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3.3圆内接四边形)


圆周角定理: 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半. 推论1: 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 推论2: 同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也相等. 推论3: 直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的 弦是直径.

复习提问:
1 、 如 图 (1), 若 弧 BC 的 度 数 为 1000, 则 ∠BO

C=__ 100? ,∠A= 50? __ 2、如图(2)四边形ABCD中, ∠B与∠1互 补,AD的延长线与DC所夹∠2=600 , 则∠1=___ ,∠B=___ . 120? 60?
A A O

1

D

2
C

E

B

C

B

图1

图2

3.如图,△ABC的三个顶点都在圆 O上, 则△ABC叫做圆O的 内接三角形 圆O叫△ABC的 外接圆
A

﹒ O
B C

若一个多边形各顶点都在同一个圆上,那么, 这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个 多边形的外接圆。

D

E C O A B

如图,四边形ABCD为 圆内接四边形;⊙O为 四边形ABCD外接圆。
D
A
O

B

C

如图:圆内接四边形ABCD中 ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心 角的和是周角

D

∴∠A+∠C= 180° 同理∠B+∠D=180°

A
O

B

C

圆内接四边形的对角互补.

圆内接四边形的外角等于内对角.
如果延长BC到E,那么∠A与 ∠DCE 会有怎样的关系呢? ∵∠DCE+∠BCD = 180A °
D

又 ∠A +∠BCD= 180°
∴∠A=∠DCE
B

O C

E

因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的 对角,我们把∠A叫做∠DCE的内对角。

? 定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任 何一个外角都等于它的内对角。
A O D
1

E

B

C

几何表达式:

∵ 四边形ABCD内接于⊙O ∴ ∠A+∠C=180°,∠B=∠1

反馈练习:
1、如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边 形,已知∠BOD=100°, 则∠BAD= 50? ∠BCD= 130? 2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C= B A O D

C

2:3:4,则∠A= 60? ∠B= 90?∠C=120?∠D= 90? A 3、如图,四边形ABCD内接于⊙O, ∠DCE=75? , 则∠BOD= 150? O B C

D
E

例1:如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点,经过点 A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2 交于点D。 经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E,与⊙O2 交 于点F。 求证:CE∥DF
D A

C O E
1

O B

2

F

例2.如图,四边形 ABCD内接于圆O,已知?BOD ? 140? 求?C的度数。
A



1 1 ?A ? ?BOD ? ?140 ? ? 70? 2 2

O B C

D

∵ ?A ? ?C ? 180 ?
? ?C ? 180 ? - ?A ? 180 ? - 70? ? 110 ?

︵ ︵ 例3.如图,△ABC内接于圆O, D, F分别是AC与AB ︵ ︵ 上的点,BF ? DA。连接AF并延长交CB的延长线

于点E,连接AD, CD. 求证:∠CAD=∠E ︵ ︵ 证明: ∵ BF ? DA
∴ ∠BAE=∠ACD

E

F

A O ﹒

B

D

∵四边形ABCD是圆O的内接四边形
?△CDA ∽△ ABE
∴ ∠CAD=∠E ∴ ∠ABE=∠D

C

如图,在圆内接四边形ABCD中,∠A=60°∠B=90°
AB=2,CD=1,求BC的长
B



延长BC, AD相交于E
∵∠B=90°,∴∠CDE=90° 在Rt△ABE中, ∵ tan A ?
BE AB
A

C E

D

? BE ? AB ? tanA ? 2tan60? ? 2 3
在Rt△CDE中,∵∠E=90°-∠B=90°-60°=30°
∴CE=2CD=2

? BC ? 2 3 ? 2

课堂小结:
1、圆内接四边形------顶点在圆上的四边形, 该圆叫四边形的外接圆。
对角互补 2、圆内接四边形的性质 ? ? ?外角等于它的内对角

3、解题时应注意两点: (1)注意观察图形,分清四边形的外角和它 的内对角的位置,不要受背景的干扰。 (2)证题时,常需添辅助线-----两圆共有一 条弦,构造圆内接四边形。

如图,AB是圆O的直径,E是圆O上一点 ︵ C是AE的中点,CD ? AB于D。AE交CD 于F , 连接AC。求证:AF ? CF
A

C

E

F D
O B

M

课本89页练习第 1、 2题。

课本89页第5、 6题。


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