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2011-2015全国新课标卷1理数(2016全国卷高二-高三强烈推荐!!!)


2011 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(全国卷新课标 1)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.复数

2+i 的共轭复数是( 1 ? 2i

)

3 i A.- 5

3 i B.

5

C.-i D.i 2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( ) A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=-x2+1 D.y=2-|x| 3.执行下面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是( )

A.120 B.720 C.1 440 D.5 040 4.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组 的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )

1 A. 3 4 A.- 5 3 C. 5
(

1 B. 2 3 B.- 5 4 D. 5

2 C. 3

3 D. 4

5.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos2θ=( )

6.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如下图所示,则相应的侧视图可以为 )

(正视图)

(俯视图)

7.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两 点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( ) A.

2

B. 3

C. 2

D. 3 )

a 1 ( x ? )(2 x ? )5 x x 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( 8.
A.-40 9.由曲线 y ? B.-20 C.20 D.40 )

x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为(
16 C. 3

10 A. 3

B. 4 D. 6 10.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,有下列四个命题:

2? p1:|a+b|>1 ? θ∈ [0, 3 ) 2? p2:|a+b|>1 ? θ∈ ( 3 ,π]

? p3:|a-b|>1 ? θ∈ [0, 3 ) ? p4:|a-b|>1 ? θ∈ ( 3 ,π]
其中的真命题是( A.p1,p4 C.p2,p3 )

B.p1,p3 D.p2,p4

?

11.设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|< 2 )的最小正周期为 π,且 f(-x) =f(x),则( )

?

A.f(x)在(0, 2 )单调递减

? 3? B.f(x)在( 4 , 4 )单调递减 ?
C.f(x)在(0, 2 )单调递增

? 3? D.f(x)在( 4 , 4 )单调递增 1 y? 1 ? x 的图像与函数 y=2sin πx(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等 12.函数
于( )

A.2 B.4 C.6 D.8 第Ⅱ 卷 本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

?3 ? 2 x ? y ? 9 ? 6 ? x ? y ? 9 则 z=x+2y 的最小值为__________. 13.若变量 x,y 满足约束条件 ?
14.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率

2 为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A, B 两点, 且△ ABF2 的周长为 16, 那么 C 的方程为__________. 15.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC= 2 3 ,
则棱锥 OABCD 的体积为__________. 16.在△ ABC 中,B=60° ,AC= 3 ,则 AB+2BC 的最大值为__________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1, (1)求数列{an}的通项公式;

a32 ? 9a2 a3 .

1 { } b (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列 n 的前 n 项和.
18.如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ DAB=60° ,AB= 2AD,PD⊥ 底面 ABCD.

(1)证明:PA⊥ BD; (2)设 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值. 19.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标 值大于或等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验, 各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值 [102 , [106 , [90,94) [94,98) [98, 102) 106) 110] 分组 8 20 42 22 8 频数 B 配方的频数分布表 指标值 [102 , [106 , [90,94) [94,98) [98, 102) 106) 110] 分组 4 12 42 32 10 频数 (1)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (2)(理)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2, t ? 94 ? y ? ? 2,94 ? t ? 102 ? 4, t ? 102 ?
从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期 望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概 率)

20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y=-3 上,M 点满足

MB ∥OA , MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C.
(1)求 C 的方程; (2)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点到 l 距离的最小值.

f ( x) ?
21.已知函数 =0. (1)求 a,b 的值;

a ln x b ? x ? 1 x ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x+2y-3 ln x k ? x ? 1 x ,求 k 的取值范围.

f ( x) ?

(2)如果当 x>0,且 x≠1 时, 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时请写清题号. 22.选修 4—1:几何证明选讲 如图,D,E 分别为△ ABC 的边 AB,AC 上的点,且不与△ ABC 的顶点重合.已知 AE 的长为 m,AC 的长为 n,AD,AB 的长是关于 x 的方程 x2-14x+mn=0 的两个根.

(1)证明:C,B,D,E 四点共圆; (2)若∠ A=90° ,且 m=4,n=6,求 C,B,D,E 所在圆的半径. 23.选修 4—4:坐标系与参数方程

? x ? 2cos a ? y ? 2 ? 2sin a (α 为参数) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2.
(1)求 C2 的方程;

??
(2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 24.选修 4—5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x-a|+3x,其中 a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥3x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求 a 的值.

?
3 与 C1 的异于极点的

2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(全国卷新课标 1)
第Ⅰ卷 第Ⅰ卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 一、选择题

?1 ? 3i ? 1.复数 1 ? i (
A.2+i A.0 或 3 B.2-i

) C.1+2i D.1-2i )

2.已知集合 A={1,3, m },B={1,m},A∪ B=A,则 m=( B.0 或 3 C.1 或 3 D.1 或 3

3.椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x=-4,则该椭圆的方程为(

)

x y ? ?1 A. 16 12 x2 y 2 ? ?1 4 C. 8

2

2

x y ? ?1 B. 12 8 x2 y 2 ? ?1 D. 12 4

2

2

4.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2, 直线 AC1 与平面 BED 的距离为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.1

CC1 ? 2 2 ,E 为 CC1 的中点,则

1 aa 5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列{ n n ?1 }的前 100 项
和为( )

100 A. 101

99 B. 101

99 C. 100

101 D. 100

6.△ ABC 中,AB 边的高为 CD.若 CB =a, CA =b,a· b=0,|a|=1,|b|=2,则 AD =( )

1 1 a? b 3 A. 3 3 3 a? b 5 C. 5

2 2 a? b 3 B. 3 4 4 a? b 5 D. 5
)

3 7.已知 α 为第二象限角,sinα+cosα= 3 ,则 cos2α=( 5 5 5 5 ? ? A. 3 B. 9 C. 9 D. 3
1 A. 4
3 B. 5

8.已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|, 则 cos∠ F1PF2=( )

3 C. 4
? 1

4 D. 5

) A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x 10.已知函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=( ) A.-2 或 2 B.-9 或 3 C.-1 或 1 D.-3 或 1 11.将字母 a,a,b,b,c,c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母 也互不相同,则不同的排列方法共有( ) A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种

2 9.已知 x=ln π,y=log52, z =e ,则(

3 12.正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上,AE=BF= 7 .动点
P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 第Ⅱ 卷 第Ⅱ 卷共 10 小题,共 90 分.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

13.若 x,y 满足约束条件

? x ? y ? 1 ? 0, ? ? x ? y ? 3 ? 0, ? x ? 3 y ? 3 ? 0, ?

则 z=3x-y 的最小值为__________.

14.)当函数 y=sinx- 3 cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x=__________.

1 1 2 15.若(x+ x )n 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中 x 的系
数为__________. 16.三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等,∠ BAA1=∠ CAA1=60° , 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos(A-C)+cosB=1,a=2c, 求 C. 18.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥ 底面 ABCD, AC ? 2 2 , PA=2,E 是 PC 上的一点,PE=2EC.

(1)证明:PC⊥ 平面 BED; (2)设二面角 A-PB-C 为 90° ,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小. 19.乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对 方再连续发球 2 次,依次轮换.每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中, 每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛 中,甲先发球. (1)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (2)ξ 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ξ 的期望. 20.设函数 f(x)=ax+cosx,x∈ [0,π]. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设 f(x)≤1+sinx,求 a 的取值范围.

1 21.已知抛物线 C:y=(x+1)2 与圆 M:(x-1)2+(y- 2 )2=r2(r>0)有一个公共点 A,
且在 A 处两曲线的切线为同一直线 l. (1)求 r; (2)设 m,n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线,m,n 的交点为 D,求 D 到 l 的距 离. 22.函数 f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1 是过两点 P(4,5),Qn(xn, f(xn))的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标. (1)证明:2≤xn<xn+1<3; (2)求数列{xn}的通项公式.

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(全国卷新课标 1) 第Ⅰ卷
选择题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的一项。 1.已知集合 A.A∩B=

A ? ? x | x 2 ? 2 x ? 0? , B ? x | ? 5 ? x ? 5
B.A∪B=R C.B? A

?

? ,则
(

( )

)

2.若复数 z 满足 (3 ? 4i) z ?| 4 ? 3i | ,则 z 的虚部为

D.A? B

A. ?4 C.4 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调 查,事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视 力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样

4 ? B. 5

4 D. 5

x2 y 2 5 ? 2 ?1 2 b 4.已知双曲线 C : a ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 2 ,则 C 的渐近线方程为 1 1 1 y?? x y?? x y?? x 2 4 3 A. B. C. D. y ? ? x 5.运行如下程序框图,如果输入的 t ? [?1,3] ,则输出 s 属于

A. [?3, 4] B. [?5, 2] C. [?4,3] D. [?2,5] 6.如图, 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高 8cm, 将一个球放在容器口, 再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体 积为 ( )

1372? 2048? cm 3 cm3 3 3 C. D. S , S ? ?2, Sm ? 0, Sm?1 ? 3,则 m ? ( ?a ? 7.设等差数列 n 的前 n 项和为 n m?1 ) 500? cm3 A. 3 866? cm3 3 B.
A.3 B.4 C.5 D.6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A. 16 ? 8?

B. 8 ? 8?
2m

C. 16 ? 16?

D. 8 ? 16?
2 m ?1

9.设 m 为正整数, ( x ? y )

展开式的二项式系数的最大值为 a , ( x ? y ) ( )

展开式的

二项式系数的最大值为 b ,若 13a ? 7b ,则 m ? A.5 B.6 C.7 D.8

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 10. 已知椭圆 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点。若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为 ( ) E: x2 y 2 ? ?1 A. 45 36 x2 y 2 ? ?1 B. 36 27 x2 y 2 ? ?1 C. 27 18 x2 y 2 ? ?1 D. 18 9

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? ln( x ? 1), x ? 0 11.已知函数 f ( x) ? ? ,若| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是 A. (??, 0] B. (??,1] C. [?2,1] D. [?2, 0] ?An BnCn 的三边长分别为 an , bn , cn , ?An BnCn 的面积为 Sn , n ? 1, 2,3, 12. 设

,若

b1 ? c1 , b1 ? c1 ? 2a1 ,

an ?1 ? an , bn ?1 ?

cn ? an b ? an , cn ?1 ? n 2 2 ,则( )

A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递 增数列 二.填空题:本大题共四小题,每小题 5 分。 13.已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60° ,c=ta+(1-t)b,若 b· c=0,则 t=_____.

2 1 an ? a 3 ,则数列{ an }的通项公式是 an =______. 14.若数列{ n }的前 n 项和为 Sn= 3
15.设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则 cos ? ? ______
2 2

16.若函数 f ( x) = (1 ? x )( x ? ax ? b) 的图像关于直线 x ? ?2 对称,则 f ( x) 的最大值 是______. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)如图,在△ABC 中,∠ABC=90° ,AB= 3 ,BC=1,P 为△ ABC 内一点,∠BPC=90° 1 (1)若 PB= ,求 PA;(2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA 2

18.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠ BA A1=60° . (Ⅰ )证明 AB⊥ A1C; (Ⅱ )若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角 的正弦值。

19.(本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产 品中优质品的件数记为 n。如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则 这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品 通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是 否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作 质量检验所需的费用记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。

20.(本小题满分 12 分)已知圆 M : ( x ? 1) ? y ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) ? y ? 9 ,动圆 P 与 M
2 2 2 2

外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ )求 C 的方程; (Ⅱ ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半 径最长时,求|AB|.
2 21.(本小题满分共 12 分)已知函数 f ( x) = x ? ax ? b , g ( x) = e (cx ? d ) ,若曲线
x

y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x) 都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2

(Ⅰ )求 a , b , c , d 的值; (Ⅱ )若 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) ,求 k 的取值范围。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切 点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 D。 (Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ) 设圆的半径为 1, BC= , 延长 CE 交 AB 于点 F, 求△BCF 外接圆的半径。

23. (本小题 10 分)选修 4— 4:坐标系与参数方程

已知曲线 C1 的参数方程为

C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? 。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π) 。 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) = x ? 3 . (Ⅰ)当 a =2 时,求不等式 f ( x) < g ( x) 的解集;

? x ? 4 ? 5cos t ? ? y ? 5 ? 5sin t ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线

a 1 (Ⅱ)设 a >-1,且当 x ∈[ 2 , 2 )时, f ( x) ≤ g ( x) ,求 a 的取值范围. ?

2014 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(全国卷新课标 1)
第Ⅰ卷 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={ x | x ? 2 x ? 3 ? 0 },B=
2

? x ?2 ? x ? 2? ,则 A ? B =
D .[1,2)

A .[-2,-1] (1 ? i )3 2 2. (1 ? i ) =
A .1 ? i

B .[-1,2)

C .[-1,1]

C . ?1 ? i B .1 ? i D . ?1 ? i 3.设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结
论正确的是

A . f ( x) g ( x) 是偶函数 C . f ( x) | g ( x) |是奇函数
2

B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 D .| f ( x) g ( x) |是奇函数
2

4.已知 F 是双曲线 C : x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线 的距离为

A. 3

B .3

C . 3m

D . 3m

5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参 加公益活动的概率

1 A. 8

3 B.8

5 C .8

7 D. 8

6.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA , 终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示为

x 的函数 f ( x) ,则 y = f ( x) 在[0, ? ]上的图像大致为

7.执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M =

20 A. 3
8.设

16 B. 5

7 C.2

15 D. 8
2 ,且

? ? ? (0, )
3? ? ? ?

2 ,

? ? ? (0, )

tan ? ?

?
2

2 B. ?x ? y ? 1 ? x ? 2 y ? 4 的解集记为 D .有下面四个命题: 9.不等式组 ?

A.

2? ? ? ?

?

1 ? sin ? cos ? ,则 ? 3? ? ? ? C. 2

D.

2? ? ? ?

?
2

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P3 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 3 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .
其中真命题是

A . p2 , P3

B . p1 , p4
2

C . p1 , p2

D . p1 , P3

10.已知抛物线 C : y ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF | =

7 A. 2

5 B. 2

C .3

D .2
x0 ,

3 2 11.已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 , 若 f ( x ) 存在唯一的零点



x0 >0,则 a 的取值范围为

A . ( 2 , + ∞)
(-∞,-1)

B . ( - ∞, -2 )

C . ( 1 , + ∞)

D .

12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视 图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为

A.6 2

B.4 2

C .6

D .4

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必 须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题 5 分。 13. ( x ? y)( x ? y) 的展开式中 x y 的系数为 .(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .
8
2 2

AO ?
15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 为 .

1 ( AB ? AC ) 2 ,则 AB 与 AC 的夹角

(2 ? b ) ( sA i? n

16. 已 知 a , b, c 分 别 为 ?ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 , a =2 , 且

B si ?n c ? ) b ( ,则 C )?s i n 面积的最大值为 ABC

.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 其中 ? 为常数. 17.(本小题满分 12 分)已知数列{

a1 =1, an }的前 n 项和为 Sn , an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,

an?2 ? an ? ? ; a (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ n }为等差数列?并说明理由.
(Ⅰ)证明: 18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指 标值,由测量结果得如下频率分布直方图:

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的 中点值作代表) ; (Ⅱ) 由频率分布直方图可以认为, 这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N ( ? , ? ) ,
2

2

其中 ? 近似为样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s .
2
2

(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ;

(ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为 于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2.

2 P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544. 若 Z ~ N (? , ? ) , 则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826,

19. (本小题满分 12 分)如图三棱柱 (Ⅰ) 证明: (Ⅱ)若 求二面角
2

ABC ? A1B1C1 中, BB C C AB ? B1C . 侧面 1 1 为菱形,

AC ? AB1 ;

AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=BC A ? A1B1 ? C1 的余弦值.

20. ( 本小题满分 12 分 ) 已知点 A ( 0 , -2 ) ,椭圆 E :

x y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的离心率为 2 , F 是椭圆的焦点,直 2 3 线 AF 的斜率为 3 , O 为坐标原点. (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. be x ?1 x , 21. (本小题满分 12 分)设函数 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1) 处 的切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 . (Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 . f ( x0 ? ae x ln x ?
请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如 果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方 框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延 长线交于点 E,且 CB=CE .(Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明: △ADE 为等边三角形. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? ?1 y ? 2 ? 2t ( t 为参数). 9 已知曲线 C : 4 ,直线 l : ? (Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程;
(Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A , 求 | PA | 的最大值与最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
o

N

1 1 ? ? ab 若 a ? 0, b ? 0 ,且 a b . 3 3 (Ⅰ) 求 a ? b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

2015 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(全国卷新课标 1)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

1+z (1)设复数 z 满足 1 ? z =i,则|z|= (A)1 (B) 2 (C) 3
(2)sin20°cos10°-cos160°sin10°=

(D)2

?
(A)

3 2

3 (B) 2
2

1 (C) 2 ?
n

1 (D) 2

(3)设命题 P: ? n ? N, n > 2 ,则 ? P 为
2 n (A) ? n ? N, n > 2 2 n (B) ? n ? N, n ≤ 2

2 n (C) ? n ? N, n ≤ 2

2 n (D) ? n ? N, n = 2

(4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的 概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312

x2 ? y2 ? 1 (5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: 2 上的一点,F1、F2 是 C 上的两个焦点, MF1 ? MF2 <0,则 y0 的取值范围是 若

3 3 3 3 (A)(- 3 , 3 ) (B)(- 6 , 6 ) 2 2 2 2 2 3 2 3 ? ? 3 , 3 ) (D)( 3 , 3 ) (C)(
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依 垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米 堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆 放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米 约有 (A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛

(7)设 D 为 ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则

1 4 AD ? ? AB ? AC 3 3 (A)

AD ?
(B)

1 4 AB ? AC 3 3

AD ?
(C)

4 1 AB ? AC 3 3

AD ?
(D)

4 1 AB ? AC 3 3

(8)函数 f(x)=的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为 (A)(),k (B)(),k (C)(),k (D)(),k

(9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

( x2 ? x ? y)5 的展开式中, x5 y 2 的系数为
(A)10 (B)20 (C)30 (D)60 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的 正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ? ,则 r= (A)1 (B)2 (C)4 (D)8

2 r

r 正视图 r

2 r 俯视图 (12)设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0,使得 f(x0) 0, 则 a 的取值范围是( )

3 A.[ 2e ,1) ?

3 3 , B. [ 2e 4 ) ?

3 3 , C. [ 2e 4 )

3 D. [ 2e ,1)

第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 (13)若函数 f(x)=xln(x+ a ? x )为偶函数,则 a= (14)一个圆经过椭圆的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则该圆的标准方程为
2

.

(15)若 x,y 满足约束条件 . (16)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值范围 是 . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0, (Ⅰ)求{an}的通项公式: (Ⅱ)设 ,求数列}的前 n 项和 (18)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点, BE⊥平面 ABCD, DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

?x ?1 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 4 ? 0 ?

y ,则 x 的最大值为

E F A B D C

(19) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对 年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i =1,2, · · · ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
年 销 售 量 /t 年宣传费(千元)

y

w x )2
6 .8

?
x ?1

1

x
4 6.6 6.3 5

(x1 -

?
x ?1

1

(w1 -

?
x ?1

1

(x1 -

?
x ?1

1

(w1

w )2
289.8 1.6
1

x )(y- y )
1469

- w )(y- y ) 108.8

1 表中 w1 = x 1, , w = 8

? w1
x ?1

(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传 费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利率 z 与 x、 y 的关系为 z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)??.. (un 截距的最小二乘估计分别为: vn),其回归线 v= ? ? ? u 的斜率和

??

? (u ? u)(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u )
i ?1 i

n

,? ? v ? ? u

2

(20)(本小题满分 12 分)

x2 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y= 4 与直线 y=kx+a(a>0)交于 M,N 两点,
(Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程;

(Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.

(21)(本小题满分 12 分)

1 x 3 ? ax ? , g ( x) ? ? ln x 4 已知函数 f(x)= (Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线;
(Ⅱ)用 min 讨论 h(x)零点的个数

?m, n?

表示 m, n 中的最小值, 设函数

h( x) ? min ? f ( x), g ( x)

? ( x ? 0)



请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

(22)(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,BC 交☉O 于点 E 若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是☉O 的切线; 若 OA= 3 CE,求∠ACB 的大小. C E D A B

O

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中.直线 1 :x=-2,圆 点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 求

C

C2 :(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极

C1 , C2 的极坐标方程;

C 若直线 3 的极坐标方程为
的面积

??

?
4

? ? ? R?

,设

C2 与 C3 的交点为 M , N ,求△C2MN

(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数=|x+1|-2|x-a|,a>0. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围


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