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高考数学一轮单元复习:第48讲 抛物线


│抛物线

│知识梳理 知识梳理
1.定义:平面内到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离 相等 定义: 定义 的点的轨迹叫做抛物线, 叫做抛物线的焦点, 的点的轨迹叫做抛物线,其中定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. 叫做抛物线的准线 2.抛物线标准方程的四种形式 y2=2px,y2=- ,x2=2py, 抛物线标准方程的四种形式 , =-2px, , x2=- ,(p>0)分别表示焦点在 x 轴上,开口向右、开口向左, =-2py, > 分别表示焦点在 轴上,开口向右、开口向左, 轴上,开口向上、开口向下的抛物线. 和焦点在 y 轴上,开口向上、开口向下的抛物线 3.抛物线方程中 p 的几何意义是 焦点到准线的距离 抛物线方程中 4.抛物线的标准方程和几何性质: 抛物线的标准方程和几何性质: 抛物线的标准方程和几何性质 .

│知识梳理
标准方程 y2=2px(p>0) y2=- =-2px(p>0)

图形

范围 准线 方程 焦点 对称性 顶点 离心率 焦半径

x≥0,y∈R , ∈
p -2 x = p F ( ,0) 2

x≤0,y∈R , ∈
p 2 x= p F ( - ,0) 2





关于

x轴 轴 (0,0) , e=

对称

1 |MF|= =
p x 2- 0

p x0 + |MF|= = 2

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标准方程 y2=2px(p>0) y2=- =-2px(p>0)

图形

范围 准线 方程 焦点 对称性 顶点 离心率 焦半径

y≥0,x∈R , ∈
p -2 y = p F ( 0,2 ) ,

y≤0,x∈R , ∈ y= F 关于 y轴 轴 (0,0) , e= 1 |MF|= =
p y 2- 0
p 2



( 0, -

p ) 2



对称

|MF|= p + y = 0 2

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要点探究
? 探究点1 探究点 抛物线定义

[2009· 四川卷 四川卷] 4x-3y+6= 例 1 [2009·四川卷] 已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直 =-1, 线 l2:x=- ,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 =- l2 的距离之和的最小值是 ( ) A. B. 2 11 5 B. 3 37 D. 16

│要点探究

思路】 【思路】 利用抛物线的定义进行不同形式距离的转 化.
x=- =-1 【解答】 A 直线 l2: =- 为抛物线 y2=4x 的准 线,由抛物线的定义知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的 由抛物线的定义知, 的距离, 焦点 F(1,0)的距离,故本题化为在抛物线 y2=4x 上找一 , 的距离 个点 P 使得 P 到点 F(1,0)和直线 l2 的距离之和最小,最 , 和直线 的距离之和最小, 小值为 F(1,0)到直线 l1:4x-3y+6=0 的距离, , 到直线 - + = 的距离, |4-0+6| - + 即 dmin= =2. 5

│要点探究

【点评】本小题充分考查了抛物线的定义,将点 P 到 点评】本小题充分考查了抛物线的定义, =-1 直线 l2:x=- 的距离转化为点 P 到抛物线焦点的距离是 =- 解题的关键.若求抛物线外一点到抛物线上点的距离的最值 解题的关键 若求抛物线外一点到抛物线上点的距离的最值 通常利用两点间的距离公式将距离表示为二次函数,再根 通常利用两点间的距离公式将距离表示为二次函数, 据抛物线的范围求解. 据抛物线的范围求解

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四川卷]已知抛物线 : 变式题 [2008·四川卷 已知抛物线 C:y2=8x 的焦点 四川卷 轴的交点为 , 上且|AK|= 2|AF|, 为 F, , 准线与 x 轴的交点为 K, A 在 C 上且 点 = , 的面积为( 则△AFK 的面积为 A. 4 C. 16 ) B. 8 D. 32

思路】由抛物线的定义得AF= , 【思路】由抛物线的定义得 =AB,设A(x0,y0), , 在直角三角形ABK中,由BK2=AK2-AB2得方程,求出 得方程, 在直角三角形 中 A点的坐标 点的坐标. 点的坐标

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y 的焦点为 0), 【解析】 B ∵抛物线 C: 2=8x 的焦点为 F(2, , 解析】 : , =-2, 准线为 x=- ,∴K(-2,0),设 A(x0,y0),过 A 点向准 =- - , , , 线作垂线 AB,则 B(-2,y0). , - , ∵| AK |= 2| AF |, = , 又 AF=AB=x0-(-2)=x0+2, = = - = , ∴由 BK2=AK2-AB2 得 y02=(x0+2)2, 即 8x0=(x0+2)2, , 解得 A(2,±4). , ∴△AFK 的面积为 ∴△ 1 1 | KF |·| y0 |= ×4×4=8,故选 B. = = , 2 2

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? 探究点2 探究点 抛物线的标准方程

山东卷]设斜率为 例 2 [2009·山东卷 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2= 山东卷 ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原 为坐标原 的焦点 , , ) 点)的面积为 4,则抛物线方程为 的面积为 ,则抛物线方程为( A. y2=±4x B. y2=±8x C. y2=4x D. y2=8x

思路】 根据三角形的面积为4建立变量为 的方程. 建立变量为a的方程 【思路】 根据三角形的面积为 建立变量为 的方程

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a 【解答】 抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F 坐标为 ( , B 的焦点 4 a 0), , 则直线 l 的方程为 y=2 (x-4 ), = - , 它与 y 轴的交点为 A (0, , a 1 a a -2),所以△OAF 的面积为 2 | 4 |·| 2 |=4,解得 a=±8. ,所以△ = , = 所以抛物线方程为 y2=±8x,故选 B. ,
2

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【点评】 本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标 点评】 以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结 合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想, 合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a 的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位 置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合 置的相应变化有两种情况, 二为一. 下面变式是在不同条件下抛物线方程的求解: 下面变式是在不同条件下抛物线方程的求解:

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变 式题

求满足下列条件的抛物线的标准方程,并 求满足下列条件的抛物线的标准方程,

求其准线方程: 求其准线方程: (1)过点 -3,2); 过点(- , ; 过点 (2)焦点在直线 x-2y-4=0 上. 焦点在直线 - - =

思路】 先分析抛物线的开口,然后设出含参数p 【 思路 】 先分析抛物线的开口 , 然后设出含参数 的抛物线的标准方程,再根据已知条件求出参数p, 的抛物线的标准方程 ,再根据已知条件求出参数 ,得 到抛物线的标准方程. 到抛物线的标准方程

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方法一: 【解析】 (1)方法一:设所求的抛物线方程为 解析】 方法一 =-2p y2=- 1x 或 x2=2p2y(p1,p2>0), , 过点(- , , ∵过点 -3,2), =-2 ∴4=- p1×(-3)或 9=2 p2·2. =- - 或 = 2 9 ∴p1=3或 p2=4. ∴所求的抛物线方程为 4 9 2 2 y =- x 或 x = y, 3 2 , 4 1 2 y =- x 的准线方程是 x= , =3 3 9 9 2 x = y 的准线方程是 y=- . =-8 2

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方法二: 方法二:设所求的抛物线方程为 y2=mx 或 x2=ny, , 过点(- , , ∵过点 -3,2), ∴4=- =-3m 或 9=2n. = =- 4 9 ∴m=-3或 n=2. =- = ∴所求的抛物线方程为 4 9 2 2 y =- x 或 x = y, 3 2 , 4 1 2 y =- x 的准线方程是 x= , =3 3 9 9 2 x = y 的准线方程是 y=- . =-8 2

│要点探究
(2)令 x=0 得 y=- ,令 y=0 得 x=4, 令 = =-2, =- = = , 抛物线的焦点为(4, 或 ,- ,-2). ∴抛物线的焦点为 ,0)或(0,- p 当焦点为(4, 时 当焦点为 ,0)时,2=4, , ∴p=8,此时抛物线方程 y2=16x; = , ; p 当焦点为(0,- ,-2)时 =-2, 当焦点为 ,- 时,2=- , =-4, =-8y. ∴p=- ,此时抛物线方程为 x2=- =- ∴所求抛物线的方程为 y2=16x 或 x2=- , =-8y, =-4, = 对应的准线方程分别是 x=- ,y=2. =-

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? 探究点3 探究点 抛物线的几何性质

浙江卷]如图 - 所示, 例 3 [2009·浙江卷 如图 48-3 所示,已知 浙江卷 抛物线 C:x2=2py(p>0)上一点 A(m,4)到其焦点 : 上一点 , 到其焦点 17 的距离为 4 . (1)求 p 与 m 的值; 的值; 求 (2)设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t(t>0), 设抛物线 , 过 P 的直线交抛物线 C 于另一点 Q,交 x 轴于点 , M,过点 Q 作 PQ 的垂线交抛物线 C 于另一点 N. , 若 MN 是抛物线 C 的切线,求 t 的最小值. 的切线, 的最小值

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思路】 由抛物线的定义易得. 【思路】 (1)由抛物线的定义易得 由抛物线的定义易得 (2)关键是建立含有 的等式和不等关系,可以设出直 关键是建立含有t的等式和不等关系 关键是建立含有 的等式和不等关系, 线 PQ的方程, 表示点M、N利用 的方程, 表示点 、 利用MN是C的切线这一条件 是 的切线这一条件 的方程 利用 进行突破. 进行突破 p 由抛物线方程得其准线方程: 【解答】 (1)由抛物线方程得其准线方程:y=-2,根 由抛物线方程得其准线方程 =- 据抛物线定义点 A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距 , 到焦点的距离等于它到准线的距 p 17 1 离,即 4+2= 4 ,解得 p=2, + = 抛物线方程为: 代入抛物线方程, ∴抛物线方程为:x2=y,将 A(m,4)代入抛物线方程, , , 代入抛物线方程 解得 m=±2. =

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(2)由题意知,过点 P(t,t2)的直线 PQ 斜率存在且不为 由题意知, 由题意知 , 的直线 0,设其为 k. , 则 lPQ:y-t2=k(x-t), - - , -t2+kt -t2+kt 当 y=0,x= k ,则 M ( k ,0 ). = , = y-t2=k(x-t), 联立方程 - - , x2=y 整理得 x2-kx+t(k-t)=0. + - = 即(x-t)[x-(k-t)]=0, - - - = , 解得 x=t,或 x=k-t, =, = -, ∴Q(k-t,(k-t)2),而 QN⊥QP, -, - , ⊥ ,

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1 ∴直线 NQ 斜率为-k. 斜率为- 1 2 ∴lNQ:y-(k-t) =-k[x-(k-t)], - - - - , 1 2 联立方程 y-(k-t) =-k[x-(k-t)] - - - - x2=y. 1 1 2 整理得 x +kx-k(k-t)-(k-t)2=0, - - - - , 即 k x2+x-(k-t)[k(k-t)+1]=0, - - - + = , [kx+k(k-t)+1][x-(k-t)]=0, + - + - - = , k(k-t)+1 - + 解得 x=- =- ,或 x=k-t, = -, k k(k-t)+1 [k(k-t)+1]2 - + - + ), ∴N(- - , , k k2

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而抛物线在点 N 处切线斜率 k(k-t)+1 - + k(k-t)+1 k 切=y′|x=- =-2· . =- k k 于是抛物线在点 N 处的切线方程为 [k(k-t)+1]2 - + k(k-t)+1 k(k-t)+1 - + - + y- ] [x+ ], - =2 [- - + , k k k2 [k(k-t)+1]2 - + 点的坐标代入得- 将 M 点的坐标代入得- k2 k(k-t)+1 t(k-t) k(k-t)+1 2 - + - - + ] -2· · k , =-2 =- [ k k 整理得(k2-kt+1)( k2-kt-2t2+1)=0, 整理得 + - = , + = 当 k2-kt+1=0.

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1 1 即当 k-t+k=0 时,t=k+k>0, -+ = + , 1 ; ∴k>0,∴t=k+k ≥ 2; , = +

当 k2+kt-2 t2+1=0 时 ?=9-t2-4≥0, - = = - , 2 因为 t>0,所以 t ≥ , , 3 2 1 当 t=3时,k=-3, = =- 2 4 P( , ),Q(-1,1),N(4,16)符合题意, 符合题意, , 符合题意 3 9 , - , , 2 综上, 综上,t 的最小值为3.

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点评】 【 点评 】 抛物线的定义中的距离相等是考查的热 点,结合抛物线的定义考查抛物线的简单性质也是常考 涉及范围问题时, 常常需要建立方程, 题型 . 涉及范围问题时 , 常常需要建立方程 , 寻求不等 方程的建立易与直线联系在一起, 式,方程的建立易与直线联系在一起,而不等式的构建 来源点较多,本题是从方程的判别式进行切入, 来源点较多,本题是从方程的判别式进行切入,其实质 是方程有解,在其他一些题目中, 是方程有解,在其他一些题目中,也经常从交点的存在 与否,范围、 与否,范围、对称性等角度进行不等关系的构建.

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? 探究点4 探究点 抛物线的综合应用

所示, 例 4 一水渠的横截面积如图 48-4(a)所示, - 所示 它的横截面 是抛物线的一段, 边界 AOB 是抛物线的一段,已知渠宽 AB 为 2 m,渠深 OC , 为 1.5 m,水面 EF 距 AB 为 0.5 m. , (1)求水面 EF 的宽度; 的宽度; 求水面 (2)如果把此水渠改造为横截面是等腰梯形,要求渠深不 如果把此水渠改造为横截面是等腰梯形, 如果把此水渠改造为横截面是等腰梯形 不准往回填土,只准挖土, 变,不准往回填土,只准挖土,试求截面梯形的下底边长为 多大时,才能使所挖的土最少? 多大时,才能使所挖的土最少?

│要点探究
思路】 建立适当的坐标系, 求出抛物线方程, 【 思路 】 建立适当的坐标系 , 求出抛物线方程 , 转 化为求相应点的坐标即可, 化为求相应点的坐标即可 , 注意及时将点的坐标问题转 化为实际问题. 化为实际问题

所示的直角坐标系, 【解答】 (1)建立如图 48-4(b)所示的直角坐标系, 建立如图 - 所示的直角坐标系 则 A(-1,1.5),B(1,1.5),C(0,1.5). - , , , , , 设抛物线方程为 x2=2py(p>0),由点 A(-1,1.5)代入 > , - , 代入 1 2 2 方程, 方程,得到 1=2p×1.5,即 p=3,所以抛物线方程为 x =3 = , = 6 y,由点 E 的纵坐标为 1,得到点 E 横坐标为- ,所以截 横坐标为- , , 3 2 6 面图中水面宽度为 3 m.

│要点探究
3 2 (2)如图 48-4(b)所示,设抛物线上一点 M(t, t ) 所示, 如图 - 所示 ,2 (t>0), 因为改造后水渠只准挖土, 而且要求挖出的土最少, > , 因为改造后水渠只准挖土, 而且要求挖出的土最少, 与抛物线相切的切线挖土. 所以只能沿过点 M 与抛物线相切的切线挖土 2 3 2 2 由 x =3y,即 y=2 x 求导得 y′=3x,所以过点 M 的 , = = , 32 切线斜率为 3t,切线方程为 y-2t =3t (x-t),令 y=0,则 , - - , = , t 3 t 1 x1= ,令 y= ,则 x2= + , =2 2 2 2t

│要点探究
所以截面面积为 1 3 3 1 3 2 S= (2 x1+2 x2)× = (t+ ) ≥ =2 2 2 +2t 2 , 2 当且仅当 t= 2 时等号成立 = 时等号成立. 2 所以截面梯形的下底边长为 2 m 时,才能使所挖的 土最少. 土最少

│要点探究

点评】 【 点评 】 实际应用问题最主要的是转化为数学模 型来解决 . 解决抛物线的实际问题需要转化为合理的数 学模型,要充分利用抛物线的定义及有关性质, 学模型,要充分利用抛物线的定义及有关性质,特别注 意定义域问题.

│规律总结 规律总结
1.重视抛物线的定义在解题中的应用: 重视抛物线的定义在解题中的应用: 重视抛物线的定义在解题中的应用 涉及抛物线上的 点到焦点的距离问题,一般转化为点到准线的距离求解. 点到焦点的距离问题,一般转化为点到准线的距离求解 2.求抛物线的方程和椭圆, 求抛物线的方程和椭圆, 双曲线方程一样, 求抛物线的方程和椭圆 双曲线方程一样, 常用方法 定义法、待定系数法、代入法、直接法等, 有:定义法、待定系数法、代入法、直接法等,具体情况 具体分析.要区分好四种形式的标准方程 要区分好四种形式的标准方程, 具体分析 要区分好四种形式的标准方程,注意分类讨论思 想的应用,标准方程可设为: 想的应用,标准方程可设为:y2=mx 或者 x2=my(m≠0)的 的 形式. 形式 3.关于切线问题, 关于切线问题, 如果是求方程的曲线的切线, 关于切线问题 如果是求方程的曲线的切线, 常常联 想判别式等于零;如果是求函数的切线, 想判别式等于零;如果是求函数的切线,还可以联想用导 数解决问题. 数解决问题


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