3.3圆内接四边形)

圆周角定理： 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半． 推论1： 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 推论2： 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧也相等． 推论3： 直径所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的 弦是直径．

复习提问：
1 、 如 图 (1), 若 弧 BC 的 度 数 为 1000, 则 ∠BOC=__ 100? ,∠A= 50? __ 2、如图(2)四边形ABCD中, ∠B与∠1互 补,AD的延长线与DC所夹∠2=600 , 则∠1=___ ,∠B=___ . 120? 60?
A A O

1

D

2
C

E

B

C

B

图1

图2

3.如图，△ABC的三个顶点都在圆 O上， 则△ABC叫做圆O的 内接三角形 圆O叫△ABC的 外接圆
A

﹒ O
B C

若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么， 这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个 多边形的外接圆。

D

E C O A B

如图，四边形ABCD为 圆内接四边形；⊙O为 四边形ABCD外接圆。
D
A
O

B

C

如图：圆内接四边形ABCD中 ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心 角的和是周角

D

∴∠A＋∠C＝ 180° 同理∠B＋∠D＝180°

A
O

B

C

圆内接四边形的对角互补.

圆内接四边形的外角等于内对角.
如果延长BC到E，那么∠A与 ∠DCE 会有怎样的关系呢？ ∵∠DCE＋∠BCD ＝ 180A °
D

又 ∠A ＋∠BCD＝ 180°
∴∠A＝∠DCE
B

O C

E

因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的 对角，我们把∠A叫做∠DCE的内对角。

? 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任 何一个外角都等于它的内对角。
A O D
1

E

B

C

几何表达式：

∵ 四边形ABCD内接于⊙O ∴ ∠A+∠C=180°，∠B=∠1

反馈练习：
1、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边 形，已知∠BOD=100°， 则∠BAD= 50? ∠BCD= 130? 2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C= B A O D

C

2:3:4,则∠A= 60? ∠B= 90?∠C=120?∠D= 90? A 3、如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠DCE=75? ， 则∠BOD= 150? O B C

D
E

例1：如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点 A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2 交于点D。 经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交 于点F。 求证：CE∥DF
D A

C O E
1

O B

2

F

例2.如图，四边形 ABCD内接于圆O，已知?BOD ? 140? 求?C的度数。
A

解

1 1 ?A ? ?BOD ? ?140 ? ? 70? 2 2

O B C

D

∵ ?A ? ?C ? 180 ?
? ?C ? 180 ? - ?A ? 180 ? - 70? ? 110 ?

︵ ︵ 例3.如图，△ABC内接于圆O, D, F分别是AC与AB ︵ ︵ 上的点，BF ? DA。连接AF并延长交CB的延长线

于点E，连接AD, CD. 求证：∠CAD=∠E ︵ ︵ 证明： ∵ BF ? DA
∴ ∠BAE=∠ACD

E

F

A O ﹒

B

D

∵四边形ABCD是圆O的内接四边形
?△CDA ∽△ ABE
∴ ∠CAD=∠E ∴ ∠ABE=∠D

C

如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°∠B=90°
AB=2，CD=1，求BC的长
B

解

延长BC, AD相交于E
∵∠B=90°，∴∠CDE=90° 在Rt△ABE中， ∵ tan A ?
BE AB
A

C E

D

? BE ? AB ? tanA ? 2tan60? ? 2 3
在Rt△CDE中，∵∠E=90°-∠B=90°-60°=30°
∴CE=2CD=2

? BC ? 2 3 ? 2

课堂小结:
1、圆内接四边形------顶点在圆上的四边形, 该圆叫四边形的外接圆。
对角互补 2、圆内接四边形的性质 ? ? ?外角等于它的内对角

3、解题时应注意两点： （1）注意观察图形，分清四边形的外角和它 的内对角的位置，不要受背景的干扰。 （2）证题时，常需添辅助线-----两圆共有一 条弦，构造圆内接四边形。

如图，AB是圆O的直径，E是圆O上一点 ︵ C是AE的中点，CD ? AB于D。AE交CD 于F , 连接AC。求证：AF ? CF
A

C

E

F D
O B

M

课本89页练习第 1、 2题。

课本89页第5、 6题。