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高三月考数学题


西安市第八十九中学高三文科第二次月考数学试题 一、选择题(每题 5 分,10 题共 50 分) 1.设集合 s ? {?2,?1,0,1,2}, T ? {x ? R | x ? 1 ? 2}, 则Cs( S ? T ) ? ( A. ? B.{0,1,2} C.{1,2}
3



D.{2}

2.设集合 A ? B ? R, 映射f : A ? B定义为x ? x ? x ? 2, 则在映射f 下,2 的原象所 成的集合是 A.{1} ( B.{1,0,-1} C.{1,-1} D.{9} )

3. 已知向量 a与b不共线, 且 AB ? a ? 2b, BC ? ?4a ? b, CD ? ?5a ? 3b , 则四边形 ABCD 是 A.平行四边形 ( B.矩形 C.梯形 D.菱形 )

4.已知角 ? ? (0,2? ), 且?的终边上一点的坐标为 (sin A.

2? 3

B.

5? 3

C.

5? 6

5? 5? , cos ), 则? 等于 ( 6 6 7? D. 6



5.若集合 S

? {a, b, c}( a 、b、 c ? R )中三个元素为边可构成一个三角形,那么该三角形
) B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 ( B. f ( x ? 1) = 2 x ? 1(2 ? x ? 4) D. f ( x ? 1) = ? 2 x ? 1(2 ? x ? 4) ( ) )

一定不可能 是( ... A.锐角三角形

6. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1(1 ? x ? 3) ,则 A. f ( x ? 1) = 2 x ? 2(0 ? x ? 2) C. f ( x ? 1) = 2 x ? 2(0 ? x ? 2)

7. 已知 lg a ? lg b ? 0 ,则函数 f ? x ? ? a x 与函数 g ? x ? ? ? log b x 的图象可能是 y 1 -1 O A. A.充要条件 C.必要而不充分条件 9. 已知函数 y ? ? sin A.9 x y 1 O 1 B. x y 1 O C.
2

y 1 1 x O 1 D. ( ) x

8. 设 a b c 分别是Δ ABC 的三个内角 ABC 所对的边,则 a =b(b+c)是 A=2B 的 B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

?
3

则正整数 t 的最小值是 ( x 在区间 ? 0, t ? 上至少取得 2 个最大值, B.10 C.11 D.12



10. 已知平面内有一点 P 及一个△ABC,若 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 与△ABC 的位置关 系是( ) A.点 P 在线段 AB 上 在△ABC 外部

B.点 P 在线段 BC 上

C.点 P 在线段 AC 上

D. 点 P

二、(填空题每题 5 分,共 25 分)

11.在Δ ABC 中,cos2B= ?

3 ,则角 B 的大小为 2



12.已知 f ( x ) ? ?
2

1? x ? ?3 ( x ? 0) , 则方程 f(x)=2 的实数根的个数是_______________。 2 1 ? x ? 4 x ? 3 ( x ? 0 ) ?

13.复数

(1 ? 2i ) 的值是 3 ? 4i



14.把函数 y ? sin(x ?

5? )的图象沿向量a ? (?m,0) 的方向平移后,所得的图象的解析 6


, 3 , 5

式为 y ? cos x, 则m 的最小正值是

15.若曲线 y=f(x)上存在三点 A、B、C,使 AB ? BC ,则称点曲线有“中位点” ,下列曲线:① y=cosx, ②y?

??? ?

??? ?

1 3 2 ,③ y ? x ? x ? 2 ,④y=cosx+x2,⑤ y ? x ? 1 ? x ? 2 ,有“中位点”的有 x

三、 (解答题每题 15 分,共 75) 16. 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? a (1)求函数的最大值,以及取得最大值时的 x 相应的值. (2)若函数 f ( x) 在区间 ? ?

? ? 3? ? , ? 上的最小值为-2,求 a 的值. ? 4 4 ?

17. 设 a ? (cos? , (? ? 1) sin ? ), b ? (cos ? , sin ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ? ? ) 是平面上的两个 向量,且 a ? b与a ? b 互相垂直(1)求λ 的值; (2)若 a ? b ? 值. 18.在 ?ABC中, 角A, B, C所对的边长分别是a, b, c, 且 cos A ? (1)求 sin
2

4 4 , tan ? ? , 求 tan? 的 5 3 4 . 5

B?C ? cos 2 A 的值; 2

(2)若 b ? 2, ?ABC的面积S ? 3, 求a. 19.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x
3 2

(1)若 f ( x)在间 [1,??)上是增函数, 求实数a 的取值范围; (2)若 x ? ? 是f ( x)的极值点, 求f ( x)在[1, a] 上的最大值; (3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g ( x) ? bx的图像与函数f ( x) 的图 像恰有 3 个交点,若存在,求出实数 b 的取值范围;若不存在,说明理由。 20.在平面直角坐标系中,已知 A1(-3,0) ,A2(3,0) ,P(x,y) ,M( 实数λ 使向量 A1 P ,λ OM , A2 P 满足λ 2· ( OM )2= A1 P · A2 P 。 (1)求点 P 的轨迹方程,并判断 P 点的轨迹是怎样的曲线; (2)当λ =

1 3

x 2 ? 9 ,0) ,若

3 时,过点 A1 且斜率为 1 的直线与此时(1)中的曲线相交的另一点为 B,能 3

否在直线 x=-9 上找一点 C,使Δ A1BC 为正三角形(请说明理由) 。

西安市第八十九中学高三文科第一次月考数学试题答题卡 一、选择题(每题 5 分,10 题共 50 分) 题号 答案 二、(填空题每题 5 分,共 25 分) 11 ; 13 ; 15 ; 三、 (解答题每题 15 分,共 75) 12 14 ; ; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

16. 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? a (1)求函数的最大值,以及取得最大值时的 x 相应的值. (2)若函数在区间 ? ?

? ? 3? ? , ? 上的最小值为-2,求 a 的值。 ? 4 4 ?

17. 设 a ? (cos? , (? ? 1) sin ? ), b ? (cos ? , sin ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ? ? ) 是平面上的两个 向量,且 a ? b与a ? b 互相垂直(1)求λ 的值; (2)若 a ? b ? 值.

4 4 , tan ? ? , 求 tan? 的 5 3

18.在 ?ABC中, 角A, B, C所对的边长分别是a, b, c, 且 cos A ? (1)求 sin
2

B?C ? cos 2 A 的值; 2

4 . 5

(2)若 b ? 2, ?ABC的面积S ? 3, 求a.

19.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x
3 2

(1)若 f ( x)在间 [1,??)上是增函数, 求实数a 的取值范围; (2)若 x ? ? 是f ( x)的极值点, 求f ( x)在[1, a] 上的最大值; (3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g ( x) ? bx的图像与函数f ( x) 的图 像恰有 3 个交点,若存在,求出实数 b 的取值范围;若不存在,说明理由。

1 3

20.在平面直角坐标系中,已知 A1(-3,0) ,A2(3,0) ,P(x,y) ,M( 实数λ 使向量 A1 P ,λ OM , A2 P 满足λ 2· ( OM )2= A1 P · A2 P 。 (1)求点 P 的轨迹方程,并判断 P 点的轨迹是怎样的曲线; (2)当λ =

x 2 ? 9 ,0) ,若

3 时,过点 A1 且斜率为 1 的直线与此时(1)中的曲线相交的另一点为 B,能 3

否在直线 x=-9 上找一点 C,使Δ A1BC 为正三角形(请说明理由) 。

答案: 一、选择题(每题 5 分,10 题共 50 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 B 5 B 6 B 7 B 8 A 9 C 10 C

二、(填空题每题 5 分,共 25 分) 11

5? 12
-1



7? 12
;

;

12

2

;

13 15

14 ;

5? 3

;

(1) (3) (5)

16, (1)最大值为 2 ,相应的 ? x x ?

? ?

?

? ? 2k? , k ? Z ? (2) a ? ?2 4 ?

17⑴ ? (a ? b) ? (a ? b) ?| a | 2 ? | b | 2 ? cos2 ? ? (? ? 1) 2 sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? (? ? 1) 2 sin 2 ? ? sin 2 ? ,
2 2 ? (? ? 1) 2 s i n ? ?s i n ? ?0



? ? 2或? ? 0(舍),即当? ? 2时, a ? b与a ? b垂直??????? (6分)

(2)当 a ? b与a ? b 垂直时,

a ?b ? c o ? s cos ? ?s in ?s in ? ?cos ?(? ? ) ? c o s ?(? ? ) ? ,? 0 ? ? ? ? ? ? , 则
?

4 5

?
2

?? ? ? ? 0

tan( ? ? ? ) ? tan ? 3 3 7 ? sin(? ? ? ) ? ? , tan( ? ? ? ) ? ? ? tan? ? tan[( ? ? ?) ? ?] ? ? 5 4 1 ? tan( ? ? ? ) tan ? 24

18,解:

B?C A 1 1 59 ? cos 2 A ? cos2 ? 2 cos2 A ? 1 ? 2 cos2 A ? cos A ? ? 2 2 2 2 50 4 3 cos A ? ? sin A ? 5 5 1 又? S ? bc sin A ? 3,? c ? 5 2 sin 2
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2b cos A ? 13
a ? 13
19 解: (1) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 3
2

? f ( x)在[1,??) 上是增函数

? f ?( x)在[1,??)上恒有f ?( x) ? 0
即 3x ? 2ax ? 3 ? 0在[1,??) 上恒成立
2

又函数 y ? f ?( x) 图像为开口向上的抛物线

?a ? ?1 ??3 ? ? f ?(1) ? ?2a ? 0

?a ?1 ? ?3 ?a ? 0 或? ? f ?( a ) ? 0 ? ? 3
(2)? x ? ? 是f ( x) 的极值点

1 3

1 ? f ?(? ) ? 0 ? a ? 4 3
? f ( x) ? x3 ? 4 x 2 ? 3x, f ?( x) ? 3x 2 ? 8 x ? 3
令 f ?( x) ? 0得x ? 3或 ?

1 3
(3,4) + 4

x f ?( x)

1

(1,3) 3 0 极小值

f ( x)

-6

-12

? f ( x)在[1, a] 上的最大值是-6
(3)函数 g ( x) ? bx的图像与函数f ( x) 的图像恰有 3 个交点 即方程 x ? 4 x ? 3x ? bx 恰有三个不同实根
3 2

? x 3 ? 4 x 2 ? 3x ? bx ? 0

? x ? 0 是其中一个根
?? ? 16 ? 4(3 ? b) ? 0 ?? ? b ? ?7且b ? ?3 ?? 3 ? b ? 0
20 解: (1)由已知可得, A1P =(x+3,y), A2 P =(x-3,y), OM =( ∵ ? ( OM )2= A1P · A2 P ,∴ ? (x -9)=x -9+y ,
2 2 2 2 2

x 2 ? 9 ,0),

即 P 点的轨迹方程(1- ? )x +y =9(1- ? )
2 2 2 2

当 1- ? >0,且 ? ≠0,即 ? ∈(-1,0)时,有
2

y2 x2 + =1, 9 9(1 ? ?2 )

∵1- ? >0,∴
2

y2 2 >0,∴x ≤9。 2 9(1 ? ? )

∴P 点的轨迹是点 A1, (-3,0)与点 A2(3,0) 2 2 当 ? =0 时,方程为 x +y =9,P 的轨迹是点 A1(-3,0)与点 A2(3,0) 当 1- ? <0,即入∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,方程为
2

y2 x2 =1,P 点的轨迹是 9 9(1 ? ?2 )

双曲线。 当 1- ? =0,即 ? =±1 时,方程为 y=0,P 点的轨迹是射线。
2

(2)过点 A1 且斜率为 1 的直线方程为 y=x+3, 当? =

3 x2 y2 时,曲线方程为 + =1, 3 9 6

由(1)知,其轨迹为点 A1(-3,0)与 A2(3,0) 因直线过 A1(-3,0) ,但不过 A2(3,0) 。 所以,点 B 不存在。 所以,在直线 x=-9 上找不到点 C 满足条件。


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