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大成中学数学选修2 - 1试卷


大成中学数学选修 2 - 1 试卷
第一部分选择题(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入下面答题卡中. 题号 选项 1.下列语句是命题的一句是 A.x — 1 = 0 B.2+3=8 2.若椭圆 A. ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分<

br />
C.你会说英语吗

D.这是一棵大树

x2 y2 1 ? ? 1的离心率为 ,则 m 的值等于 2 9 m?9
B.

9 4

1 4

C. ?

9 或3 4

D. 或3

1 4

3.已知向量 a ? (1,1,0),b ? (?1,0,2) ,且 ka ? b与2a ? b 互相垂直,则 k 的值是 A.1 B.

1 5

C.

3 5

D.

7 5

4.“a≠1 或 b≠2”是“a+b≠3”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 5.双曲线 A.6 6.已知 p : ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 ? ? 1 右支点上的一点 P 到右焦点的距离为 2,则 P 点到左准线的距离为 16 9
B.8 C.10 D.12

? {0},q : {2} ? {1,2,3} 由他们构成的新命题 "?p", " ?q", " p ? q" ?

" p ? q" 中,真命题有
A.1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个 7.下列等式中,使点 M 与点 A、B、C 一定共面的是 A. OM ? 3OA ? 2OB ? OC C. OM ? OA ? OB ? OC ? 0 B. OM ?

1 1 1 OA ? OB ? OC 2 3 5

D. MA ? MB ? MC ? 0

8.过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ
2

的长分别为 p、q,则

1 1 ? 等于 p q
1 2a
C.4a D.

A.2a

B.

4 a

1

第二部分 非选择题(共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9.抛物线 y 2 ? ? x 的焦点坐标是________________。 10.已知点 A(?3,1,?4) ,则点 A 关于 y 轴对称的点的坐标为__________。 11.全称命题 的否定是____________________。 “?x ? R,x 2 ? x ? 3 ? 0”

12.双曲线

y2 x2 ? ? 1 的渐近线方程是____________________。 3 4

13.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、F2,P 为椭圆上的一点,已知 PF1 ? PF2 ,则 ?F1 PF2 25 9

的面积为_____________________。 14.如图,以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后,某 学生得出下列四个结论: ① BD ? AC ? 0 ; ② ?BAC ? 60? ; ③三棱锥 D—ABC 是正三棱锥; ④平面 ADC 的法向量和平面 ABC 的法向量互相垂直. 其中正确结论的序号是__________.(请把正确结论的序号都填上) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分 12 分) 写出命题 若 x ? 2 ? ( y ? 1) 2 ? 0 ,则 x = 2 且 y= 一 1”的逆命题、否命题、逆 否命题,并判断它们的真假.

2

16.(本小题满分 12 分) 已知双曲线与椭圆可

x2 y2 14 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程。 5 9 25

17.(本小题满分 14 分) 是否存在实数 p,使 4x+P < 0 是 x 2 ? x ? 2 ? 0 的充分条件?如果存在,求出 P 的取值范围;否则,说明理由.

18.(本小题满分 14 分) 如图,在四面体 S-ABC 中,E、F、G、H、M、N 分别是棱 SA、BC、AB、SC、AC、SB 的中点,且 EF=GH=MN,求证: SA ? BC, SB ? AC, SC ? AB .

3

19.(本小题满分 14 分) 己知双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 与直线 l:x + y = 1 相交于两个不同的点 A、B a2
5 PB ,求 a 的值。 12

(I) 求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; (Ⅱ) 设直线 l 与 y 轴交点为 P,且 PA ?

20.(本小题满分 14 分) 如 图 , 三 棱 柱 A1 B1C1 ? ABC中,平面A1 AB ? 平面ABC ,

平面A1 AC ? 平面ABC,

?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2, AA 1 ? 3.
(Ⅰ) 求证: AA 1 ? 平面ABC ; (Ⅱ) 求异面直线 AB1与BC1所成角的余弦值; (Ⅲ) 求点 B1到平面ABC1的距离

4

高中数学选修 2-1 答案
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.B 2.C 3.D 4.D 5.B 6.B 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. (? ,0) ;
2

7.D

8.C

1 4

10. (3,1,4) 12. y ? ?

11. ? x0 ? R,x0 ? x0 ? 3 ? 0 ;

3 x; 2

13.9;

14.②③

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.解:逆命题:若 x=2 且 y=-1,则 x ? 2 ? ( y ? 1) 2 ? 0 ;真命题?????4 分 否命题:若 x ? 2 ? ( y ? 1) 2 ? 0 ,则 x≠2 或 y≠-1;真命题 逆否命题:若 x≠2 或 y≠-l,则 x ? 2 ? ( y ? 1) 2 ? 0 ;真命题 16.解:由于椭圆焦点为 F(O,±4),离心率为 e= ???.8 分 ???12 分

4 ???????????3 分 5

所以双曲线的焦点为 F(O,±4),离心率为 2,????????????6 分 从而 c=4,a=2,b= 2 3 . ???????????????10 分

所以所求双曲线方程为

y2 x2 ? ? 1 ?????????????????12 分 4 12

2 17.解:由 x ? x ? 2 ? 0 ,解得 x>2 或 x<-1,令 A= {x x ? 2或x ? ?1 },??3 分

由 4 x ? p ? 0 ,得 B= {x x ? ? } ,?????????????????6 分 当 B ? A 时,即 ? 此时 x ? ?

p 4

p ? ?1 ,即 p ? 4 ,???????????????10 分 4
???????????????12 分

p ? ?1 ? x 2 ? x ? 2 ? 0 , 4

∴当 p ? 4 时, 4x ? p ? 0是x 2 ? x ? 2 ? 0 的充分条件.??????????14 分

18 .

证 : 如 图 , 设

SA ? r1 , SB ? r2 , SC ? r3 , 则SE, SF, SG, SH, SM , SN 分 别 为

1 1 1 1 1 1 r1 , (r2 ? r3 ), (r1 ? r2 ), r3 , (r1 ? r3 ), r2 , ??????????4 分 2 2 2 2 2 2
由条件 EF=GH=MN 得:

5

展开得 r1 ? r2

? r2 ? r3 ? r1 ? r3
∵ 1

?????????7 分

∴ 1

r ? (r3 ? r2 ) ? 0,

r ? 0, r3 ? r2 ? 0, ????9 分

∴ 1

r ? (r3 ? r2 )即SA ? BC. ??????????12 分

同理可证 SB ? AC, SC ? AB. ??????????14 分

x2 ? y2 ?1 2 a 19.解:(Ⅰ)由曲线 C 与直线相交于两个不同的点,知方程组 { 有两个不同的解,消去 Y 并 x ? y ?1

整理得: (1 ? a 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? 2a 2 ? 0

①?????2 分

双曲线的离心率 e ?

1? a2 1 ? ? 1 ??????????????5 分 a a2
6 且e ? 2 ?????????????6 分 2

, ∵ 0 ? a ? 2且a ? 1 ∴e ?

即离心率 e 的取值范围为 (

6 .??????????7 分 ,2 ) ? ( 2, ? ?) 2

(Ⅱ)设 A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P(0,1) ∵ PA ?

5 5 5 PB ,∴ ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y 2 ? 1) ,得 x1 ? x 2 ????9 分 12 12 12

由于 x1 , x 2 是方程①的两个根,∴ x1 ? x2 ? ?

2a 2 2a 2 , x x ? ? 1 2 1? a2 1? a2



17 2a 2 5 2 2a 2 x2 ? ? , x ? ? , 消去x2 , 2 12 1 ? a 2 12 1? a2 2a 2 289 ? ,????????????????????????12 分 2 60 1? a
17 ?????????????????????????14 分 13

得?

解得 a ?

6

20.(Ⅰ)证明:∵ 平面A1 AB ? 平面ABC, 平面A1 AB ? 平面ABC ? AB CA ? AB ∴ CA ? 平面A1 AB ∴ A1 A ? CA ????????4 分 同理 又

A1 A ? BA
CA ? BA ? A
∴ A1 A ? 平面ABC ???6 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 AB, AC, A1 A两两互相垂直, 因此可以 A 为坐标原点,线段 AB, AC, A1 A 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 A-xyz 则 ??????7 分

AB1 ? (2,0,3), BC1 ? AC1 ? AB ? (?2,2,3)

????????8 分

∴异面直线 AB1与BC1所成角的余弦值是

5 221 ??????10 分 221

(Ⅲ)设平面 ABC n ? ( x, y, z),则 1的法向量为



n ? (0,?3,2)
AB1 ? n n ? 6 6 13 ? 13 13

??????12 分



∴ 点B1到平面ABC1的距离是

6 13 ????????14 分 13

若以上各题有其它解法,请评卷老师酌情给分。

7


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