数指数幂的运算性质; ④培养学生观察分析和抽象的能力,以及渗透“转化”的数学思想. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题 1:当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年 衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢? 问题 2:考古学家根据上式可以知道,当生物体死亡了 6000 年,10000 年,100000 年后,它 体内碳 14 的含量 P 分别为(,(,(.那么这些数(,(,(的意义究竟是什么呢?它和我们初中所学 的指数有什么区别? 二、自主探索,尝试解决 问题 3:观察以下式子,你能总结出什么规律?(a>0) 2 ①=a =; 4 ②=a =; 3 ③=a =; 5 ④=a =.

问题 4:利用问题 3 中的规律,你能表示下列式子吗? * (x>0,m,n∈N ,且 n>1).

问题 5:你能用方根的意义来解释问题 4 中的式子吗?

问题 6:你能把问题 3,4 中得到的结论推广到一般的情形吗? * 规定:正数的正分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N ,且 n>1). 三、信息交流,揭示规律 问题 7:负整数指数幂的意义是怎样规定的?

问题 8:你能得出负分数指数幂的意义吗? * 规定:正数的负分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N ,且 n>1). 问题 9:你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义呢?

问题 10:综合上述问题 7,8,9,如何规定分数指数幂的意义? 分数指数幂的意义就是: * 正数的正分数指数幂的意义是 (a>0,m,n ∈ N , 且 n>1), 正数的负分数指数幂的意义是 * (a>0,m,n∈N ,且 n>1),零的正分数指数幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. 问题 11:分数指数幂的意义中,为什么规定 a>0,去掉这个规定会产生什么样的后果?

问题 12:既然指数的概念已从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性 质是否也适用于有理数指数幂呢? 有理数指数幂的运算性质: 对任意的有理数 r,s, r s (1)a a = (a>0,r,s∈R); r s (2)(a ) = (a>0,r,s∈R); r (3)(ab) = (a>0,b>0,r∈R). α 问题 13:若 a>0,α 是一个无理数,则 a 该如何理解?

实数指数幂有意义,且有相同的运算性质,即: aras=ar+s(a>0,r,s∈R); r s rs (a ) =a (a>0,r,s∈R); r r r (ab) =a b (a>0,b>0,r∈R). 四、运用规律,解决问题 【例 1】(课本 P51,例 2)求值: -5 ①;②2;③() ;④(.

【例 2】用分数指数幂的形式表示下列各式. a3·;a2·(a>0).

【例 3】计算下列各式(式中字母都是正数): (1)(2)(-6)÷(-3); 8 (2)() .

【例 4】计算下列各式: (1)()÷; (2)(a>0).

五、变式演练,深化提高 1.计算: 0 -2 0.5 (1)(2) +2 ×(2-(0.01) ; -1.5 (2)(0.0001+(27-(+() ; (3); (4)2.

2.化简下列各式: (1); (2)÷(1-2)·; 2 -1 -3 7 (3)[(b ) ·(ab ) ; (4); -3 (5)() ÷.

六、反思小结,观点提炼 (先让学生独自回忆,然后师生共同总结.) 1. . 2. . 3. . 七、作业精选,巩固提高 课本 P59 习题 2.1A 组第 2,3,4 题. 参考答案 一、设计问题,创设情境 5730 问题 1:P=() . 问题 2:初中所学的指数是整数,而这里的指数是分数形式. 二、自主探索,尝试解决 问题 3:①,②,③,④的结果中 a 的指数 2,4,3,5 分别写成了,形式上变了,本质没变.根 据 4 个式子的最后结果可以总结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写 成分数作为指数的形式(分数指数幂形式). 问题 4:. 3 5 7 m 问题 5:5 的 4 次方根是,7 的立方根是,a 的 5 次方根是,x 的 n 次方根是.结果表明方根 的结果和分数指数幂是相通的. 三、信息交流,揭示规律 -n * 问题 7:负整数指数幂的意义是 a =(a≠0),n∈N . 问题 9:零的分数指数幂的意义是零的正分数指数幂等于零 ,零的负分数指数幂没有意

义,例如 0 =. 问题 11:若没有 a>0 这个条件会怎样呢?如(-1=-1,(-1=1 具有同样意义的两个式子出现 了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的 .因此在把根式化成分 数指数时,切记要使底数大于零. r+s 问题 12:a ars arbr 四、运用规律,解决问题 3 2 【例 1】解:①=(2 =2 =4; 2 -1 ②2=(5 =5 =; -5 -1 -5 5 ③() =(2 ) =2 =32; -3 ④(=(=() =. 3 3 【例 2】解:a ·=a ·; a2·=a2·; =(a·=(. 0 【例 3】解:(1)(2)(-6)÷(-3)=[2×(-6)÷(-3)]=4ab =4a; 8 8 8 2 -3 (2)() =() () =m n =. 【例 4】解:(1)()÷=()÷-5=-5; (2). 五、变式演练,深化提高 1.(1) (2) (3)3 (4)6 2.(1) (2)a (3) (4) (5) 六、反思小结,观点提炼 1.分数指数是根式的另一种写法 2.无理数指数幂表示一个确定的实数 3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的

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