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数列专练2


2014-2015 学年度上杭一中高三文科数学周一练习 数列专练
1.记等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? A、12 B、24 C、48 池国升 2015、1、12

1 , S4 ? 20 ,则 S6 ? ( ) 2
D、96

2.已知 {an } 的等差数列, a2 ? a8 ? 12 ,

则 a5 等于 b A.7 B.6 C.5 D.4 )

3.等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,若 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列,则 S4 ? ( A.7 B.8 C.16 D.15 )

2 4.已知等差数列 ?an ?中, a2 , a2013 是方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 的两根,则 s2014 (

A. ? 2014

B. ? 1007

C.1007

D.2014

5. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? ?11, a3 ? a7 ? ?6 , 当 Sn 取得最小值时, n? ( ) A.5 B.6 C.7 D.8

6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 A.31 B.32 C.63

S6=(



D.64 )

7.在正项等比数列 ?an ? 中, lg a3 ? lg a6 ? lg a9 ? 6 ,则 a1 a11 的值是 ( (A)10000 (B)1000 (C)100 (D)10

8.设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a8 ? 0 , a9 ? a8 ,则使 S n ? 0 成立的最小正整 数 n 为( A.15 ) B.16 C.17 D.18

9.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 2, a n ?1 ? A.2 B. ? 3

1 ? an , 则 a2014 等于( 1 ? an
C. ?



1 2

D.

1 3

10.在 2 和 20 之间插入两个数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的 两个数的和是( ) (A)-4 或 17

1 2

(B)4 或 17

1 (C)4 2

(D)17

1 2

11.在等差数列 {an } 中 an ? 0 ,且 a1 ? a2 ? L ? a20 ? 60 ,则 a10 a11 的最大值等于( ) A.3 B.6 C.9 D.36

1

12.一个只有有限项的等差数列,它的前 5 项的和为 34,最后 5 项的和为 146,所有项的和 为 234,则它的第 7 项等于 ( ) A.22 B.21 C.19 D.18

a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 4 an ? ? 13. 已知数列 中,
( ) A. 3
n ?1 n ?1

(n ? N * 且n ? 2)
, 则数列

?an ? 通项公式 an 为

B. 3

?8

n C. 3 ? 2

D. 3

n

14.设 Sn 、Tn 分别是两个等差数列 {an } 、{bn } 的前 n 项之和,如果对于所有正整数 n ,都 有

S n 3n ? 1 ? ,则 a5 : b5 的值为 ( ) Tn 2n ? 5
B.2:1 C.28:23 D.以上都不对

A.3:2 15.数列 ,? ,

1 5 7 ,? , ? 的一个通项公式是 3 27 81 n ?1 2n ? 1 n 2n ? 1 A. a n ? (?1) B. a n ? (?1) 3n 3n 2 n ? 1 2 n ?1 n ?1 n C. a n ? (?1) D. a n ? (?1) n n 3 3
16.首项为-24 的等差数列从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是 A.d>

1 3

8 3

B.d<3

C.

8 ≤d<3 3

D.

8 <d≤3 3

17.把正整数排列成如图甲的三角形数阵,然后擦去第偶数行的奇数和第奇数行中的偶数, 得到如图乙的三角数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到数列 {an } ,若

an = 2013 ,则 n 的值为( )
1 2 5 6 3 7 4 8 9 16 5 2 7 1 4 9

10 11 12 13 14 15 17 18 19 … … … …

10 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32 34 36 … … … … … … … 图乙 …

20 21 22 23 24 25 … … … … … … 图甲

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

A.1029

B.1031
?

C.1033

D.1035

18.把数列{ 2 n ? 1 }( n ? N )依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括 号三个数, 第四个括号四个数, 第五个括号一个数, 第六个括号两个数, 进行摆放, 即 ( 3) , (5,7) , (9,11,13) , (15,17,19,21) , (23) , (25,27) , (29,31,33) , (35,37, 39,41) , (43) , (45,47) ,则第 104 个括号内各数之和为( ) A.2072 B.2060 C.2048 D.2036

2

19.已知数列 1, a,9 是等比数列,数列 1, b1 , b2 ,9 是等差数列,则

a b1 ? b2

的值为



20. 若 等 比 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 数 , 且 a7 a11 ? a8 a10 ? 2e4 ,

ln a1 ? ln a2 ? ln a3 ?

? ln a17 ?

. .

21.已知 ?an ? 为等差数列,若 a3 ? a4 ? a8 ? 9 ,则前 9 项和 S 9 ? 22.设 S n 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S 2 ? 3 , S 4 ? 15 ,则 S 6 = 23.已知数列 {an } 满足: a1 ?

1 1 n , an ? an ?1 ? ( ) , ( n ? N *) ,则 an ? 2 2



24.(10 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,且 a3 ? 5 , S15 ? 225 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 2an ? 2n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
2 2 2 25. (本题满分 12 分)在△ABC 中,角 A, B, C 的对应边分别是 a , b, c 满 b ? c ? bc ? a .

(1)求角 A 的大小; (2) 已知等差数列 ?a n ?的公差不为零, 若 a1 cos A ? 1 , 且 a2 , a4 , a8 成等比数列,求 ? 的前 n 项和 S n . 26. (本小题满分 12 分)已知公差不为 0 的等差数列 ?an ?中 a1 ? 1 , a4 , a8 , a16 成等比数列, (Ⅰ)试求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 bn ? an ? 2an ,试求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 27. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ?

? 4 ? ? ? an an ?1 ?

an (n ? N * ) . an ? 3

(1)求证: ?

? 1 1? ? ? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式 an ; a ? n 2?
n ? a n , 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 Tn , 若 不 等 式 2n

n ( 2 ) 数 列 ?bn ? 满 足 bn ? (3 ? 1) ?

(?1) n ? ? Tn ?

n 2 n ?1

对一切 n ? N 恒成立,求 ? 的取值范围.
*

3

28.(本题满分 14 分)数列 ?an ? 中, an ? 0 , 前 n 项和 S n ? ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; ( 2 )设 bn ?

1 (a n ? 1) 2 . 4

1 ( n ? N ? ) , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? ?bn ,若对任意 n ? N ? ,总存在 n(3 ? a n )
Tn ? m 2 ? 2m ? t ? 1 成立,求出 t 的取值范围. 2

m ? ?? 1,1? 使

29. (本小题满分 12 分)数列 {an } 满足 a1 ? 1, nan?1 ? (n ? 1)an ? n(n ? 1), n ? N ? (1)证明:数列 {

an } 是等差数列; n

(2)设 bn ? 3n ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn 30. (本小题满分 12 分)在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前 10 项 和 S10=55. (1)求 an 和 bn; (2)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的 值相等的概率. 31.在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ......? na n ? (1)求数列 {an } 的通项 a n ; (2)若存在 n ? N ,使得 an ? (n ? 1)? 成立,求实数 ? 的最小值.
*

n ?1 a n ?1 (n ? N ? ) 2

32. (本小题满分 13 分)已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ?

1 * ,其中 n ?N . 4an

(Ⅰ)设 bn ?

2 2an ? 1

,求证:数列 ?bn ? 是等差数列,并求出 ?a n ?的通项公式 an ;

(Ⅱ) 设 cn ?

4an 1 , 数列 ?cncn?2 ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ,使得 Tn ? 于 n ?1 cmcm?1

n ?N*恒成立,若存在,求出 m 的最小值,若不存在,请说明

4

2014-2015 学年度上杭一中高三文科数学周一练习 数列专练参考答案
1~5:CBDDB 6~10:CABBB 11~15:CDCCC 1 3 ? 19: 20: 34 21:27 22:63 23: 1 ? n (n ? N ) 2 10 16~18:DAA

?a1 ? 2d ? 5 ? a1 ? 1 ? 24: (1)设数列 {an } 的公差为 d,根据题意得 ? 解得: ? 15 ?14 15a1 ? d ? 225 ?d ? 2 ? ? 2

? an ? 2n ? 1(2)由(1)可得 bn ? 22n?1 ? 2n
?Tn ? 2 ? 2 ?1 ? 23 ? 2 ? 2 ? 25 ? 2 ? 3 ? ? 22n?1 ? 2n
2 ? 2n) ? (4n ? 1) ? n 2 ? n 3

? (2 ? 23 ? 25 ?
2 2

? 22n?1 ) ? (2 ? 4 ? 6 ?
2

25: (1)? b ? c ? a ? bc,? 又 A ? (0, ? ) ,所以 A ?

b2 ? c2 ? a 2 bc 1 1 ? ? , ? cos A ? , 2 2bc 2bc 2
1 ? 2 ,且 cos A

?
3

, ( 2 )设 {an } 的公差为 d ,由已知得 a1 ?

2 a4 ? a2 ? a8 ,?(a1 ? 3d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 7d ) 且不为零,即 d ? 2 ,

? an ? 2n,?

4 1 1 1 ? ? ? an an ?1 n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 n ? Sn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ?1? ? 。 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
26: (Ⅰ)设等差数列 ?an ?的公差为 d (d ? 0) ,则 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 1 ? (n ? 1)d ∴ a4 ? 1 ? 3d , a8 ? 1 ? 7d , a16 ? 1 ? 15d 又∵ a4 , a8 , a16 成等比数列,∴ a8 ? a4 ? a16 ,即
2

(1 ? 7d )2 ? (1 ? 3d ) ? (1 ? 15d ) 解得: d ? 1 ∴ an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? n ,
∴ bn ? an ? 2an ? n ? 2n ,

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n
9分



2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2n ?1 ④

5

? Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? 2 4 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1
③-④得:

2(1 ? 2n ) ? ? n ? 2 n ?1 ? (1 ? n)2n ?1 ? 2 1? 2

∴ Tn ? (n ? 1)2n ?1 ? 2

27. (1)由 a1 ? 1, an ?1 ?

? 1 1? 1 1 an ? ? 3? ? ? , (n ? N * ) 知, an ?1 2 an ? 3 ? an 2 ?



3 1 1 3 ? 1 1? ? ? ,? ? ? ? 是以 为首项, 3 为公比的等比数列, a1 2 2 ? an 2 ? 2 n 1 1 3 n ?1 3n 2 (2) bn ? n ?1 , ? = ? 3 ? ,? an ? n an 2 2 2 3 ?1 2 1 1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2 ? n ? n ?1 0 2 2 2 2 2

?

Tn ? 1 ?

Tn 1 1 1 1 ?    1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ?1 ? n ? n , 2 2 2 2 2
两式相减得

n?2 Tn 1 1 1 1 1 n?2 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n , ? Tn ? 4 ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
n ?1

? (?1) n ? ? 4 ? 2 2 n ?1

若 n 为 偶 数 , 则 ?? ? 4 ?

2 2 n ?1

,? ? ? 3 若 n 为 奇 数 , 则

? ?? ? 4 ?

,? ?? ? 2,? ? ? ?2 ? ?2 ? ? ? 3 .
1 ?a1 ? 1?2 ? a1 , ∴ a1 ? ?1 4
当 n?2 时 ,

28 :( 1 ) 当 n ? 1 时 , ∵ S1 ? ?

a n ? S n ? S n ?1 ? ?

1 ?a n ? 1?2 ? 1 ?a n?1 ? 1?2 ∴ 4an ? ?an2 ? 2an ? 1 ? an2?1 ? 2an?1 ? 1 4 4

∴ an ? an?1 ? ?2?n ? 2? ∴数列 ?an ? 是等差数列, ∴ an ? ?2n ? 1 (2)∵ bn ?

1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? n?3 ?a n ? 2n?n ? 1? 2 ? n n ? 1 ?

∴ Tn ? ∴ Tn ?

1 1 ? 1? 1 ? 1 1? 1?1 1 ? 1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ? 2? 2 ? 2 3? 2 ? n n ? 1 ? 2 2n ? 2

1 7 1 2 设 f ?m ? ? m ? 2m ? t ? ,函数 f ?m ? 在 m ? ?? 1,1? 内的最大值为 t ? 根据题 2 2 2 7 1 t? ? ∴ t ? ?3 2 2
6

29::(1)证:由已知可得 所以 {

an ?1 an a a ? ? 1 ,即 n ?1 ? n ? 1 n ?1 n n ?1 n

an a } 是以 1 ? 1 为首项,1 为公差的等差数列. 1 n a (2)解:由(1)得 n ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ,所以 an ? n2 ,从而 bn ? n ? 3n n

Sn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? 3Sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ?
① - ② 得 :

? n ? 3n ? (n-1 ) ? 3n ? n ? 3n+1
2 3 n n?1

① ②
? 3 ? (1 ? 3n ) ? n ? 3n ?1 所 以 1? 3

? 2Sn ? 3 ? 3 ? 3 ? ?? 3 ? n ? 3

Sn ?

(2n ? 1) ? 3n +1 ? 3 4

30: ( 1 ) 设 等 差 数 列 {an } 的 公 差 为 d , 等 比 数 列 {bn } 的 公 比 为 q 则

? (n ? ?1) 1)d d? ?n n S10 ? 10a1 ? 45d ? 55 ? d ? 1 ? an ? a1 ?

b4 ? b1q3 ? 8 ? q ? 2 ? bn ? b1 ? qn ? 2n?1 得: an ? n, bn ? 2n?1
(2) a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3, b1 ? 1, b2 ? 2, b3 ? 4 ,各随机抽取一项写出相应的基本事件有

(1,1),(1, 2)(1, 4)(2,1),(2, 2),(2, 4),(3,1), (3, 2),(3, 4) 共 9 个 符合题意有 (1,1), (2, 2) 共 2 个
这两项的值相等的概率为

2 9

31: (1)由 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ...... ? nan ?

n ?1 an ?1 2 n n ?1 n an 两式作差得: nan ? an ?1 ? an 2 2 2

n≥2 时, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ...... ? (n ? 1)an ?1 ?

得: (n+1)an+1=3nan(n≥2)即数列{nan}从第二项起是公比为 3 的等比数列,且 a1=1, n-2 a2=1,于是 2a2=2 故 n≥2 时,nan=2·3

? 1, n ? 1 ? 于是 an ? ? 2 n ? 2 ?3 , n ? 2 ? ?n
(2) an ? ? n ? 1? ? ? ? ?

an a 2 ? 3n?2 , 由(1)可知当 n ? 2 时, n ? , n ?1 n ? 1 n ? n ? 1?

7

设 f ? n? ?

n ? n ? 1? n ? 2, n ? N * ? ? n 2?3
2 ? n ? 1??1 ? n ? 1 1 ? 0,? ? ? n ? 2? n ?1 2?3 f ? n ? 1? f ? n ?

则 f ? n ? 1? ? f ? n ? ?



1 1 a 1 1 ? 及 1 ? ,所以所求实数 ? 的最小值为 f ? 2? 3 2 2 3

32. (I)证明

bn?1 ? bn ?

2

2an?1 ? 1 2an ? 1

?

2

?

2 ? 1 2? ?1 ? 4a n ? ? ? ? ?1 ?

?

2 2an ? 1

?

4an 2 ? ?2 4分 2an ? 1 2an ? 1

所以数列 ?bn ? 是等差数列, a1 ? 1, b1 ? 2 ,因此 bn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n , 由 bn ?

2 2a n ? 1

得 an ?

n ?1 . 2n

(II) c n ?

2 4 ] ? ?1 , cn cn? 2 ? ? 2? ? ?, n n?n ? 2? ?n n? 2?

所以 Tn ? 2?1 ?

? ?

1 1 1 ? ? ? ??3, 2 n ?1 n ? 2 ?
m(m ? 1) 1 * ? 3, 对于 n ? N 恒成立,只需 4 c m c m ?1

依题意要使 Tn ?

解得 m ? 3 或 m ? ?4 ,所以 m 的最小值为 3

8


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