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柱体


对于空间几何体,我们分别从 几何体的结构特征和三视图两 个方面进行了研究,为了度量 一个几何体的大小,我们还须 进一步学习几何体的表面积和 体积.

1.3 空间几何体的表面积和体积

1.3.1 柱、锥、台体的表面积

几种基本初等图形的面积计算公式
a b

S=ab
a
A

b

h

1 S ? ( a ? b) h 2

c

h

S?
C

1 1 ah ? ac sin B 2 2

r

S ? ? ?r2

B

a

S ? a ? ha ? b ? hb
? ab sin A

b A a

l
r

1 S ? l ?r 2

提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗?

几何体表面积 空间问题

展开图

平面图形面积 平面问题

引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的几何 体,它们的表面积就是各个面的面积的和. 因此,我们可以把它们展成平面图形,利 用平面图形求面积的方法,求立体图形的表面
积.

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成 的几何体,它们的展开图是什么?如何计算它们 的表面积?

棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

h

正棱柱的侧面展开图

棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

侧面展开

h'

正棱锥的侧面展开图

h'

棱台的展开图
棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

侧面展开
h'

正棱台的侧面展开图

h'

棱柱、棱锥、棱台的表面积

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

? 例1 已知四棱锥S-ABCD中,各侧面为正 三角形,底面为正方形,且各棱长均为5, 求它的侧面积、表面积. ? 【分析】 由题意可知,四棱锥的四个侧 面为全等的正三角形,底面为正方形.

? 【解】 设E为AB中点,则SE⊥AB,

∴ S 2× 5× 5
2



= 4S



SAB

1 = 4× × AB× SE = 2

?5 ?2 - ? ? = 25 ?2 ?

3.

S 表面积= S 侧+ S 底= 25 3+ 25= 25( 3+ 1).

? 【规律方法】 求棱锥的表面积,可以先 求侧面积,再求底面积.求侧面积,要清 楚各侧面三角形的形状,并找出求面积的 条件;求底面积要清楚底面多边形的形状 及求其面积的条件.

圆柱的表面积
r O?

l
O

2?r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2

圆锥的表面积

2?r

l

r

O
2

圆锥的侧面展开图是扇形

S圆锥表面积 ? ?r ? ?rl ? ?r(r ? l )

圆台的表面积

r 'O’
l

2?r '

2?r

r

O
2 2

圆台的侧面展开图是扇环

S圆台表面积 ? ? (r? ? r ? r?l ? rl )

圆柱、圆锥、圆台表面积
侧面展开图 侧面积
S侧 ? 2?r ? l ? 2?rl

表面积

S ? 2?r (r ? l )

1 S侧 ? ? 2?r ? l 2 ? ?rl

S ? ?r (r ? l )

1 S侧 ? (2? r '? 2? r ) ? l S ? ? (r '2 ?r 2 ? r ' l ? rl ) 2 ? ? (r '? r )l

三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系?

r O?

r 'O’

l
O

r ’= r
上底扩大

l

r’ = 0
上底缩小

l

r

O

r

O

S柱 ? 2?r (r ? l )

S台 ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl ) S锥 ? ?r (r ? l )

练习
1、圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正

4? S 。 方形,那么这个圆柱的侧面积是_______

r

O

2? r

l ? 2?r
S ? ?r
2

l
O

l

S侧 ? 2? rl ? 4? r

2 2

2、已知圆锥的表面积为 a ㎡,且它的侧面
展开图是一个半圆,则这圆锥的底面直径

2 为 3?

3a? ( m)


l
l

? l ? 2? r ? l ? 2r

2? r

a ? ? r (r ? l ) ? 3? r
?r? a 3?

2

r

O

练习:课本P27 1

3、若圆台的上、下底面半径分别是1和3, 它的侧面积是两底面积和的2倍,则圆台的 母线长为________. 5

r 'O

S侧 ? ? r l ? ? rl ? 4? l
'

l
r
O

S底 ? ? r ? ? r ? 10?
'2 2

4? l ? 20? ?l ?5

典型例题

例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取 3.14,结果精确到1 cm2 )?
20cm

解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
2 15 cm ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?? 2 ? ?

15 cm

? 1000(cm 2 )
2 cm 答:花盆的表面积约是1000



例一:已知圆锥表面积为a m ,且它的 侧面展开图是一个半圆,母线长为 l ,

2

2 3a? 3? 则该圆柱底面直径为________

柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为: (S为底面面积,h为高). V ? Sh

一般棱柱体积也是:

V ? Sh
其中S为底面面积,h为棱柱的高.

将一个三棱柱按如图所示分解成三 个三棱锥,那么这三个三棱锥的体积有 什么关系?它们与三棱柱的体积有什么 关系?
3 2

3
2 1

1

锥体体积
经过探究得知,棱锥也是同底等高的棱柱体积

1 的 .即棱锥的体积: 3

1 V ? Sh(其中S为底面面积,h为高) 3
由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底 面面积乘高;棱锥与圆锥的体积公式类似,都是等于 1 底面面积乘高的 . 3

台体体积
根据台体的特征,如何求台体的体积? 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 锥)截成的,因此可以利用两个锥 体的体积差.得到圆台(棱台)的 体积公式(过程略).
A
A?

P
D?

S?
B?

C?

h
S

D

V ? VP? ABCD ? VP? A?B?C?D?
1 ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3
B

C

台体体积

棱台(圆台)的体积公式

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 其中 S , S ? 分别为上、下底面面积,h为圆台
(棱台)的高.

台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?
上底扩大 上底缩小

V ? Sh

S? ? S

S? ? 0 1 1 V ? Sh V ? (S ? ? S ?S ? S )h 3 3
S为底面面积, h为柱体高

S为底面面积, S分别为上、下底面 h为锥体高 面积,h 为台体高

例2 有一堆规格相同的铁制六角螺帽 共重5.8kg(铁的密度是7.8g/cm3),已 知螺帽的底面是正六边形,边长为12mm, 内孔直径为10mm,,高为10mm,问这堆 螺帽大约有多少个?

解:六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱 体积之差,即:

3 10 2 2 V? ? 12 ? 6 ? 10 ? 3.14? ( ) ? 10 4 2
3 3 ? 2956(mm ) ? 2.956(cm )

所以螺帽的个数为

(个)

答:这堆螺帽大约有252个.

课堂练习:
点金训练P13:4,P16:基础训练:4,8

例三:已知一个圆锥的底面圆的半 径为R,高为H,在内部有一个高为 X的内接圆柱 (1)求圆柱的侧面积; (2)当x为何值时,圆柱的侧面积 最大?并求这个最大值。

随堂练习:P16:课后提高7题, 课后提高5,6,8 课后作业:点金训练P13-P16: 相关习题全做


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