圆周角定理: 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半. 推论1: 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 推论2: 同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也相等. 推论3: 直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的 弦是直径.
复习提问:
1 、 如 图 (1), 若 弧 BC 的 度 数 为 1000, 则 ∠BOC=__ 100? ,∠A= 50? __ 2、如图(2)四边形ABCD中, ∠B与∠1互 补,AD的延长线与DC所夹∠2=600 , 则∠1=___ ,∠B=___ . 120? 60?
A A O
1
D
2
C
E
B
C
B
图1
图2
3.如图,△ABC的三个顶点都在圆 O上, 则△ABC叫做圆O的 内接三角形 圆O叫△ABC的 外接圆
A
﹒ O
B C
若一个多边形各顶点都在同一个圆上,那么, 这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个 多边形的外接圆。
D
E C O A B
如图,四边形ABCD为 圆内接四边形;⊙O为 四边形ABCD外接圆。
D
A
O
B
C
如图:圆内接四边形ABCD中 ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心 角的和是周角
D
∴∠A+∠C= 180° 同理∠B+∠D=180°
A
O
B
C
圆内接四边形的对角互补.
圆内接四边形的外角等于内对角.
如果延长BC到E,那么∠A与 ∠DCE 会有怎样的关系呢? ∵∠DCE+∠BCD = 180A °
D
又 ∠A +∠BCD= 180°
∴∠A=∠DCE
B
O C
E
因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的 对角,我们把∠A叫做∠DCE的内对角。
? 定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任 何一个外角都等于它的内对角。
A O D
1
E
B
C
几何表达式:
∵ 四边形ABCD内接于⊙O ∴ ∠A+∠C=180°,∠B=∠1
反馈练习:
1、如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边 形,已知∠BOD=100°, 则∠BAD= 50? ∠BCD= 130? 2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C= B A O D
C
2:3:4,则∠A= 60? ∠B= 90?∠C=120?∠D= 90? A 3、如图,四边形ABCD内接于⊙O, ∠DCE=75? , 则∠BOD= 150? O B C
D
E
例1:如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点,经过点 A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2 交于点D。 经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E,与⊙O2 交 于点F。 求证:CE∥DF
D A
C O E
1
O B
2
F
例2.如图,四边形 ABCD内接于圆O,已知?BOD ? 140? 求?C的度数。
A
解
1 1 ?A ? ?BOD ? ?140 ? ? 70? 2 2
O B C
D
∵ ?A ? ?C ? 180 ?
? ?C ? 180 ? - ?A ? 180 ? - 70? ? 110 ?
︵ ︵ 例3.如图,△ABC内接于圆O, D, F分别是AC与AB ︵ ︵ 上的点,BF ? DA。连接AF并延长交CB的延长线
于点E,连接AD, CD. 求证:∠CAD=∠E ︵ ︵ 证明: ∵ BF ? DA
∴ ∠BAE=∠ACD
E
F
A O ﹒
B
D
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形
?△CDA ∽△ ABE
∴ ∠CAD=∠E ∴ ∠ABE=∠D
C
如图,在圆内接四边形ABCD中,∠A=60°∠B=90°
AB=2,CD=1,求BC的长
B
解
延长BC, AD相交于E
∵∠B=90°,∴∠CDE=90° 在Rt△ABE中, ∵ tan A ?
BE AB
A
C E
D
? BE ? AB ? tanA ? 2tan60? ? 2 3
在Rt△CDE中,∵∠E=90°-∠B=90°-60°=30°
∴CE=2CD=2
? BC ? 2 3 ? 2
课堂小结:
1、圆内接四边形------顶点在圆上的四边形, 该圆叫四边形的外接圆。
对角互补 2、圆内接四边形的性质 ? ? ?外角等于它的内对角
3、解题时应注意两点: (1)注意观察图形,分清四边形的外角和它 的内对角的位置,不要受背景的干扰。 (2)证题时,常需添辅助线-----两圆共有一 条弦,构造圆内接四边形。
如图,AB是圆O的直径,E是圆O上一点 ︵ C是AE的中点,CD ? AB于D。AE交CD 于F , 连接AC。求证:AF ? CF
A
C
E
F D
O B
M
课本89页练习第 1、 2题。
课本89页第5、 6题。