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08-G4-函数的性质练习


函数的性质练习题
刘春科 2012 年 6 月 15 日 一、要点及方法: 1.函数的单调性。 (1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法: ①在解答题中常用:定义法(取值――作差――变形――定号); ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等;

b (a ? 0, b ? 0) 型函数的图象和单调性 x b b b b 在解题中的运用:增区间

为 (??, ? ],[ , ??) ,减区间为 [? , 0), (0, ]; a a a a
③要熟悉一次、二次、反比例、对勾函数的单调性,特别要注意 y ? ax ? ④复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减. 例、已知函数 f ( x) ?

ax ? 1 1 在区间 ? ?2, ?? ? 上为增函数,则实数 a 的取值范围_____(答: ( , ??) ); x?2 2

(2)特别提醒:求单调区间时,一是勿忘定义域,二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ? ”和“或”,三 是单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示. 例、若函数 f ( x) ? loga ( x2 ? ax ? 3) 在区间 (??, ] 上为减函数,求 a 的取值范围(答: (1, 2 3) ) 2.函数的奇偶性。 (1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称!为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数 定义域是否关于原点对称。 (2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性) : ①定义法:算出 f (? x) 与 f ( x ) 进行比较; 例、判断函数 y ?

a 2

| x ? 4 | ?4 9 ? x2

的奇偶性____(答:奇函数) 。

f (? x) ; ? ?1 ( f ( x) ? 0 ) f ( x) ③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称。
②利用函数奇偶性定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 或 (3)函数奇偶性的性质: ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调 性,则其单调性恰恰相反. ②若 f ( x ) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) . 例、 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 在 (??, 0) 上是减函数, f ( ) =2, 且 则不等式 f (log1 x) ? 2 的解集为______. (答:

1 3

(0,0.5) ? (2, ??) ) ③若奇函数 f ( x ) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .

8

a 2x ? a ? 2 · 例、若 f ( x) ? 为奇函数,则实数 a =____(答:1). 2x ? 1
注意函数单调性与奇偶性的逆用(①比较大小 ②解不等式 ③求参数范围) 例、已知奇函数 f (x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值范围.(答:

?

1 2 ?m? ) 2 3
3.常见的图象变换 ①函数 y ? f ?x ? a ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的; ③函数 y ? f ?x ? + a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向上平移 a 个单位得到的; ②函数 y ? f ?x ? a ?( (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位得到的; ④函数 y ? f ?x ? + a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向下平移 a 个单位得到的;
用心 爱心 专心 1

⑤函数 y ? f ?ax? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴伸缩为原来的

⑥函数 y ? af ?x ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 y 轴伸缩为原来的 a 倍得到的. 4.函数的对称性

1 得到的; a

a?b 对称。 2 ②点 ( x, y ) 关于 y 轴的对称点为 (? x, y ) ;函数 y ? f ?x ? 与 y ? f ?? x ?关于 y 轴对称; ③点 ( x, y ) 关于 x 轴的对称点为 ( x, ? y ) ;函数 y ? f ?x ? 与 y ? f ?? x ?关于 x 轴对称; ④点 ( x, y ) 关于原点的对称点为 (? x, ? y ) ;函数 y ? f ?x ? 与 y ? f ?? x ?关于原点对称; ⑤ | f ( x) | 的图象先保留 f ( x ) 原来在 x 轴上方的图象, 作出 x 轴下方的图象关于 x 轴的对称图形, 然后擦去 x 轴下 方的图象得到; f (| x |) 的图象先保留 f ( x ) 在 y 轴右方的图象, 擦去 y 轴左方的图象, 然后作出 y 轴右方的图象关于 y
①满足条件 f ? x ? a ? ? f ?b ? x ? 的函数的图象关于直线 x ? 轴的对称图形得到。 例、作出函数 y ?| log 2 ( x ? 1) | 及 y ? log2 | x ? 1| 的图象. 二、课后练习: 1.奇函数 f ( x ) 满足: f ( x ) 在 (0, ??) 内单调递增; f (1) ? 0 ; ① ② 则不等式 ( x ? 1) f ( x) ? 0 的解集为: 2.为了得到函数 y ? f (?2 x) 的图象,可以把函数 y ? f (1 ? 2 x) 的图象适当平移,这个平移是( ) .

1 1 A.沿 x 轴向右平移 1 个单位 B.沿 x 轴向右平移 2 个单位 C.沿 x 轴向左平移 1 个单位 D.沿 x 轴向左平移 2 个单位
3.已知函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ?1 对称,且当 x ? (0,??) 时,有 f ( x ) ?

1 , 则当 x ? (??,?2) 时, x

f (x) 的解析式为(



A. ?

1 x

B. ?

1 x?2

C.

1 x?2

D. ?

1 x?2


4.设 f (x) 是定义在 R 上的一个函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 在 R 上一定是( A.奇函数 A. 1 B. 2 B.偶函数
2

C.既是奇函数又是偶函数
2

D.非奇非偶函数 )

5.已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? (m ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值是( C. 3
2

D. 4 )

6.若函数 f ( x) ? x ,则对任意实数 x1 , x2 ,下列不等式总成立的是(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? C. f ( 2 2
A. f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? D. f ( 2 2
B. f ( )

7.若偶函数 f (x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是(

A. f ( ? ) ? f ( ?1) ? f ( 2) B. f ( ?1) ? f ( ? ) ? f ( 2) C. f ( 2) ? f ( ?1) ? f ( ? ) D. f ( 2) ? f ( ? ) ? f ( ?1)

ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是 x?2 2 9.若函数 f ( x) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5,8] 上是单调函数,则 k 的取值范围是(
8.若 f ( x) ? A. ? ??, 40? B. [40,64] ) C. ? ??, 40? ? ?64, ???

3 2

3 2

3 2

3 2

. )

D. ?64, ?? ?

10.下列判断正确的是(

用心

爱心

专心

2

x 2 ? 2x A.函数 f ( x) ? 是奇函数 x?2
C.函数 f ( x) ? x ? x 2 ? 1 是非奇非偶函数 11. 若函数 f ( x ) ?
2

B.函数 f ( x) ? (1 ? x)

1? x 是偶函数 1? x

D.函数 f ( x) ? 1 既是奇函数又是偶函数

x?a 在 ??1,1? 上是奇函数,则 f ( x ) 的解析式为________. x ? bx ? 1

12.设 (1)

f ( x) 是定义在 R 上的函数,且对任意实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y). 求证:
(2)若当 x ? 0 时,有 f ( x) ? 0, 则 f ( x) 是 R 上的增函数. f ( x) 是奇函数;

13.若非零函数 f (x) 对任意实数 a, b 均有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ; (1)求证: f ( x) ? 0 ; (2)求证: f (x) 为减函数; (3)当 f ( 4) ?

1 1 2 时,解不等式 f ( x ? 3) ? f (5 ? x ) ? . 16 4

14.定义在 R 上的函数 f(x)满足:①对任意实数 x,y∈R 有 f(x+y)=f(x)+f(y); ②当 x>0 时,f(x)<0 且 f(1)=-2. (1)求证 f(0)=0; (2)判断函数 f(x)的奇偶性; (3)判断函数 f(x)的单调性; 2 (4)解不等式 f(x -2x)-f(x)≥-8.

用心

爱心

专心

3

一.常见函数(基本初等函数) : 1. 3. y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 2. y ? kx ? b(k ? 0) 4. y ?

1 x

5.幂函数: y ? x a (a ? Q) (包括前四个函数) 6.指数函数: y ? a x (a ? 0且a ? 1) 7.对数函数: y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 8.三角函数: y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x , y ? cot x , y ? sec x , y ? csc x 由以上函数进行四则运算、 复合运算得到的函数都是初等函数。 y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d , ? 如: y

sin x ?

1 , log2 x

y?

1
3

x

? 5 x ,试着分析以上函数的构成。

二、定义域 1、函数 f ( x ) ?

( x ? 1) 0 x ?x

的定义域是( C.

) D.

A. ?x | x ? 0? B. 2、 f ( x) ? A. [?1,??) 3、 f ( x) ?
3

?x | x ? 0?

?x | x ? 0且x ? ?1?
) D.

?x | x ? 0且x ? ?1?

x ?1 ?

1 的定义域是( 2? x B. [2,??) C. (?1,2)
) C.

?x | x ? ?1且x ? 2?

4x ? 8 的定义域是( 3x ? 2 2 2? ? A. [ ,?? ) B. ? x | x ? ? 3 3? ?
B ?0,1?

[2,??)

D. (??,?1] )

4、若函数 f ? x ? 的定义域[0,2],则函数 g ( x ) ? A [0,1] C ?0,1? ? ?1,4?

5、已知函数 f ( x ) 的定义域为[a,b],其中 a ? 0 ? b, a ? b ,则函数 g ( x) ? f ?x ? ? f ?? x ? 的定义域是 ( ) A (?b, b] B ( ? a, b] 6、已知函数 f ( x ) ? C [?b, b] D [ ? a, a ] )

f (2 x) 的定义域是( x ?1 D ?0,1?

1? x 的定义域为 A ,函数 y ? f ? f ? x ? ? 的定义域为 B ,则( ? ? 1? x

( A) A ? B ? B

(B) A ? B

(C ) A ? B

( D) A ? B? B

7、已知函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为[-2,3],则 y ? f ?2 x ? 1? 的定义域是_________ 8、 (1) f ( x) ?

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1)

(2) f ( x ) ?

sin x ? log 1 ( 25 ? x 2 )
2

3x ? x 2 (3)y= ; | x ? 1 | ?1

(4)y= 25 ? x 2 ? ln cos x

用心

爱心

专心

4

9、设 f ( x) ? lg

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为 2? x 2 x

10、 f (2 ? x) ? 4 ? x 2 , f ( x ) 的定义域 三、值域 1、求下列函数的值域: (1) y ? 3x2 ? x ? 2 ; (2) y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 ; (3) y ?

3x ? 1 ; x?2

(4) y ? x ? 4 1 ? x ; (5) y ? x ? 1 ? x 2 ;

(6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ;

(7) y ?

1 ? sin x 2 x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 ( x ? ) ; (9) y ? ; (8) y ? 2 2 ? cos x 2x ?1 2 x ? x ?1

? x 2, ≥1, ? x g ( x) 是二次函数,若 f ( g ( x)) 的值域是 ?0,∞? ,则 g ( x) 的值域是( 2、设 f ( x) ? ? ? ? x, ? 1, ? x
A. ? ?∞,1? ? ?1 ? ? ? ,∞ 3、设函数 f ( x) ? log 2 B. ? ?∞,1? ? ?0,∞? ? ? C. ?0,∞? ? D. ?1 ? ? ,∞



x ?1 ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( p ? x) , x ?1

(1)求函数的定义域; (2)问 f ( x ) 是否存在最大值与最小值?如果存在,请把它写出来;如果不存在,请说明理由
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4、已知 f ( x) ? 2 ? log3 x (

1 ? x ? 9) ,求函数 g ( x) ? [ f ( x)]2 ? f ( x2 ) 的最值。 81

四、单调性 1、已知 f ( x) ? ? (A) (0,1)

?(3a ?1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ( ? loga x, x ? 1
(B) (0, )



1 1 1 1 (C) [ , ) (D) [ ,1) 3 7 3 7 x 2 、 已 知 函 数 y ? f (x) 的 图 象 与 函 数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) 的 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 记
1 g ( x) ? f ( x)[ f ( x) ? f (2) ? 1] .若 y ? g (x) 在区间 [ , 2 ] 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( 2
A. [2,??)
2

)D

B. (0,1) ? (1,2)

C. [ ,1)

1 2

D. (0, ]

1 2

3.设函数 f ( x) ? lg( x ? ax ? a ? 1) ,给出下述命题:
用心 爱心 专心

5

① f (x) 有最小值; ②当 a ? 0 时, f (x) 的值域为 R ; ③当 a ? 0 时, f (x) 在区间 [2,??) 上有反函数; ④若 f (x) 在区间 [2,??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 a ? ?4 则其中正确的命题是_____________(要求:把正确命题的序号都填上) 2 4.设 a>0,讨论函数 f(x)=lnx+a(1-a)x -2(1-a)的单调性。 5.函数 f (x) 对任意的 m, n ? R ,都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 ,并且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 , ⑴求证: f (x) 在 R 上是增函数; ⑵若 f (3) ? 4 ,解不等式 f (a 2 ? a ? 5) ? 2 五、奇偶性 1 、 已 知 函 数 f (x) 是 定 义 在 ( ? ?, ? ? ) 上 的 偶 函 数 . 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时 , f ( x) ? x ? x 4 , 则 当 x ? ( 0, ? ? ) 时 ,

f (x) ?
2

.

2.设函数 f ( x) ? x ? x ? a 为偶函数,则实数 a =________________________ 3.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时, f ( x ) = 2x ? x ,则 f (1) ?
2

.

4.已知 f ( x ) 为奇函数, g ( x) ? f ( x) ? 9, g (?2) ? 3, 则f (2) ?
3 5.设函数 f ( x) ? x cos x ? 1 ,若 f (a) ? 11 ,则 f(-a)=_______



六、综合题 1.已知偶函数 f (x),对任意 x1,x2∈R,恒有: f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1x2 ? 1. (1)求 f (0),f (1),f (2)的值; (2)求 f (x); (3)判断 F ( x) ? [ f ( x)] ? 2 f ( x) 在(0,+∞)上的单调性
2

2.已知函数 y=f(x)=

ax 2 ? 1 5 (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数, x>0 时,(x)有最小值 2, 当 f 其中 b∈N 且 f(1)< bx ? c 2 试求函数 f(x)的解析式; (2)问函数 f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由
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(1)

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2 3.(1) 函数 f ( x) ? ax ? 1 (a, b, c ? Z ) 是奇函数,又 f (1) ? 2, f (2) ? 3 ,求 a, b, c 的值.

bx ? c

(2) 设偶函数 f (x) 在 [0,??) 上为减函数, 求不等式 f ( x) ? f (2 x ? 1) 的解集.

用心

爱心

专心

6

4.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:(1) f ( x ? 2) ? f ( x) ; (2) 当 x∈[0,1]时, f ( x) ? 3? x ? 1 ,求 f (log 1
3

1 ) 的值. 32

5.已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求 f(0)的值;(2)证明函数 f(x)是周期函数; (3)若 f(x)=x(0<x≤1),求 x∈R 时,f(x)的解析式,并画出满足条件的函数 f(x)的一个周期的图象.

6.设函数 f ( x)在(??,??)上满足f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) , 且在闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0. (1)试判断函数 y ? f (x) 的奇偶性; (2)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论.

7.已知函数 f(x)=x -4x +ax -1 在区间[0,1)上单调递增,在区间[1,2)上单调递减. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若点 A(x0,f(x0))在函数 f(x)的图象上,求证点 A 关于直线 x=1 的对称点 B 也在函数 f(x)的图象上; 2 (Ⅲ)是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx -1 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点.若存在,请求出实数 b 的值; 若不存在,试说明理由.

4

3

2

8.已知函数 f(x)=a +
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x?2 (a>1) x ?1 (1)证明 函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根
x
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9.已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(- (1)求证 f(x)是单调递增函数; (2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证
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1 1 )=0,当 x>- 时,f(x)>0 2 2

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用心

爱心

专心

7

1(1) f (0) = -1,f (1) = 0,f (2) = 3; (2) f [ x ? (? x)] ? f ( x) ? f (? x) ? 2 x(? x) ? 1 , 又 f ( x) ? f (? x) ,f (0) = -1,故 f ( x) ? x 2 ? 1 ; (3) F ( x) ? x 4 ? 4x 2 ? 3 .用定义可证明 F (x) 在[ 2 ,+∞) 上是增函数,在(0, 2]上为减函数

2解

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(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即

ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ?? ? bx ? c ? bx ? c bx ? c ? bx ? c

∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=

a ax 2 ? 1 a 1 ? x? ≥2 , bx b bx b2

当且仅当 x=

a 1 2 时等号成立,于是 2 =2,∴a=b , 2 a b
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5 a ?1 5 b2 ?1 5 1 1 2 得 < 即 < ,∴2b -5b+2<0,解得 <b<2,又 b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+ b 2 2 2 2 x b (2)设存在一点(x0,y0)在 y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2- x0,- y0)也在 y=f(x)图象上,则
由 f(1)<
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? x0 2 ? 1 ? y0 ? ? x0 ? 2 ? ( 2 ? x0 ) ? 1 ? ? y 0 ? 2? x 0 ?

消去 y0 得 x0 -2x0-1=0,x0=1± 2

2

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∴y=f(x)图象上存在两点(1+ 2 ,2 2 ),(1- 2 ,-2 2 )关于(1,0)对称 3 解: (1) 由 f (-x)=-f (x) 得-bx+c=-(bx+c) ?c ? 0. 又 f (1)=2,得 a+1=2b,而 f (2)<3,得
4a ? 1 < 3 ? -1< a ?1

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a< 2,又 a?Z

1 2 (2) 由题意,不等式可化为 f ( x ) ? f ( 2 x ? 1 ) ,又 f (x) 在 [0,?? ) 上为减函数,所以不等式可化为 x ? 2 x ? 1 ? x ? ?1 或

所以 a=0 或 a=1,当 a=0 时,b= (舍去),当 a=1 时,b=1, ? a ? b ? 1, c ? 0.

x>- .
所以,不等式的解集为(-∞,-1)∪(- ,+∞). 4∵ f (x)是周期函数,2 是它的一个周期 ∵
1 1 1 1 < < ,∴ 3 < log 1 < 4 32 81 32 27
3

1 3

1 3

令 3≤x≤4,∴ -1≤x-4≤0 ? 0≤4-x≤1 f (x)的周期是 2,且是偶函数 ∴ x∈[3,4],f (x)=f (x-4) f [-(x-4)]=f (4-x)=3x-4-1 ∵ x= log 1
3

1 1 1 ,x-4= log 1 - log 1 32 32 81
3 3

81 32 = log 1 = log 3 32 81
3

∴ f

log3 32 49 1 ( log 1 )= 3 81 -1= -1=- 32 81 81
3

32

5 解:①f (x)是 R 上的奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) 令 x=0
用心

f ( ?0) ? ? f (0) ? f (0) ? 0

爱心

专心

8

②依题意有:
? f (? x) ? ? f ( x) ? ? ? f (1 ? x) ? ? f (?2 ? x) ? f (1 ? x) ? ? f (?1 ? x) ? ? ? f ( x) ? ? f (?2 ? xx)

f (2 ? x) ? ? f ( x) ? f (4 ? x) ? f ( x) ? T ? 4

③∵ f ( x) ? ? ∴ f ( x) ? ?

(?1 ? x ? 1) ?x ?? x ? 2 (1 ? x ? 3)

(4k ? 1 ? x ? 4k ? 1) ?x ? 4k (k ? Z ) ?? x ? 2 ? 4k (4k ? 1 ? x ? 4k ? 3)

6 解:(1)由已知得 f(-1)=f(2-3)=f(2+3)=f(5)?0,故 f(-1)??f(1), 从而知函数 y= f(x) 非奇非偶函数不是奇函数; (2)由 ?

? f(x)= f(x+10),从而知函数 y= f(x)的周期为 T=10 由 f(7-x)=f(7+x)得,f(x)的图象关于 x=7 对称,且在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0. ∴在[0,10]上,只有 f(1)=f(3)=0, ∴10 是 f(x)的最小正周期, ∵在[0,10]上,只有 f(1)=f(3)=0, ∴在每一个最小正周期内 f(x)=0 只有两个根, ∴在闭区间[-2005,2005]上的根的个数是 802. 7 解: (Ⅰ)由函数 f(x)=x -4x +ax -1,在区间[0,1)上单调递增,在区间[1,2)上单调递减,∴x=1 时,f(x) 取得极大值,∴f′(1)=0. f′(x)=4x3-12x2+2ax, ∴4-12+2a=0 ? a=4. (Ⅱ)点 A(x0,f(x0))关于 x=1 的对称点 B 坐标为(2-x0,f(x0)), f(2-x0)=(2-x0)4-4(2-x0)3+4(2-x0)2-1=(2-x0)2[(2-x0)-2]2-1 4 3 2 =x0 -4x0 +4x0 -1=f(x0). ∴点 A 关于直线 x=1 的对称点 B 也在函数 f(x)的图象上. 2 4 3 2 2 (Ⅲ)函数 g(x)=bx -1 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点,等价于方程 x -4x +4x -1=bx -1 恰有 3 个不等实 4 3 2 2 4 3 2 根,x -4x +4x -1=bx -1 ? x -4x +(4-b)x =0. 2 ∵x=0 是其中一个根,∴方程 x -4x+(4-b)=0 有两个非 0 不等实根. ∴?
4 3 2

? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x) ?

?Δ ? 16 ? 4(4 ? b) ? 0, ∴b>0 且 b≠4. ?4 ? b ? 0.
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8 证明

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(1)设-1<x1<x2<+∞,则 x2-x1>0, a x2 ? x1 >1 且 a x1 >0,

∴ a x2 ? a x1 ? a x1 (a x2 ?x1 ? 1) >0,又 x1+1>0,x2+1>0 ∴

x2 ? 2 x1 ? 2 ( x2 ? 2)( x1 ? 1) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 1) 3( x2 ? x1 ) ? ? ? >0, x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
x 2 ? 2 x1 ? 2 ? >0 x 2 ? 1 x1 ? 1
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于是 f(x2)-f(x1)= a x2 ? a x1 +

∴f(x)在(-1,+∞)上为递增函数 (2)证法一 设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0,
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则 a x0 ? ?

x ?2 x0 ? 2 且由 0< a x0 <1 得 0<- 0 <1, x0 ? 1 x0 ? 1
用心 爱心 专心 9

1 <x0<2 与 x0<0 矛盾,故 f(x)=0 没有负数根 2 证法二 设存在 x0<0(x0≠-1)使 f(x0)=0,若-1<x0<0,

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x0 ? 2 <-2, a x0 <1,∴f(x0)<-1 与 f(x0)=0 矛盾, x0 ? 1 x0 ? 2 >0, a x0 >0, x0 ? 1
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若 x0<-1,则

∴f(x0)>0 与 f(x0)=0 矛盾,故方程 f(x)=0 没有负数根 9(1)证明
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1 1 1 >- ,由题意 f(x2-x1- )>0, 2 2 2 ∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) 1 1 =f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(- )-1=f[(x2-x1)- ]>0, 2 2 ∴f(x)是单调递增函数 (2)解 f(x)=2x+1 验证过程略
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设 x1<x2,则 x2-x1-

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高一数学------函数的基本性质
一、典型选择题 1.在区间 上为增函数的是( )

A.

B.

C.

D.

(考点:基本初等函数单调性) 2.函数 C . D. 是单调函数时, 的取值范围 ( ) A. B.

(考点:二次函数单调性) 3.如果偶函数在 具有最大值,那么该函数在 有 ( ) D. 没有最小值

A.最大值 B.最小值 (考点:函数最值) 4.函数 A.偶函数 (考点:函数奇偶性) 5.函数 A. 在 和 B. 都是增函数,若 , 是( B.奇函数 )

C .没有最大值

C.不具有奇偶函数 D.与

有关

,且 C.
用心 爱心 专心

那么( D.无法确定



10

(考点:抽象函数单调性) 6.函数 A. 在区间 是增函数,则 B. C. 的递增区间是 ( D. )

(考点:复合函数单调性) 7.函数 在实数集上是增函数,则 ( )

A.

B.

C.

D.

(考点:函数单调性) 8.定义在 R 上的偶函数 A. C. (考点:函数奇偶、单调性综合) 9.已知 A. C. (考点:抽象函数单调性) 二、典型填空题 1.函数 在 R 上为奇函数,且 ,则当 , . 在实数集上是减函数,若 B. D. ,则下列正确的是 ( ) ,满足 B. D. ,且在区间 上为递增,则( )

(考点:利用函数奇偶性求解析式) 2.函数 ,单调递减区间为 ,最大值和最小值的情况为 .

(考点:函数单调性,最值) 三、典型解答题 1.(12 分)已知 (考点:复合函数单调区间求法) ,求函数 得单调递减区间.

2.(12 分)已知



,求

.

(考点:函数奇偶性,数学整体代换的思想) 3.(14 分)在经济学中,函数 的边际函数为 ,定义为 (单位元) 其成本函数为 , ,某公司每月最多生产 (单

100 台报警系统装置。 生产 台的收入函数为 位元),利润的等于收入与成本之差. ①求出利润函数 及其边际利润函数 ;
用心 爱心 专心

11

②求出的利润函数

及其边际利润函数

是否具有相同的最大值;

③你认为本题中边际利润函数

最大值的实际意义.

(考点:函数解析式,二次函数最值) 4. (14 分)已知函数 在 上为减函数,并且在 ,且 上为增函数. , ,试问,是否存在实数 ,使得

(考点:复合函数解析式,单调性定义法)

参考答案 一、BAABDBAAD

二、1. 三、3. 解: 函数



2.





; , ,

故函数的单调递减区间为 4.解: 已知 中

. 为奇函数,即 ,得 , . = 中 . ,也即 ,

5.解:

; ,故当 因为 为减函数,当 62 或 63 时, 74120(元)。

时有最大值 2440。故不具有相等的最大值.

边际利润函数区最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大. 6.解: .

用心

爱心

专心

12

由题设当

时, , , 时, , , .









函数的基本性质--综合训练 B 组 一、选择题
1.下列判断正确的是( ) B.函数 f ( x) ? (1 ? x)

x 2 ? 2x A.函数 f ( x) ? 是奇函数 x?2
C.函数 f ( x) ? x ? x 2 ? 1 是非奇非偶函数
2

1? x 是偶函数 1? x

D.函数 f ( x) ? 1 既是奇函数又是偶函数 )

2.若函数 f ( x) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5,8] 上是单调函数,则 k 的取值范围是( A. ? ??, 40? C. ? ??, 40? ? ?64, ??? 3.函数 y ? B. [40,64] D. ?64, ?? ? )

x ? 1 ? x ?1 的值域为(
B. 0, 2

? ? C. ? 2 ,???
A. ? ?, 2

?

?
) C. a ? 5

4.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ?1? x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数,
2

D. ?0,???

则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?3 B. a ? ?3

D. a ? 3

2 x 5. 下列四个命题: (1)函数 f ( x ) 在 x ? 0 时是增函数, ? 0 也是增函数, 所以 f (x) 是增函数; (2)若函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2

2 与 x 轴没有交点,则 b ? 8a ? 0 且 a ? 0 ;(3) y ? x ? 2 x ? 3 的递增区间为 ?1, ?? ? ;(4) y ? 1 ? x 和 y ?
2

(1 ? x) 2 表示

相等函数。 其中正确命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离,横 轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是( ) d d0 d d0 d d0 d d0

用心

爱心

专心

13

O A.

t0 t B.

O

t0 t

O C.

t0 t

O D.

t0 t

二、填空题
1.函数 f ( x) ? x 2 ? x 的单调递减区间是____________________。 2.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? | x | ?1 ,那么 x ? 0 时, f ( x) ? 3.若函数 f ( x ) ? .

x?a 在 ??1,1? 上是奇函数,则 f ( x ) 的解析式为________. x ? bx ? 1
2

4.奇函数 f ( x ) 在区间 [3, 7] 上是增函数,在区间 [3, 6] 上的最大值为 8 ,最小值为 ?1 ,则 2 f (?6) ? f (?3) ? __________。 5.若函数 f ( x) ? (k 2 ? 3k ? 2) x ? b 在 R 上是减函数,则 k 的取值范围为__________。

三、解答题
1 ? x2 1.判断下列函数的奇偶性(1) f ( x ) ? x?2 ?2
(2) f ( x) ? 0, x ???6, ?2? ? ?2,6?

2.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,且对任意 a, b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立, 证明: (1)函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数; (2)函数 y ? f ( x) 是奇函数。

3. 设函数 f ( x ) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x ) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x ) x ?1

和 g ( x) 的解析式.

4.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 , x ? R (1)讨论 f (x) 的奇偶性; (2)求 f (x) 的最小值。

参考答案
一、选择题
用心 爱心 专心 14

1. C

选项 A 中的 x ? 2, 而 x ? ?2 有意义,非关于原点对称,选项 B 中的 x ? 1, 而 x ? ?1 有意义,非关于原点对称,选项 D 中的函数仅为偶函数;

2. C

对称轴 x ?

k k k ,则 ? 5 ,或 ? 8 ,得 k ? 40 ,或 k ? 64 8 8 8

3. B

y?

2 , x ? 1 , y 是 x 的减函数,当 x ? 1, y ? 2,0 ? y ? 2 x ?1 ? x ?1

4. A 对称轴 x ? 1 ? a,1 ? a ? 4, a ? ?3 5. A (1)反例 f ( x) ?

1 ; (2)不一定 a ? 0 ,开口向下也可; (3)画出图象 x

可知,递增区间有 ? ?1,0? 和 ?1, ?? ? ; (4)对应法则不同 6. B 刚刚开始时,离学校最远,取最大值,先跑步,图象下降得快! 二、填空题 1. 2.

1 1 (??, ? ],[0, ] 2 2

画出图象

?x2 ? x ?1 (设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 , f (?x) ? x2 ? x ?1 ,
∵ f (? x) ? ? f ( x) ∴ ? f ( x) ? x2 ? x ?1 , f ( x) ? ?x2 ? x ? 1 )

3.

f ( x) ?

x x ?1
2

( ∵ f (? x) ? ? f ( x) ∴ f (?0) ? ? f (0), f (0) ? 0,

a ? 0, a ? 0 1 x ?1 1 , f (?1) ? ? f (1), ?? ,b ? 0) 即 f ( x) ? 2 x ? bx ? 1 2?b 2?b

4.

?15

( f ( x ) 在区间 [3, 6] 上也为递增函数,即 f (6) ? 8, f (3) ? ?1

2 f ( 6 ) f ? 3 ? ? f 2 ( 6 f) ? ? ( ) ?
5.

(? )) 3?

15

(1, 2)

( k ? 3k ? 2 ? 0,1 ? k ? 2 )
2

三、解答题

1 ? x2 1.解: (1)定义域为 ? ?1,0? ? ? 0,1? ,则 x ? 2 ? 2 ? x , f ( x) ? , x
∵ f ( ? x) ? ? f ( x) ∴ f ( x ) ?

1 ? x2 为奇函数。 x

(2)∵ f (? x) ? ? f ( x) 且 f (? x) ? f ( x) ∴ f ( x ) 既是奇函数又是偶函数。 2.证明:(1)设 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,而 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ∴ f ( x )? f ( 1 ? 2 ? 2 ) ? x x x 1

f 1x ( ?

2

x? )

( 2 x? f )

(2x f )

∴函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数;

用心

爱心

专心

15

(2)由 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 得 f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) 即 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ,而 f (0) ? 0 ∴ f (? x) ? ? f ( x) ,即函数 y ? f ( x) 是奇函数。 3.解:∵ f ( x ) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) ,且 g (? x) ? ? g ( x)

1 1 ,得 f (? x) ? g (? x) ? , x ?1 ?x ?1 1 1 ?? 即 f ( x) ? g ( x) ? , ?x ?1 x ?1 1 x ∴ f ( x) ? 2 , g ( x) ? 2 。 x ?1 x ?1
而 f ( x) ? g ( x) ? 4.解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x2 ? | x | ?1为偶函数,
2 当 a ? 0 时, f ( x)? x ? | x? a| ?为非奇非偶函数; 1

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?
2

1 2 2 1 1 3 当 a ? 时, f ( x) m i n? f ( ) ? a ? , 2 2 4 1 当 a ? 时, f ( x)m i n 不存在; 2

3 , 4

2 2 当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?

1 2

3 , 4

1 时, f ( x) i n? f ( a) 2a ? , ? 1 m 2 1 1 3 当 a ? ? 时, f ( x) min ? f ( ? ) ? ? a ? 。 2 2 4
当a ? ?

用心

爱心

专心

16


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