当前位置:首页 >> 数学 >>

【创新设计】2016届 数学一轮课件(理科)人教A版 第五章 平面向量 第4讲 平面向量的应用


第4讲
? 夯基释疑

平面向量的应用

考点一 概要

例1 例2 例3

训练1

? 考点突破

考点二 考点三

训练2
训练3

? 课堂小结

夯基释疑

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) → → (1)若AB∥AC,则 A,B,C 三点共线.( ) (2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都 可以用向量解决.( ) (3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间 的转化的主要手段是向量的坐标运算.( ) → → (4)在△ABC 中,若AB·BC<0,则△ABC 为钝角三角 形.( )

第2页

返回目录

结束放映

考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用
(1)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°, → → E 为 CD 的中点.若AC·BE=1,则 AB 的长为________.
→ → → (1) 由题意可知, AC =AB+AD, 解析 1→ → → BE=- AB+AD. → 2→ 因为AC· BE=1, 1→ →? → → ? ?- AB+AD?=1, 所以(AB+AD)· ? 2 ? →2 1→ → 1→2 即AD + AB· AD- AB =1.① 2 2 → → → 1→ 因为|AD|=1,∠BAD=60° ,所以AB· AD= |AB|, 2 1→ 1→2 因此①式可化为 1+ |AB|- |AB| =1, 4 2 1 1 → 解得|AB|=0(舍去)或 , 2 所以 AB 的长为2.
第3页

例1

返回目录

结束放映

考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用
例 1 (2)(2014· 天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD= 120°,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BE=λBC,DF=μDC.若 2 → → → → AE · AF =1, CE · CF =- ,则 λ+μ=( ) 3 1 2 5 7 A. B. C. D. 2 3 6 12 → → → → → → → (2)法一 如图 AE=AB+BE=AB+λBC=AB+λAD, → → → 同理:AF=AD+μAB, → → → → ∴(AB+λAD)· (AD+μAB)=1, → → → → 又∵AB· AD=|AB||AD|cos 120° =-2, 整理得 4(λ+μ)-2λμ=3①, → → → → → → 又CE=(λ-1)BC=(λ-1)AD,CF=(μ-1)DC=(μ-1)AB, 2 2 → → ∴(λ-1)AD· (μ-1)AB=- , 3 整理得(λ+μ)-λμ=3②, 5 解①②得 λ+μ= , 6 故选 C.
第4页

返回目录

结束放映

考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用
法二 如图所示,以菱形 ABCD 的两条 对角线所在直线为坐标轴,建立平面 直角坐标系 xOy, 不妨设 A(0,-1),B(- 3,0),
C(0,1),D( 3,0),
由题意得 → → CE=(1-λ)· CB=( 3λ- 3,λ-1),
→ → CF=(1-μ)CD=( 3- 3μ,μ-1). 2 2 → → 所以 3( λ - 1)· (1 - μ ) + ( λ - 1)( μ - 1) =- , 因为CE· CF=- , 3 3 1 即(λ-1)(μ-1)= . 3

第5页

返回目录

结束放映

考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用
→ → → 因为AE=AC+CE=( 3λ- 3,λ+1),
→ → → AF=AC+CF=( 3- 3μ,μ+1), → → AE· AF=1,
所以(λ+1)(μ+1)=2.

1 ? ?(λ-1)(μ-1)= , 3 由? ? ?(λ+1)(μ+1)=2,
5 整理得 λ+μ= .故选 C. 6 1 答案 (1) (2)C 2

第6页

返回目录

结束放映

考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用

规律方法
平面向量解决平面几何问题时,在便于建立直角坐标系的 情况下建立平面直角坐标系, 可以使向量的运算更简便一些. 在 解决这类问题时,共线向量定理和平面向量基本定理起主导作 用.

第7页

返回目录

结束放映

考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用
【训练 1】(1)已知 O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共 → → → → 线的三个动点, 若动点 P 满足OP=OA+λ(AB+AC), λ∈(0, +∞), 则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的______心.
解析(1) → → → → 由原等式,得OP-OA=λ(AB+AC), → → → 即AP=λ(AB+AC),
根据平行四边形法则, → → 知AB+AC是△ABC 的中线
→ AD(D 为 BC 的中点)所对应向量AD的 2 倍,

D

所以点 P 的轨迹必过△ABC 的重心.
第8页

返回目录

结束放映

考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用
【训练 1】(2)(2014· 杭州质检)在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠BAD → → =60° ,E 是 BC 的中点,则AC· AE=________.

解析(2) 建立如图平面直角坐标系,

? A?- ? ? ? 3 ? ? 1? 3 ,0?,C? ,0?,B?0,-2?. 2 ? ? ? ? 2 ?

∴E

? 点坐标为? ?

3 1? ,- ?, 4 4?

3 3 1? → → ? ∴AC=( 3,0),AE=? ,- ?, 4 4? ? 3 3 1 9 → → ∴AC· AE= 3× +0× (- )= . 4 4 4 9 答案 (1)重 (2) 4
第9页

返回目录

结束放映

考点突破 考点二 平面向量在三角函数中的应用
【例题 2】在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, ? ? A A? A A? 已知向量 m=?sin 2 ,cos 2 ?,n=?cos 2 ,-cos 2 ?,且 2m· n+|m| ? ? ? ? 2 → → = ,AB· AC=1. (1)求角 A 的大小;(2)求△ABC 的面积 S. 2 A A 2A 解析 (1)因为 2m· n=2sin cos -2cos 2 2 2 π =sin A-(cos A+1)= 2sin(A- )-1, 4 ? π? 2 ? ? 又|m|=1,所以 2m· n+|m|= 2sin A-4 = , 2 ? ? π 1 即 sin(A- )= . 因为 0<A<π, 4 2 π π 3π π π 5π 所以- <A- < , 所以 A- = ,即 A= . 4 4 4 4 6 12
第10页

返回目录

结束放映

考点突破 考点二 平面向量在三角函数中的应用
【例题 2】在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 已 ? ? A A? A A? 2 ? ? ? ? 知向量 m= sin 2 ,cos 2 , n= cos 2 ,-cos 2 , 且 2m· n+|m|= , 2 ? ? ? ? → → AB· AC=1. (1)求角 A 的大小;(2)求△ABC 的面积 S.
?π π? 5π 解析 (2)cosA=cos =cos? + ? 12 ?6 4 ? 6- 2 π π π π =cos cos -sin sin = , 6 4 6 4 4 → → 因为AB· AC=bccosA=1,所以 bc= 6+ 2.

?π π? 6+ 2 5π 又 sinA=sin =sin?6+4 ?= , 12 4 ? ? 1 6+ 2 2+ 3 1 所以△ABC 的面积 S= bcsinA = ( 6+ 2)× = . 2 2 4 2
第11页

返回目录

结束放映

考点突破 考点二 平面向量在三角函数中的应用

规律方法
(1)解决平面向量与三角函数交汇问题,关键是准确利用向 量的坐标运算化简已知条件, 将其转化为三角函数中的有关问题 解决. (2)熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、 几何意义、 向量模、 夹角的坐标运算公式外,还应掌握三角恒等变换、正、余弦定理 等知识.

第12页

返回目录

结束放映

考点突破 考点二 平面向量在三角函数中的应用
训练 2 已知 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), 0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值.

(1)证明

由题意得|a-b|2=2,
即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2.
又因为 a2=b2=|a|2=|b|2=1,
所以 2-2a· b=2, 即 a· b=0,

故 a⊥b.

第13页

返回目录

结束放映

考点突破 考点二 平面向量在三角函数中的应用
训练 2 已知 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), 0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值.

(2)解 因为 a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),
? ?cosα+cosβ=0, 所以? ? ?sinα+sinβ=1,

由此得, cosα = cos(π - β) .

由 0<β<π, 得 0<π-β<π, 又 0<α<π,故 α=π-β.

1 代入 sinα+sinβ=1,得 sinα=sinβ= . 2 5π π 又 α>β,所以 α= ,β= . 6 6
第14页

返回目录

结束放映

考点突破

考点三

向量在解析几何中的应用

例 3 已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上 ?→ 1 → ? ?→ 1→ ? 一动点,作 PQ⊥l,垂足为 Q,且?PC+2PQ?·?PC-2PQ?=0.(1)求 ? ? ? ? 动点 P 的轨迹方程; → → (2)若 EF 为圆 N: x2+(y-1)2=1 的任一条直径, 求PE· PF的最值.
y 解析 (1)设 P(x,y),则 Q(8,y). 3 B1 → 1→ → 1→ 由(PC+ PQ)· (PC- PQ)=0, 2 2 2 1 →2 1→2 N C 得|PC| - |PQ| =0, –4 –3 –2 –1O 1 2 4 1 –1 2 2 2 即(x-2) +y - (x-8) =0 –2 4 –3 x2 y2 化简得 + =1. 16 12 x2 y2 所以点 P 在椭圆上,其方程为 + =1. 16 12
第15页

P

Q

3x 4 5 6 7 8 x

返回目录

结束放映

考点突破

考点三

向量在解析几何中的应用
y

→ → → → → → PF=(NE-NP)· (NF-NP) 解析(2)因PE·

3 B1 P 2 → → → → →2 →2 →2 =NP -NF =NP -1, F 1 =(-NF-NP)· (NF-NP) N E C x2 y2 O 1 2 3 4 x P 是椭圆 + =1 上的任一点,设 P(x0,y0), –4 –3 –2 –1–1 16 12 –2 2 2 x2 y0 4 y 0 0 –3 则有 + =1,即 x2 ,又 N(0,1), 0=16-

16 12 3 1 2 →2 1 2 2 所以NP =x0+(y0-1) =- y0-2y0+17 =- (y0+3)2+20. 3 3 → 因 y0∈[-2 3,2 3],所以当 y0=-3 时,NP2 取得最大值 20,

→ → 故PE· PF的最大值为 19;

→ 当 y0=2 3时,NP2 取得最小值为 13-4 3(此时 x0=0), → → 故PE·PF的最小值为 12-4 3.
第16页

返回目录

结束放映

考点突破

考点三

向量在解析几何中的应用

规律方法
向量在解析几何中的作用 (1)载体作用: 向量在解析几何问题中出现, 多用于“包装”, 解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”, 导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹 角、轨迹、最值等问题.
(2)工具作用:利用 a⊥b?a· b=0;a∥b?a=λb(b≠0),可解 决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解 决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.

第17页

返回目录

结束放映

考点突破

考点三

向量在解析几何中的应用

训练 3 已知点 P(0,-3),点 A 在 x 轴上,点 Q 在 y 轴的正 3→ → → → 半轴上,点 M 满足PA·AM=0,AM=- MQ,当点 A 在 x 轴上 2 移动时,求动点 M 的轨迹方程. 解析 设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,设 A(a,0),Q(0,b)(b>0), → → → 则PA=(a,3),AM=(x-a,y),MQ=(-x,b-y), → → 由PA· AM=0,得 a(x-a)+3y=0.① ?3 ? 3 3→ 3 → 由AM=- MQ,得(x-a,y)=- (-x,b-y)=?2x,2(y-b)?, 2 2 ? ? 3 x ? ? ?x-a=2x, ?a=-2, ∴? ∴? ∴b>0,∴y>0, ?y=3y-3b, ?b=y . 3 ? 2 2 ? x x? x? 1 2 ? ? 把 a=- 代入①, 得- x+2 +3y=0,整理得 y= x (x≠0). 2 2? 4 ? 1 2 所以动点 M 的轨迹方程为 y= x (x≠0). 4
第18页

返回目录

结束放映

课堂小结

思想方法

1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向 量和函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某 些函数问题. 2.以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、 不等式、 三角函数等相结合的一类综合问题. 通过向量的坐标运 算, 将问题转化为解不等式或求函数值域, 是解决这类问题的一 般方法. 3. 向量的两个作用: ①载体作用: 关键是利用向量的意义、 作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题; ②工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距 离问题.

第19页

返回目录

结束放映

课堂小结

易错防范

1. 对三角形“四心”的意义不明, 向量关系式的变换出错, 向量关系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等.

2.注意向量夹角和三角形内角的关系,两者并不等价.

3.注意向量共线和两直线平行的关系;两向量 a,b 夹 角为锐角和 a· b>0 不等价.

第20页

返回目录

结束放映

(见教辅)

第21页

返回目录

结束放映


相关文章:
【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套...
【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第4篇 第4讲 平面向量应用举例_高考_高中教育_教育专区。第4讲 [最新考纲] 平面向量应用举例 1.会...
【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套...
【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第4第1讲 平面向量的概念及其线性运算_高考_高中教育_教育专区。第1讲 [最新考纲] 1.了解向量...
【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套...
【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第4篇 第3讲 平面向量的数量积_高考_高中教育_教育专区。第3讲 [最新考纲] 平面向量的数量积 1....
...高考数学(文)大一轮复习课时集训 第5章 平面向量 第...
2016届创新设计人教A版高考数学(文)大一复习课时集训 第5章 平面向量 第3讲平面向量的数量积_数学_高中教育_教育专区。第3讲 平面向量的数量积 基础巩固...
【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套...
【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第4篇 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示_高考_高中教育_教育专区。第2讲 [最新考纲] 平面向量基本...
【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第5...
2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第5章 第2节 平面向量基本定理及向量的坐标表示_数学_高中教育_教育专区。第五章 第二节 一、选择题 1.(...
...2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第1讲 平...
【创新设计】(山东专用)2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第1讲 平面向量的概念及线性运算习题 理_数学_高中教育_教育专区。【创新设计】 (山东专用)...
...2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第1讲 平...
【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第1讲 平面向量的概念及线性运算习题 理_数学_高中教育_教育专区。【创新设计】 (江苏专用)...
2016届优化探究高三一轮人教A理科数学复习课时作业:第4...
2016届优化探究高三一轮人教A理科数学复习课时作业:第4章三平面向量及复数4-1[来源:学优高考网159744]_数学_高中教育_教育专区。2016高考数学,值得拥有!A...
2016届优化探究高三一轮人教A理科数学复习课时作业:第4...
2016届优化探究高三一轮人教A理科数学复习课时作业:第4章三平面向量及复数4-2[来源:学优高考网126464]_数学_高中教育_教育专区。2016高考数学,值得拥有!A...
更多相关标签:

相关文章