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第25届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答


第 25 届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答 一、答案 1. 2. 3. 1.3 ? 1014 kg 2 ? m 2 ? s ?1 1 3 ?5 ?5 1 . 0? 6 1 0 (答 1.05 ?10 也给分) 3 T 4 T 二、参考解答: 1. 椭圆半长轴 a 等于近地点和远地点之间距离的一半,亦即近地点与远地点矢径长度 (皆指卫星到地心的距离) rn 与 r

f 的算术平均值,即有 a? 代入数据得 1 1 ? rn ? r ? Hn ? ?R ?? H ?? f? ? ? f ? ?R 2 2? 1 ? ? 2 H ?? H n f ? R (1) a ? 3.1946 ?104 km 椭圆半短轴 b 等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值,即有 (2) b ? rn rf 代入数据得 (3) b ? 1.942 ?104 km 椭圆的偏心率 (4) e? 代入数据即得 a 2 ? b2 a (5) e ? 0.7941 (6) 2. 当卫星在 16 小时轨道上运行时,以 vn 和 vf 分别表示它在近地点和远地点的速度, 根据能量守恒,卫星在近地点和远地点能量相等,有 1 2 GMm 1 2 GMm mvn ? ? mvf ? 2 rn 2 rf (7) 式中 M 是地球质量,G 是万有引力常量. 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心 的连线垂直,根据角动量守恒,有 mvn rn ? mvf rf 注意到 (8) GM ?g R2 (9) 由(7)、(8)、(9)式可得 vn ? rf 2 g R rn rf ? rn (10) vf ? rn r 2g vn ? n R rf rf rf ? rn rf ? R ? Hf (11) 当卫星沿 16 小时轨道运行时,根据题给的数据有 rn ? R ? H n 由(11)式并代入有关数据得 vf ? 1.198 km/s (12) 依题意,在远地点星载发动机点火,对卫星作短时间加速,加速度的方向与卫星速度方 向相同,加速后长轴方向没有改变,故加速结束时,卫星的速度与新轨道的长轴垂直,卫星 所在处将是新轨道的远地点.所以新轨道远地点高度 Hf? ? Hf ? 5.0930 ?104 km,但新轨道 ? ? 6.00 ?102 km.由(11)式,可求得卫星在新轨道远地点处的速度为 近地点高度 Hn km/s v? f ?1 . 2 3 0 卫星动量的增加量等于卫星所受推力 F 的冲量,设发动机点火时间为?t,有 (13) m ? v? f ? vf ? ? F ?t 由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得 ?t= 1.5 ?10 s (约 2.5 分) 2 (14) (15) 这比运行周期小得多. 3. 当卫星沿椭圆轨道运行时,以 r 表示它所在处矢径的大小,v 表示其速度的大小,? 表示矢径与速度的夹角,则卫星的角动量的大小 L ? rmv sin ? ? 2m? (16 ) 其中 ? ? r v sin ? 是卫星矢径在单位时间内扫过的面积,即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的,故 ? 是恒 量.利用远地点处的角动量,得 1 2 (17) ? ? rf vf 又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为 1 2 (18) S ? πab 所以卫星沿轨道运动的周期 (19) T? S ? (20) 由(18)、(19)、(20) 式得 T? 代入有关数

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