当前位置:首页 >> 数学 >>

五个重要的初等函数的图像和性质


五个重要的初等函数的图像和性质:
一、羊角线:y=|x-a| (1)图像性质:单调性,对称性, (2)应用:
①方程|x-2|=2a-1 有两个不等实根,求 a 的取值范围; ②|x-2|=(1/2)x+a 有两个不等实根,求 a 的取值范围; ③若 y=|x-2a+1|是偶函数,求 a 的取值范围;

二、槽形线:y=|x-a|+|x-b| (1)图像:值域,单调性,对称性 (2)应用:
①方程|x-2|+|x-3|=2a-1 有 2 个不等实根,求 a 的取值范围; ②|x-2|+|x-3|> 2a+1 恒成立,求 a 的取值范围; ③若 y=|x-2a|+|x-3a+1|是偶函数,求 a 的值;

④若|x-2|+|x-3|> 3,求 a 的取值范围.

三、Z 形线:y=|x-a|-|x-b| (1)图像:值域,单调性,对称性 (2)应用:
①方程|x-2|+|x-3|=2a-1 仅有一个实根,求 a 的取值范围; ②若|x-2|-|x-3|> 2a+1 恒成立,求 a 的取值范围; ③若 y=|x-2a|-|x-3a+1|是奇函数,求 a 的值;

④若|x+2|-|x-3|> 3,求 a 的取值范围.

引申:无解问题,有解问题 四、最简分式函数: y ? ax ? b (c ? 0, ad ? bc)
cx ? d

(1)图像:定义域、值域、单调性、对称性、对称中心
原 式 化 为 : y?
bc ? ad

a c

(cx ? d ) ? ad a bc ?ad c ?b ? ? c , 移 项 整 理 则 有 : cx ? d c cx ? d

ad 2 a bc ? c y? ? ? c d 故有: c cx ? d x ? (? c )

? d ? ? ?x ? ? c d a (1)双曲线中心为 (? , ), 渐近线为? ? ⅰ ax ? b a ; ? c c ? y? y? (c ? 0, ad ? bc)? cx ? d c ? ? ?(2)值域为y ? a 的一切实数; ? c ?

bc ? ad a ? 0 即 bc ? ad 时,函数由反比例函数将对称中心按向量 ? ? ( d 平 c ,? c ) 2 c bc ? ad bc ? ad ? 1 时横向伸长,1 ? 移,再经过横向的伸缩变换( 0 ? 时横向缩短)而得; 2 c c2 bc ? ad a ⅲ当 0 ? 即 bc ? ad 时,函数由反比例函数将对称中心按向量 ? ? ( d 平移, c ,? c ) c2 bc ? ad |? 1 时横向伸长, 然后做关于 X 轴的对称变换,再经过横向的伸缩变换而得( 0 ?| c2
ⅱ当

1 ?|

bc ? ad | 时横向缩短)而得。 c2

(2)应用:
①在一个区间上单调 ②在一个区间上求值域

五、对号函数 f ( x) ? ax ? ( x ? 0) 的图象和性质

b x

基本函数(一) :y=ax+ b (a ? 0 ,b>0) 其图象如右图
x

(一) ,性质如下: ① 顶点为( ?
b a

, ? 2 ab ) ;
b a

② 当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ab ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ab ; ③ 单调增区间为 (?? ,?
)和(
b a

,?? ); 单调减区间为 ( ?

b a

,0)和(0,

b a

);

④ 该函数为奇函数,有两条渐近线,分别为 y ? ax 和 x ? 0 ; ⑤ 用该函数的性质求最值是均值定理的一般形式(可延伸至等号取不 到的情形) ; ⑥ 指定区间上求最值时还要注意其图象与对称轴竖直的抛物线所区别 (无对称性) ; ⑦ 当 b 确定,a 逐渐减小时,曲线如图(五)所示向 X 轴“打开” ,在 此过程中渐近线 y ? ax 斜率逐渐减小。当 a ? 0 时,渐近线即为两轴,该函 数蜕变为反比例函数。当 a ? 0 时,转化为下列基本函数(三) ; ⑧ 当 a 确定,b 逐渐减小时,曲线如图(六)所示靠近原点。当 b=0 时,曲线与渐近线重合, (蜕变为一条直线) ,在此变化过程中两条渐近线不 发生变化; 而当 b ? 0 时, 曲线 “跨过” 直线 y ? ax , 转化为下列基本函数 (二) ; ⑨ 当 a ? 0, b ? 0 时, 函数经历了关于横轴的对称变换,转化为下列基本 函数(四) 。 b 基本函数(二) (三) : y ? ax ? (ab ? 0) x 其性质如下: b ① 其横轴截距为 x ? ? ; a

② 该函数为无界函数,只能在指定的区间上求最值; ③ 该函数在 (??,0)和(0,??) 上均为单调递增 (a ? 0, b ? 0) 或单调递减 (a ? 0, b ? 0) 的两支曲线; ④ 该函数仍为奇函数,其渐近线仍为 y ? ax 和 x ? 0 ; ⑤ 该函数图象的变化趋势和渐近线的得出均可运用极限思想予以分 析。

基本函数(四)y=ax+ b x ( (a ? 0, b ? 0) 为基本函数(一)经过关于原点对称的
图象变换而来,二者的性质相似,方向相反如。 当 b 确定,a 逐渐减小时,曲线变化如右图中细线所示“旋转” ;当 a=0 时 为反比例函数经过图象变换之后的情形;a<0(b<0)时为 1 中情形关于 x 轴所作 的对称变换,图象如右。

(2)应用:
①求值域问题; ②单调性问题 ③很多形式可以转化为上述形式


相关文章:
基本初等函数图像及性质小结
基本初等函数图像性质小结_数学_高中教育_教育专区。整理 为高等数学小结的——基本初等函数 1.函数的五个要素:自变量,因变量,定义域,值域,对应法则 2.函数的四...
基本初等函数图像及性质
基本初等函数图像性质_数学_高中教育_教育专区。DDY 整理 基本初等函数 . 幂函数 (a 为实数) 要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形 . . 指数函数 DDY ...
五大基本初等函数性质及其图像
五大基本初等函数性质及其图像_数学_自然科学_专业资料。五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数 都是幂函数。 称为幂函数。 如 , , , 没有统一 定义...
基本初等函数的图象与性质(最经典)
基本初等函数的图象与性质(最经典)_数学_高中教育_教育专区。基本初等函数的图象...A.5-x<5x<0.5x B.5x<0.5x<5-x ) D.0.5x<5-x<5x C.5x<5-x...
基本初等函数图像及性质小结
基本初等函数图像及性质小结_理学_高等教育_教育专区...函数的五个要素 2.函数的四种特性:有界限,单调性,...3.每个函数的图像重要 每个函数的图像重要 . ...
基本初等函数图像及性质
基本初等函数图像性质_数学_自然科学_专业资料。桂林师范高等专科学校 14 生化...loga x (0 ? a ? 1) 5.对数函数的性质; 性质 函数 定义域 值域奇偶性 ...
基本初等函数性质&图像
基本初等函数性质&图像_工学_高等教育_教育专区。...DDY 整理 以上是五种基本初等函数,关于它们的常用...简单函数符合而成的,这一点对今后的学习非 常重要...
基本初等函数图像及性质
DDY 整理 基本初等函数 . 幂函数 (a 为实数) 要记住最常见的几个幂函数的...五大基本初等函数性质及... 7页 1下载券 函数、基本初等函数的图... 5页...
基本初等函数图像与性质(新整理)
基本初等函数图像与性质 1.函数的五个要素:自变量,因变量,定义域,值域,对应法则 2.函数的四种特性:有界限,单调性,奇偶性,周期性 3.每个函数的图像重要 一、...
函数、基本初等函数的图像与性质(带答案)
? t ,在 [?1, t ](t ? ?1) 上有且只有一个实数根,求实数 t 的取值范围. 4 函数、基本初等函数的图像与性质答案 1、 2、 3、 4、 4 5. 5 6...
更多相关标签: