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平行四边形·矩形·菱形·正方形解答题与答案(中考必备)


平行四边形·矩形·菱形·正方形解答题(含答案)
1. (2011 浙江省舟山,23,10 分)以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直 角三角形,直角顶点分别为 E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形 EFGH. (1)如图 1,当四边形 ABCD 为正方形时,我们发现四边形 EFGH 是正方形;如图 2,当四边形 ABCD 为矩形时,请判断:四边形 EFGH 的形状(不要求证明); (2)如图 3,当四边形 ABCD 为一般平行四边形时,设∠ADC= ? (0° ? <90° < ), ① 试用含 ? 的代数式表示∠HAE;② 求证:HE=HG;③ 四边形 EFGH 是什么四边形?并说明理由.

2. (2011 安徽,23,14 分)如图,正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l1 、 l 2 、 l 3 、 l 4 上,这四 条直线中相邻两条之间的距离依次为 h 1 、 h 2 、 h 3 ( h 1 >0, h 2 >0, h 3 >0). (1)求证: h 1 = h 3 ; (2)设正方形 ABCD 的面积为 S,求证:S= ( h1 ? h 2 ) ? h1 ;
2 2

(3)若

3 2

h1 ? h 2 ? 1 ,当 h 1 变化时,说明正方形 ABCD 的面积 S

随 h 1 的变化情况.

3. (2011 福建福州,21,12 分)已知,矩形 A B C D 中, A B ? 4 cm , B C ? 8 cm , A C 的垂直平分线 E F 分别交 A D 、 B C 于点 E 、 F ,垂足为 O . (1)如图 10-1,连接 A F 、 C E .求证四边形 AFC E 为菱形,并求 A F 的长; (2)如图 10-2,动点 P 、 Q 分别从 A 、 C 两点同时出发,沿 ? A F B 和 ? C D E 各边匀速运动一周.即点 P 自 A → F → B → A 停止,点 Q 自 C → D → E → C 停止.在运动过程中, ①已知点 P 的速度为每秒 5 cm ,点 Q 的速度为每秒 4 cm ,运动时间为 t 秒,当 A 、 C 、 P 、 Q 四点为 顶点的四边形是平行四边形时,求 t 的值. ②若点 P 、 Q 的运动路程分别为 a 、 b (单位: cm , ab ? 0 ),已知 A 、 C 、 P 、 Q 四点为顶点的四边 形是平行四边形,求 a 与 b 满足的数量关系式.
A E
D

A P

E

D

A P

E

D

O
B
F

Q

Q

C

B

F

C

B

F

C

图 10-1

图 10-2

备用图

4. (2011 广东广州市,18,9 分) 如图 4,AC 是菱形 ABCD 的对角线,点 E、F 分别在边 AB、AD 上, 且 AE=AF. 求证:△ ACE≌△ACF.
1

A

A

F

D

E B 图4 C

M B

E

O C

F N

(第 5 题图)

5. (2011 山东滨州,24,10 分)如图,在△ABC 中,点 O 是 AC 边上(端点除外)的一个动点,过点 O 作直线 MN∥BC.设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E,交∠BCA 的外角平分线于点 F,连接 AE、AF。那么当 点 O 运动到何下时,四边形 AECF 是矩形?并证明你的结论。 6. (2011 山东济宁,22,8 分)数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图 1 ,正方形 A B C D 的边长为 12 , P 为边 B C 延长线上的一点, E 为 D P 的中点, D P 的垂直平分线交边 D C 于 M ,交边 A B 的延 长线于 N .当 C P ? 6 时, E M 与 E N 的比值是多少? 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过 E 作直线平行于 B C 交 D C , A B 分别于 F , G ,如 图 2 ,则可得:
DF FC ? DE EP

,因为 D E ? E P ,所以 D F ? F C .可求出 E F 和 E G 的值,进而可求得 E M

与 E N 的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程. (2) 小东又对此题作了进一步探究,得出了 D P ? M N 的结论.你认为小东的这个结论正确吗?如果正 确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.

第 6 题图 7. (2011 山东威海,2 4,11 分)如图,ABCD 是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形 ABCD 的 边 AB 上取一点 M,在 CD 上取一点 N,将纸片沿 MN 折叠,使 MB 与 DN 交于点 K,得到△MNK.

(1)若∠1=70°,求∠MNK 的度数. (2)△MNK 的面积能否小于
1 2

?若能,求出此时∠1 的度数;若不能,试说明理由.

(3)如何 折叠能够使△MNK 的面积最大?请你探究可能出现的情况,求出最大值.

8. (2011 山东烟台,24,10 分)已知:如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90° ,CD⊥AD,AD2+CD2= 2AB2.
2 B

C

(1)求证:AB=BC;(2)当 BE⊥AD 于 E 时,试证明:BE=AE+CD.

9. (2011 浙江湖州,22,8) 如图已知 E、F 分别是□ABCD 的边 BC、AD 上的点,且 BE=DF. (1) 求证:四边形 AECF 是平行四边形; (2) 若 BC=10,∠BAC=90° ,且四边形 AECF 是菱形,求 BE 的长 .

A

E O

B

D

C

第 9 题图 第 10 题图 第 11 题图 10.(2011 宁波市,23,8 分)如图,在□ABCD 中,E、F 分别为边 ABCD 的中点,BD 是对角线,过 A 点作 AGDB 交 CB 的延长线于点 G. (1)求证:DE∥BF;(2)若∠G=90,求证四边形 DEBF 是菱形. 11. (2011 浙江衢州,22,10 分)如图, ? A B C 中, A D 是边 B C 上的中线,过点 A 作 A E ? B C ,过点 D 作 D E ? A B , D E 与 A C 、 A E 分别交于点 O 、点 E ,连接 E C 求证:(1) A D ? E C ; (2)当 ? B A C ? R t ? 时,求证:四边形 A D C E 是菱形; (3)在(2)的条件下,若 A B ? A O ,求 tan ? O A D 的值. 12. (2011 浙江省嘉兴,23,12 分)以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直 角三角形,直角顶点分别为 E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形 EFGH. (1)如图 1,当四边形 ABCD 为正方形时,我们发现四边形 EFGH 是正方形;如图 2,当四边形 ABCD 为矩形时,请判断:四边形 EFGH 的形状(不要求证明); (2)如图 3,当四边形 ABCD 为一般平行四边形时,设∠ADC= ? (0° ? <90° < ), ① 试用含 ? 的代数式表示∠HAE;② 求证:HE=HG;③ 四边形 EFGH 是什么四边形?并说明理由.
H A E B F D H H

A

D E A

D

G C

E B

G C C
B

G

F

F

(第 23 题图 1)

(第 23 题图 2)

(第 23 题图 3)

13. (2011 福建泉州,21,9 分)如图,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开,再把△ ACD 沿 CA 方向平移得 到△ A1C1D1. (1)证明:△ A1AD1≌△CC1B;
3

(2)若∠ACB=30° ,试问当点 C1 在线段 AC 上的什么位置时,四边形 ABC1D1 是菱形. (直接写出答案) A E D

O

B

F

C

第 13 题图 第 14 题图 14. (2011 甘肃兰州,27,12 分)已知:如图所示的一张矩形纸片 ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次, 使点 A 与点 C 重合,再展开,折痕 EF 交 AD 边于点 E,交 BC 边于点 F,分别连结 AF 和 CE。 (1)求证:四边形 AFCE 是菱形; (2)若 AE=10cm,△ABF 的面积为 24cm2,求△ABF 的周长; (3)在线段 AC 上是否存在一点 P,使得 2AE2=AC·AP?若存在,请说明点 P 的位置,并予以证明;若 不存在,请说明理由。 15. (2011 广东株洲,23,8 分)如图,矩形 ABCD 中,点 P 是线段 AD 上一动点,O 为 BD 的中点, PO 的 延长线交 BC 于 Q.(1)求证: OP=OQ; (2)若 AD=8 厘米,AB=6 厘米,P 从点 A 出发,以 1 厘米/秒的速度向 D 运动(不与 D 重合).设点 P 运 动时间为 t 秒,请用 t 表示 PD 的长;并求 t 为何值时,四边形 PBQD 是菱形.

16. (2011 江苏苏州,28,9 分)(本题满分 9 分)如图①,小慧同学吧一个正三角形纸片(即△OAB)放 在直线 l1 上,OA 边与直线 l1 重合,然后将三角形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 120°,此时点 O 运 动到了点 O1 处,点 B 运动到了点 B1 处;小慧又将三角形纸片 AO1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋转 120°, 点 A 运动到了点 A1 处,点 O1 运动到了点 O2 处(即顶点 O 经过上述两次旋转到达 O2 处). 小慧还发现:三角形纸片在上述两次旋转过程中,顶点 O 运动所形成的图形是两段圆弧,即弧 OO1 和弧 O1O2,顶点 O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和,并且这两端圆弧与直线 l1 围成的图形面积等 于扇形 AOO1 的面积、△AO1B1 的面积和扇形 B1O1O2 的面积之和. 小慧进行类比研究: 如图②, 她把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 l2 上, 边与直线 l2 重合, OA 然后将正方形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 90°,此时点 O 运动到了点 O1 处(即点 B 处),点 C 运动到了点 C1 处,点 B 运动到了点 B1 处;小慧又将正方形纸片 AO1C1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋转 90°,??,按上述方法经过若干次旋转后,她提出了如下问题: 问题①:若正方形纸片 OABC 按上述方法经过 3 次旋转,求顶点 O 经过的路程,并求顶点 O 在此运 动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积;若正方形 OABC 按上述方法经过 5 次旋转,求顶点 O 经过的路程; 问题②:正方形纸片 OABC 按上述方法经过多少次旋转,顶点 O 经过的路程是
41 ? 20 2
4

2

π?

请你解答上述两个问题.

17. (2011 江苏泰州,24,10 分)如图,四边形 ABCD 是矩形,直线 L 垂直平分线段 AC,垂足为 O,直 线 L 分别与线段 AD、CB 的延长线交于点 E、F. (1)△ABC 与△FOA 相似吗?为什么? (2)试判定四边形 AFCE 的形状,并说明理由.

y

C

A

D O

E

l

D B P

F

B

C

O

A

x

第 17 题图 第 18 题图 18. (2011 江苏泰州, 28, 分) 12 在平面直角坐标系 xoy 中, 边长为 a (a 为大于 0 的常数) 的正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 P,顶点 A 在 x 轴正半轴上运动,顶点 B 在 y 轴正半轴上运动(x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴都不包含原点 O),顶点 C、D 都在第一象限. (1)当∠BAO=45°时,求点 P 的坐标; (2)求证:无论点 A 在 x 轴正半轴上、点 B 在 y 轴正半轴上怎样运动,点 P 都在∠AOB 的平分线上; (3)设点 P 到 x 轴的距离为 h,试确定 h 的取值范围,并说明理由. 19. (2011 山东济宁,17, 5 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 O 作直线 EF⊥BD,分别交 AD、BC 于点 E 和点 F,求证:四边形 BEDF 是菱形.
A E D

O B F C

20.(2011 山东聊城,25,12 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=12cm,BC=8cm,点 E、F、G 分别从 点 A、B、C 三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点 E、G 的速度均为 2cm/s,点 F 的速度 为 4cm/s,当点 F 追上点 G(即点 F 与点 G 重合)时,三个点随之停止移动.设移动开始后第 t 秒时,
5

△EFG 的面积为 S(cm2). (1)当 t=1 秒时,S 的值是多少? (2)写出 S 和 t 之间的函数解析式,并指出自变量 t 的取值范围. (3)若点 F 在矩形的边 BC 上移动,当 t 为何值时,以点 E、B、F 为顶点的三角形与以 F、C、G 为 顶点的三角形相似?请说明理由.

第 20 题图 第 21 题图 21. (2011 山东潍坊,18,8 分)已知正方形 ABCD 的边长为 a,两条对角线 AC、BD 相交于点 O,P 是 射线 AB 上任意一点,过 P 点分别做直线 AC、BD 的垂线 PE、PF,垂足为 E、F. (1)如图 1,当 P 点在线段 AB 上时,求 PE+PF 的值; (2)如图 2,当 P 点在线段 AB 的延长线上时,求 PE-PF 的值. 22. (2011 四川广安,23,8 分)如图 5 所示,在菱形 ABCD 中,∠ABC= 60°,DE∥AC 交 BC 的延长线 于点 E.求证:DE=
1 2
A D

BE

B

C

E

23. (2011 江苏南京,21,7 分)如图,将□ABCD 的边 DC 延长到点 E,使 CE=DC,连接 AE,交 BC 于点 F. ⑴求证:△ ABF≌△ECF ⑵若∠AFC=2∠D,连接 AC、BE.求证:四边形 ABEC 是矩形. A D

B

F

C

E

24. (2011 江苏南通,26,10 分)(本体满分 10 分) 已知: 如图 1, 为正方形 ABCD 的中心, O 分别延长 OA 到点 F, 到点 E, OF=2OA, OD 使 OE=2OD, 连结 EF,将△FOE 绕点 O 逆时针旋转α 角得到△ F ' O E ' (如图 2).
6

(1) 探究 AE′与 BF'的数量关系,并给予证明; (2) 当α =30°时,求证:△AOE′为直角三角形.

第 24 题图 底 5 题图 25. (2011 山东临沂, 7 分) 22, 如图, △ABC 中, AB=AC, AD、 分别是△ABC 两个外角的平分线. CD 在 直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=90° ,=2CD,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,线段 OA,OB 的中 点分别为点 E,F (1)求证:AC=AD;(2)若∠B=60°,求证:四边形 ABCD 是菱形; 26. (2011 山东临沂,25,11 分)如图 1,奖三角板放在正方形 ABCD 上,使三角板的直角顶点 E 与正方 形 ABCD 的顶点 A 重合,三角板的一边交 CD 于点 F,另一边交 CB 的延长线于点 G. (1)求证:EF=EG; (2)如图 2,移动三角板,使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上,其他条件不变.(1)中的 结论是否仍然成立?若成立,情给予证明;若不成立,请说明理由; (3)如图 3,将(2)中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”,且使三角板的一边经过点 B,其 他条件不变,若 AB=a,BC=b,求
EF EG

的值.[来源:学科网 ZXXK]

图1 图2 图3 27. (2011 上海,23,12 分)如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=DC,过点 D 作 DE⊥BC,垂足为 E, 并延长 DE 至 F,使 EF=DE.联结 BF、CF、AC. (1)求证:四边形 ABFC 是 平行四边形;(2)如果 DE2=BE·CE,求证四边形 ABFC 是矩形.

A

D

B

E

C

F
28. (2011 四川乐山 20,10 分)如图,E、F 分别是矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 上的点,且 AE=DF。 求证:BE=CF
7

第 28 题图 第 29 题图 第 30 题图 29. (2011 湖南衡阳,26,10 分)如图,在矩形 ABCD 中,AD=4,AB=m(m>4),点 P 是 AB 边上的任意 一点(不与 A、B 重合),连结 PD,过点 P 作 PQ⊥PD,交直线 BC 于点 Q. (1)当 m=10 时, 是否存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合?若存在, 求出此时 AP 的长; 若不存在说明理由; (2)连结 AC,若 PQ∥AC,求线段 BQ 的长(用含 m 的代数式表示) (3)若△PQD 为等腰三角形,求以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函数关系式,并 写出 m 的取值范围. 30. (2011 贵州贵阳,18,10 分) 如图,点 E 是正方形 ABCD 内一点,△CDE 是等边三角形,连接 EB、EA,延长 BE 交边 AD 于点 F. (1)求证:△ADE≌△BCE;(5 分)(2)求∠AFB 的度数.(5 分) 31. (2011 广东肇庆,20,7 分)如图,在正方形 ABCD 中,E 为对角线 AC 上一点,连接 EB、ED. (1)求证:△BEC≌△DEC;(2)延长 BE 交 AD 于点 F,若∠DEB = 140?,求∠AFE 的度数. D F A A O E C 第 310 题图 B B C 第 32 题图 第 33 题图 D

E

32. (2011 广东肇庆,22,8 分)如图,矩形 ABCD 的对角线相交于点 O,DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形 OCED 是菱形; (2)若∠ACB=30?,菱形 OCED 的面积为 8 3 ,求 AC 的长. 33. (2011 湖北襄阳,25,10 分) 如图 9,点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点(不与点 A,B 重合),连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时 针方向旋转 90° 得到线段 PE,PE 交边 BC 于点 F,连接 BE,DF. (1)求证:∠ADP=∠EPB; (2)求∠CBE 的度数; (3)当
AP AB

的值等于多少时,△PFD∽△BFP?并说明理由.

34. (2011 湖南永州,25,10 分)探究问题: ⑴方法感悟:如图①,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别为 DC,BC 边上的点,且满足∠EAF=45° ,连接 EF,求证 DE+BF=EF.感悟解题方法,并完成下列填空:
8

将△ ADE 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到△ ABG,此时 AB 与 AD 重合,由旋转可得: AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90° ,∴∠ABG+∠ABF=90° +90° =180° , 因此,点 G,B,F 在同一条直线上.∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90° =45° -45° . ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠3=45° .即∠GAF=∠_________.又 AG=AE,AF=AF∴△GAF≌_______. ∴_________=EF,故 DE+BF=EF.

A 1 3

2

D E

A

D

A D E B F

E

G

B

F

C

B F

C

C

(第 25 题) ①

(第 25 题) ②

(第 25 题) ③

⑵方法迁移:如图②,将 Rt ? ABC 沿斜边翻折得到△ ADC,点 E,F 分别为 DC,BC 边上的点,且 ∠EAF=
1 2

∠DAB.试猜想 DE,BF,EF 之间有何数量关系,并证明你的猜想.
? 1 2 ? DAB

⑶问题拓展:如图③,在四边形 ABCD 中,AB=AD,E,F 分别为 DC,BC 上的点,满足 ? EAF

,

试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时,可使得 DE+BF=EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由). 35. (2011 江苏盐城, 27, 分) 12 情境观察: 将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开, 得到△ ABC 和△ A′C′D, 如图 1 所示.将△ A′C′D 的顶点 A′与点 A 重合,并绕点 A 按逆时针方向旋转,使点 D、A(A′)、B 在同一条直 线上,如图 2 所示.观察图 2 可知:与 BC 相等的线段是
C' D C D C' C C

,∠CAC′=

°.

A

B

A' A
图1

B

D

A(A')
图2

B

问题探究:如图 3,△ABC 中,AG⊥BC 于点 G,以 A 为直角顶点,分别以 AB、AC 为直角边,向△ ABC 外作等腰 Rt△ABE 和等腰 Rt△ACF,过点 E、F 作射线 GA 的垂线,垂足分别为 P、 Q. 试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系,并证明你的结论.
E Q A P F

B

G
图3

C

拓展延伸 如图 4, △ABC 中, AG⊥BC 于点 G, 分别以 AB、 为一边向△ ABC 外作矩形 ABME 和矩形 ACNF, AC
9

射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB= k AE,AC=k AF,试探究 HE 与 HF 之间的数量关系,并说明理由.

第 35 题 (图 4) 第 36 题 36. (20011 江苏镇江,23,7 分)已知:如图,在梯形 ABCD 中 AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E 为 AB 中点, 求证:四边形 BCDE 是菱形. 37. (20011 江苏镇江,25,6 分)已知:如图 1,图形①满足:AD=AB,MD=MB, ∠A=72°, ∠M=144°.图形②与图 形①恰好拼成一个菱形(如图 2).记作 AB 的长度为 a,BM 的长度为 b. (1)图中①中∠B=___度,图中②中∠E=____度.[来源:学.科.网] (2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形①相同,这咱纸片称为“风筝一号”另一种 纸片的形状及大小与图形②相同,这种纸片称为“飞镖一号”. ①小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为 b 的正十边形,需要这种纸片____张; ②小明用若干张“风筝一号”和 “飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图 3),其中 ∠P=72°, ∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线并保留画图痕迹.(本题中均为 无重叠、无缝隙拼接)

38. (2011 贵州安顺,25,10 分)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D, 交 AB 于 E,F 在 DE 上,且 AF=CE=AE. ⑴说明四边形ACEF是平行四边形; ⑵当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由.

第 38 题图

39. (2011 河北,23,9 分)如图 12,四边形 ABCD 是正方形,点 E,K 分别在 BC,AB 上,点 G 在 BA 的 延长线上,且 CE=BK=AG.
10

(1)求证:①DE=EG; ②DE⊥EG; (2)尺规作图:以线段 DE,DG 为边作出正方形 DEFG(要求:只保留作图痕迹,不写作法和证明); (3)连接(2)中的 KF,猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想; (4)当
CE CB ? 1 n

时,请直接写出

S 正方形 S 正方形

ABCD DEFG

的值.

G A K B
图12

D

E C

40. (2011 湖南湘潭市,24,8 分)(本题满分 8 分) 两个全等的直角三角形重叠放在直线 l 上,如图⑴,AB=6cm,BC=8cm, ∠ABC=90°,将 Rt△ABC 在直线 l 上左右平移,如图⑵所示. ⑴ 求证:四边形 ACFD 是平行四边形; ⑵ 怎样移动 Rt△ABC,使得四边形 ACFD 为菱形; ⑶ 将 Rt△ABC 向左平移 4 cm ,求四边形 DHCF 的面积.

A(D)

A

D H

B(E) 图(1)

C(F)

l

B

E 图(2)

C

F

l

41. (2011 湖北荆州,19,7 分)(本题满分 7 分)如图,P 是矩形 ABCD 下方一点,将△PCD 绕 P 点顺时 针旋转 60°后恰好 D 点与 A 点重合,得到△PEA,连接 EB,问△ABE 是什么特殊三角形?请说明理由.
D E A

C P

B

矩形、菱形与正方形解答题
11

1. 【答案】(1)四边形 EFGH 是正方形.

(2) ①∠HAE=90° . +a

在□ABCD 中,AB∥CD,∴∠BAD=180° -∠ADC=180° -a; ∵△HAD 和△ EAB 都是等腰直角三角形,∴∠HAD=∠EAB=45° , ∴∠HAE=360° -∠HAD-∠EAB-∠BAD=360° -45° -45° -(180° -a)=90° . +a ②∵△AEB 和△ DGC 都是等腰直角三角形,∴AE=
2 2

AB,DG=

2 2

CD,

在□ABCD 中,AB=CD,∴AE=DG,∵△HAD 和△ GDC 都是等腰直角三角形, ∴∠DHA=∠CDG= 45° ,∴∠HDG=∠HAD+∠ADC+∠CDG=90° =∠HAE. +a ∵△HAD 是等腰直角三角形,∴HA=HD,∴△HAE≌△HDG,∴HE=HG.[来源:学科网 ZXXK] ③四边形 EFGH 是正方形. 由②同理可得:GH=GF,FG=FE,∵HE=HG(已证),∴GH=GF=FG=FE,∴四边形 EFGH 是菱形; ∵△HAE≌△HDG(已证),∴∠DHG=∠AHE,又∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90° ,∴∠EHG=∠AHG +∠AHE=90° ,∴四边形 EFGH 是正方形. 2. 【答案】(1)过 A 点作 AF⊥l3 分别交 l2、l3 于点 E、F,过 C 点作 CG⊥l3 交 l3 于点 G, ∵l2∥l3,∴∠2 =∠3,∵∠1+∠2=90°,∠4+∠3=90°,∴∠1=∠4,又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC, ∴△BEA≌△DGC,∴AE=CG,即 h 1 = h 3 ; (2)∵∠FAD+∠3=90°,∠4+∠3=90°,∴∠FAD =∠4,又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC,∴△AFD ≌△DGC,∴DF=CG,∵AD2=AF2+FD2,∴S= ( h1 ? h 2 ) ? h1 ;
2 2

(3)由题意,得 h 2 ? 1 ?

3 2

h1 , 所以

? h1 ? 0 2 ? 又? ,解得 0<h1< 3 3 ?1 ? h1 ? 0 2 ?

∴当 0<h1<

2 5

时,S 随 h1 的增大而减小; 当 h1=

2 5

时,S 取得最小值

4 5

;当

2 5

<h1<

2 3

时,S 随 h1

的增大而增大. 3. 【答案】(1)证明:①∵四边形 A B C D 是矩形∴ A D ∥ B C ∴ ? C A D ∵ E F 垂直平分 A C ,垂足为 O ∴ O A ? 又∵ E F ? A C ∴四边形 AFC E 为菱形 ②设菱形的边长 A F
2

? ?ACB ? OF

, ?AEF

? ?CFE

OC

∴ ? AO E ≌ ? C O F ∴ O E

∴四边形 AFC E 为平行四边形

? C F ? xcm
2 2

,则 B F ? (8 ? x ) cm 在 R t ? A B F 中, A B
? 5 ∴ A F ? 5 cm

? 4 cm

由勾股定理得 4 ? (8 ? x ) ? x ,解得 x

(2)①显然当 P 点在 A F 上时, Q 点在 C D 上,此时 A 、 C 、 P 、 Q 四点不可能构成平行四边形;同理 P 点 在 A B 上时, Q 点在 D E 或 C E 上,也不能构成平行四边形.因此只有当 P 点在 B F 上、 Q 点在 E D 上时, 才能构成平行四边形∴以 A 、 C 、 P 、 Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时, P C ? Q A ∵点 P 的速度为每秒 5 cm ,点 Q 的速度为每秒 4 cm ,运动时间为 t 秒∴ P C ∴ 5t
? 12 ? 4t ? 5t

, Q A ? 12 ? 4t
t ? 4 3

,解得

t ? 4 3

∴以 A 、 C 、 P 、 Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,

秒.

②由题意得,以 A 、 C 、 P 、 Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,点 P 、 Q 在互相平行的对应边上. 分三种情况:i)如图 1,当 P 点在 A F 上、 Q 点在 C E 上时, A P ? C Q ,即 a
12
? 12 ? b

,得 a

? b ? 12

ii)如图 2,当 P 点在 B F 上、 Q 点在 D E 上时, A Q ? C P , 即 1 2 ? b iii)如图 3,当 P 点在 A B 上、 Q 点在 C D 上时, A P ? C Q ,即 1 2 ? a 综上所述, a 与 b 满足的数量关系式是 a
A E
Q
D
A

? a
?b

,得 a ,得 a
Q

? b ? 12
? b ? 12

? b ? 1 2 ( ab ? 0)
E
Q
D

A

E

D

A

E

D

Q

P B
C

P
F

B

P

F

C

B

F

C

B

P

F

C

图1

图2

图3

4. 【答案】∵四边形 ABCD 为菱形∴∠BAC=∠DAC 又∵AE=AF,AC=AC∴△ ACE≌△ACF(SAS) 5. 【答案】当点 O 运动到 AC 的中点(或 OA=OC)时,四边形 AECF 是矩形 证明:∵CE 平分∠BCA,∴∠1=∠2,又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3,∴∠3=∠2,∴EO=CO. 同理,FO=CO6 分∴EO=FO 又 OA=OC, ∴四边形 AECF 是平行四边形 又∵∠1=∠2,∠4=∠5,∴∠1+∠5=∠2+∠4.又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°分 ∴四边形 AECF 是矩形 6. (1)解:过 E 作直线平行于 B C 交 D C , A B 分别于点 F , G , 则
DF FC ? DE EP



EM EN

?

EF EG

, G F ? B C ? 12 . ∵ D E ? E P , ∴ D F ? F C . ∴ E F ? .∴
EM EN ? EF EG ? 3 15 ? 1 5

1 2

CP ?

1 2

?6?3 ,

E G ? G F ? E F ? 12 ? 3 ? 15

.

(2)证明:作 M H ∥ B C 交 A B 于点 H , 则 M H ? C B ? C D , ? M H N ? 90 ? .∵ ? D C P ? 180 ? ? 90 ? ? 90 ? , ∴ ? D C P ? ? M H N .∵ ? M N H ? ? C M N ? ? D M E ? 90 ? ? ? C D P , ? D P C ? 90 ? ? ? C D P , ∴ ? D P C ? ? M N H .∴ ? D P C ? ? M N H .∴ D P ? M N .

7. ∴AM∥DN, ∴∠KNM=∠1. ∵∠KMN=∠1, ∴∠KNM=∠KMN.
∵∠1=70°,∴∠KNM=∠KMN=70°.∴∠MNK=40°. (2) 不能. M 点作 ME⊥DN, 过 垂足为点 E, ME=AD=1,由 则 (1) 知∠KNM=∠KMN.∴MK=NK.又 MK≥ME,∴NK≥1.∴ S ? M N K ? 小值为
1 2 1 2 NK ? ME ? 1 2

.∴△MNK 的面积最

,不可能小于

1 2



(3)分两种情况:情况一:将矩形纸片对折,使点 B 与点 D 重合,此时点 K 也与点 D 重合. 设 MK=MD=x,则 AM=5-x,由勾股定理,得 1 ? (5 ? x ) ? x ,
2 2 2

解得, x ? 2 .6 .即 M D ? N D ? 2.6 . ∴ S ?M NK ? S ?ACK ?
1 2 ? 1 ? 2 .6 ? 1 .3 .(情况一)

情况二:将矩形纸片沿对角线 AC 对折,此时折痕为 AC. 设 MK=AK= CK=x,则 DK=5-x,同理可得 即 M K ? N K ? 2.6 .∴ S ? M N K ? S ? A C K ? ∴△MNK 的面积最大值为 1.3.
1 2 ? 1 ? 2 .6 ? 1 .3 .

(情况二)

13

8.(1)证明:连接 AC,∵∠ABC=90° ,∴AB2+BC2=AC2.∵CD⊥AD,∴AD2+CD2=AC2.∵AD2+CD2 =2AB2,∴AB2+BC2=2AB2,∴AB=BC.(2)证明:过 C 作 CF⊥BE 于 F.∵BE⊥AD,∴四边形 CDEF 是矩形.∴CD=EF.∵∠ABE+∠BAE=90° ,∠ABE+∠CBF=90° ,∴∠BAE=∠CBF,∴△BAE≌△CBF. ∴AE=BF.∴BE=BF+EF =AE+CD. 9.【答案】(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,且 AD=BC,∴AF∥EC,∵BE=DF, ∴AF=EC,∴四边形 AECF 是平行四边形. (2)∵四边形 AECF 是,∴AE=CE,∴∠1=∠2,∵∠BAC=90°,∴∠3=∠90° -∠2,∠4=∠90° -∠1,∴∠3=∠4,∴AE=BE,∴BE=AE=CE=
1 2

BC=5.

10. 解:(1)□ABCD 中,AB∥CD,AB=CD 1 1 ∵E、F 分别为 AB、CD 的中点∴DF= DC,BE= AB∴DF∥BE,DF=BE 2 2 ∴四边形 DEBF 为平行四边形∴DE∥BF (2)证明:∵AG∥BD∴∠G=∠DBC=90°∴ ? DBC 为直角三角形 1 又∵F 为边 CD 的中点.∴BF= DC=DF 又∵四边形 DEBF 为平行四边形∴四边形 DEBF 是菱形 2 11.证明:(1)解法 1∵DE∥AB,AE∥BC, ∴四边形 ABDE 是平行四边形,∴AE∥BD,且 AE=BD 又∵AD 是 BC 边上的中线, ∴BD=CD ∴AE∥CD, AE=CD∴四边形 ADCE 是平行四边形 ∴AD=CE 且 解法 2 证明:∵DE∥AB,AE∥BC ∴四边形 ABDE 是平行四边形,∠B=∠EDC ∴AB=DE 又∵AD 是 BC 边上的中线∴BD=CD∴△ABD≌△EDC(SAS) ∴AD=EC (2)解法 1∵∠BAC=Rt∠,AD 上斜边 BC 上的中线,∴AD=BD=CD 又∵四边形 ADCE 是平行四边形 ∴四边形 ADCE 是菱形 解法 2∵DE∥AB,∠BAC=Rt∠,∴DE⊥AC 又∵四边形 ADCE 是平行四边形∴四边形 ADCE 是菱形 解法 3∵∠BAC=Rt∠,AD 是斜边 BC 上的中线,∴AD=BD=CD 又∵AD=EC ∴AD=CD=CE=AE ∴四边形 ADCE 是菱形 (3)解法 1∵四边形 ADCE 是菱形∴AO=CO,∠ADO=90°,又∵BD=CD∴OD 是△ABC 的中位线, 则 OD ?
1 2 AB

∵AB=AO ∴ OD ?

1 2

AO ∴在 Rt△AOD 中, tan ? OAD ?

OD OA

?

1 2 1 2 AC

解法 2∵四边形 ADCE 是菱形∴AO=CO= ∴在 Rt△ABC 中, tan ? ACB ? ∴ tan ? OAD ? tan ? ACB ?
1 2 AB AC ?

1

AC ,AD=CD,∠AOD=90°,∵AB=AO∴AB=

2 1 2

∵AD=CD, ∴∠DAC=∠DCA

13. 【答案】∵矩形 ABCD ∴BC=AD,BC∥AD∴∠DAC=∠ACB ∵把△ ACD 沿 CA 方向平移得到△ A1C1D1.∴∠A1=∠DAC,A1D 1=AD,AA1=CC1 ∴∠A1=∠ACB,A1D1=CB。∴△A1AD1≌△CC1B(SAS)。当 C1 在 AC 中点时四边形 ABC1D1 是菱形,

第 9 题图

第 13 题图
14

第 14 题图

14. 【答案】(1)由折叠可知 EF⊥AC,AO=CO∵AD∥BC∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO ∴△AOE≌△COF∴EO=FO∴四边形 AFCE 是菱形。 (2)由(1)得 AF=AE=10 设 AB=a,BF=b,得 a2+b2=100 ①,ab=48 ② ①+2×②得 (a+b)2=196,得 a+b=14(另一负值舍去)∴△ABF 的周长为 24cm (3)存在,过点 E 作 AD 的垂线交 AC 于点 P,则点 P 符合题意。 证明:∵∠AEP=∠AOE=90°,∠EAP=∠OAE∴△AOE∽△AEP ∴
AO AE ? AE AP

,得 AE2=AO·AP 即 2AE2=2AO·AP 又 AC=2AO∴2AE2=AC·AP

15. 【答案】(1)证明:? 四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC, ∴∠PDO=∠QBO,又 OB=OD,∠POD=∠QOB, ∴△POD≌△QOB ∴OP=OQ。 (2)解法一: PD=8-t ∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠A=90°,

∵AD=8cm,AB=6cm,∴BD=10cm,∴OD=5cm. 当四边形 PBQD 是菱形时, PQ⊥BD,∴∠POD=∠A,又∠ODP=∠ADB, ∴△ODP∽△ADB,∴ 解法二:PD=8-t
OD PD ? AD BD

,即

5 8?t

?

8 10

,解得 t ?

7 4

,即运动时间为

7 4

秒时,四边形 PBQD 是菱形.

当四边形 PBQD 是菱形时,PB=PD=(8-t)cm,

∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠A=90°,在 RT△ABP 中,AB=6cm,
2 2 2 2 2 2 ∴ A P ? A B ? B P , ∴ t ? 6 ? (8 ? t ) , 解得 t ?

7 4

,即运动时间为

7 4

秒时,四边形 PBQD 是菱形.

16. 【答案】解问题①:如图,正方形纸片 OABC 经过 3 次旋转,顶点 O 运动所形成的图形是三段弧,即 弧 OO1、 O1O2 以及 弧 O2O3, 弧 ∴顶点 O 运动过程中经过的路程为
90 ? ? ? 1 180 ?2? 90 ? ? ? 180 2 ? (1 ? 2 2 )? .

顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积为
90 ? ? ? 1 360
2

?2?

90 ? ? ? ( 2 ) 360

2

? 2?

1 2

? 1 ? 1 =1+π .

正方形 OABC 经过 5 次旋转,顶点 O 经过的路程为

90 ? ? ? 1 180

?3?

90 ? ? ? 180

2

? (

3 2

?

2 2

)? .

问题②:∵方形 OABC 经过 4 次旋转,顶点 O 经过的路程为
90 ? ? ? 1 180 ?2? 90 ? ? ? 180 2 ? (1 ? 2 2 )? ∴

41 ? 20 2

2

π =20× (1 ?

2 2

)π +

1 2

π.

∴正方形纸片 OABC 经过了 81 次旋转.
15

17.【答案】 (1)相似.由直线 L 垂直平分线段 AC, 所以 AF=FC, ∴∠FAC=∠ACF, 又∵∠ABC=∠AOF=90°, ∴△ABC∽FOA. (2)四边形 AFCE 是菱形。理由:∵AE∥CF,∴∠EAO=∠FCO,又∵AO=CO,∠AOE=∠COF,∴△ AOE≌△COF, ∴AE=CF, AE∥CF, 又 ∴四边形 AFCE 为平行四边形, AF=FC, 又 所以平行四边形 AFCE 为菱形. 18. 【答案】解:(1)当∠BAO=45°时,∠PAO=90°,在 Rt⊿AOB 中,OA=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

AB=

2 2

a ,在 Rt

⊿APB 中,PA=

AB=

a 。∴点 P 的坐标为(

a,

a)

(2)过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线垂足分别为 M、N,则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°,∴ ∠MPA=∠NPB,又 PA=PB,∴△PAM≌△PBN,∴PM=PN,于是,点 P 都在∠AOB 的平分线上; (3)
a 2

<h≤

2 2

a 。当点 B 与点 O 重合时,点 P 到 AB 的距离为

a 2

,然后顶点 A 在 x 轴正半轴上向左

运动,顶点 B 在 y 轴正半轴上向上运动时,点 P 到 AB 的距离逐渐增大,当∠BAO=45°时,PA⊥x 轴,这 时点 P 到 AB 的距离最大为
2 2
a 2

a, 然后又逐渐减小到

a 2

, 轴的正半轴、 轴的正半轴都不包含原点 O , ∵x y

∴点 P 到 x 轴的距离的取值范围是

<h≤

2 2

a。

19. 【答案】证明:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AD∥BC,OB=OD,∴∠EDO=∠FBO,∠OED=∠OFB,∴△OED≌△OFB, ∴DE=BF,又∵DE∥BF,∴四边形 BEDF 是平行四边形,∵EF⊥BD,∴四边形 BEDF 是菱形. 20.【答案】(1)如图甲,当 t=1 秒时,AE=2,EB=10,BF=4,FC=4,CG=2,由 S=S 梯形 EGCG- SEBF-SFCG=
1 2

(10+2)× 8-

1 2

× 4- 10×

1 2

× 2=24 4×

(2)如图(甲),当 0≤t≤2 时,点 E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上移动,此时 AE=2t,EB=12-2t, BF=4t,FC=8-4t,S=8t2-32t+48(0≤t≤2) (3 )如图乙,当点 F 追上点 G 时,4t=2t=8,解得 t=4,当 2<t≤4 时,CF=4t-8,CG=2t,FG =CG-CF=8-2t,即 S=-8t+32(2<t≤4), (3)如图 (甲) 当点 F 在矩形的边 BC 上移动时, , 0≤t≤2, EFF 和 FCG 中, 在 B=C=90, ①若 , 即
12 ? 2 t 8 ? 4t ? 4t 2t EB FC ? BF CF BF CG



,解得 t=

2 3

,又 t=

2 3

满足 0≤t≤2,所以当 t=
16

2 3

时△EBF∽△GCF②若

EB GC

?

,即

12 ? 2 t 2t 3 2

?

4t 8 ? 4t

,解得 t=

3 2

,又 t=

3 2

满足 0≤t≤2,所以当 t=

3 2

时△EBF∽△GCF,综上知,当 t=

2 3



时,以点 E、B、F 为顶点的三角形与以 F、C、G 为顶点的三角形相似 21.【解】(1)∵四边形 ABCD 为正方形,∴AC⊥BD.∵PF⊥BD,∴PF//AC,同理 PE//BD. ∴四边形 PFOE 为矩形,故 PE=OF.又∵∠PBF=45°,∴PF=BF. ∴PE+PF=OF+FB=OB= a co s 4 5 ?
? 2 a 2

.

(2)∵四边形 ABCD 为正方形,∴AC⊥BD.∵PF⊥BD,∴PF//AC,同理 PE//BD. ∴四边形 PFOE 为矩形,故 PE=OF.又∵∠PBF=45°,∴PF=BF. ∴PE-PF=OF-BF= OB= a co s 4 5 ?
? 2 a 2

. ∴ACED 为平行四边形

22.证明:∵ABCD 是菱形,∠ABC= 60°∴BC=AC=AD 又∵DE∥AC ∴CE=AD=BC DE=AC∴DE=CE=BC ∴DE=
1 2

BE

23. 【答案】证明:⑴∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABF=∠ECF. ∵EC=DC, ∴AB=EC. 在△ ABF 和△ ECF 中,∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC, ∴⊿ABF≌⊿ECF. (2)解法一:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形 ABEC 是平行四边形.∴AF=EF, BF=CF. ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠ABC=∠D,又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC. ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF,∴∠ABF=∠BAF.∴FA=FB. ∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC.∴□ABEC 是矩形. 解法二:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形 ABEC 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠D=∠BCE. 又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠BCE, ∵∠AFC=∠FCE+∠FEC,∴∠FCE=∠FEC.∴∠D=∠FEC.∴AE=AD. 又∵CE=DC,∴AC⊥DE.即∠ACE=90° . ∴□ABEC 是矩形. 24. 【答案】 (1)AE′=BF 证明:如图 2,∵在正方形 ABCD 中, AC⊥BD∴∠ F ' O E ' =∠AOD=∠AOB=90° 即∠AOE′+∠AOF′=∠BOF′+∠AOF′∴∠AOE′=∠BOF′ 又∵OA=OB=OD,OE′=2OD,OF′=2OA∴OE′=OF′∴△OAE′≌△OBF′∴AE′=BF (2)作△AOE′的中线 AM,如图 3. 则 OE ′=2OM=2OD=2OA ∴OA=OM ∵α =30° ∴∠AOM=60° ∴△AOM 为等边三角形∴ MA=MO=ME′,∠ A E ' M =∠ E ' A M 又∵∠ A E ' M +∠ E ' A M =∠AMO 即 2∠ A E ' M =60°∴∠ A E ' M =30°∴∠ A E ' M +∠AOE′= 30°+60°=90°∴△AOE′为直角三角形.

17

25. 【解】(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠BCA,∴∠EAC=∠B+∠BCA=2∠B, ∵AD 平分∠FAC,∴∠FAD=∠B,∴AD∥BC,∴∠D=∠DCE,∵CD 平分∠ACE, ∴∠ACD=∠DCE,∴∠D=∠ACD, ∴AC=AD; (2)证明:∵∠B=60° ,∴∠ACB=60° ,∠FAC=∠ACE=120° , ∴∠DCE=∠B=60° ,∵AD∥BC,∴四边形 ABCD 为平行四边形, 又由(1)知 AC=AD,∴AB=AD, ∴四边形 ABCD 是菱形. 26.(1)证明:∵∠GEB+∠BEF=90°,∠DEF+∠BEF=90°,∴∠DEF=GEB, 又∵ED=BE,∴Rt△FED≌Rt△GEB, ∴EF=EG. (2)成立. 证明:如图,过点 E 分别作 BC、CD 的垂线,垂足分别为 H、I, 则 EH=EI,∠HEI=90°, ∵∠GEH+∠HEF=90°,∠IEF+∠HEF=90°, ∴∠IEF=∠GEH,∴Rt△FEI≌Rt△GEH,∴EF=EG.

(3)解:如图,过点 E 分别作 BC、CD 的垂线,垂足分别为 M、N , 则∠MEN=90°,EM∥AB,EN∥AD, ∴

EM EN EM AB



CE CA



EN AD





AB AD



a b

, ∵∠GEM+∠MEF=90°,∠FEN+∠MEF=90°,
EF EG

∴∠FEN=∠GEM,∴Rt△FEN∽Rt△GEM, ∴



EN EM



b a



27. 【答案】(1)连接 BD.∵DE⊥BC,EF=DE,∴BD=BF,CD=CF. ∵在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=DC,∴四边形 ABCD 是等腰梯形.∴BD=AC. ∴AC=BF,AB=CF.∴四边形 ABFC 是平行四边形.
A D

B

E F

C

(2)∵DE2 =BE·CE,EF=DE,∴EF2 =BE·CE.∴

EF BE

?

CE EF



又∵DE⊥BC,∴∠CEF=∠FEB=90° .∴△CEF∽△FEB.∴∠CFE=∠FBE. ∵∠FBE+∠BFE=90° ,∴∠CFE +∠BFE=90° .即∠BFC=90° . 由(1)知四边形 ABFC 是平行四边形,∴证四边形 ABFC 是矩形. 28. 【答案】 证明:∵四边形 ABCD 为矩形 ∴OA=OB=OC=OD AB=CD ∵AE=DF∴OE=OF

18

在 ΔBOE 与 ΔCOF 中,

? OB ? OC ? ? ? BOE ? ? COF ? OE ? OF ?

∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS) ∴BE=CF

29. 【解】(1) 假设当 m=10 时,存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合(如下图),

∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°,∴∠APD+∠BPC=90°, 又∠ADP+∠APD=90°,∴∠BPC=∠ADP, 又∠B=∠A=90°,∴△PBC∽△DAP,∴ ∴
10 ? AP 4 ? 4 AP AB DA BC AP m 4 4 AP 16 m PB DA ? BC AP



,∴ A P ? 2 或 8,∴存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合,出此时 AP 的长 2 或 8.

(2) 如下图, ∵PQ∥AC, ∴∠BPQ=∠BAC, ∵∠BPQ=∠ADP, ∴∠BAC=∠ADP, 又∠B=∠DAP=90°, ∴△ABC∽△DAP,∴
?

,即

?

,∴ AP ?



∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠B=∠B,∴△PBQ∽△ABC, ∴ BQ ? 4 ?
16 m
2

PB AB

?

BQ BC

m?

16

,即

m ? BQ , m 4



(3)由已知 PQ⊥PD,所以只有当 DP=PQ 时,△PQD 为等腰三角形(如图), ∴∠BPQ=∠ADP,又∠B=∠A=90°,∴△PBQ≌△DAP,∴PB=DA=4,AP=BQ= m ? 4 , ∴以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函数关系式为:S 四边形 PQCD= S 矩形 ABCD-S△DAP-S△
QBP=

DA ? AB ?

1 2

? DA ? AP ?

1 2

? PB ? BQ = 4m ?

1 2

? 4? ?m ? 4? ?

1 2

? 4 ? ? m ? 4 ? =16(4< m ≤8).

30.【答案】解:(1)∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠ADC=∠BCD=90°,AD=BC. ∵△CDE 是等边三角形,∴∠CDE=∠DCE=60°,DE=CE. ∵∠ADC=∠BCD=90°,∠CDE=∠DCE=60°,∴∠ADE=∠BCE=30°. ∵AD=BC,∠ADE=∠BCE,DE=CE,∴△ADE≌△BCE. (2)∵△ADE≌△BCE,∴AE=BE,∴∠BAE=∠ABE. ∵∠BAE+∠DAE=90°,∠ABE+∠AFB=90°,∠BAE=∠ABE, ∴∠DAE=∠AFB.∵AD=CD=DE,∴∠DAE=∠DEA.∵∠ADE=30°,∴∠DAE=75°,∴∠AFB=75°. 31. 【答案】解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形 ∴CD=CB, ∵AC 是正方形的对角线 ∴∠DCA=∠BCA 又 CE = CE ∴△BEC≌△DEC (2)∵∠DEB = 140?由△BEC≌△DEC 可得∠DEC =∠BEC=140??2=70?, ∴∠AEF =∠BEC=70?,又∵AC 是正方形的对角线, ∠DAB=90? ∴∠DAC =∠BAC=90??2=45?, 在△AEF 中,∠AFE=180?— 70?— 45?=65? 32. 【答案】解:(1)证明:∵DE∥OC ,CE∥OD,∴四边形 OCED 是平行四边形.
19

∵四边形 ABCD 是矩形 A O E F B 图 C D

∴ AO=OC=BO=OD ∴四边形 OCED 是菱形.

(2)∵∠ACB=30° ∴∠DCO = 90°— 30°= 60°又∵OD= OC, ∴△OCD 是等边三角形 8 过 D 作 DF⊥OC 于 F,则 CF= 在 Rt△DFC 中,tan 60°=
DF FC 1 2

OC,设 CF= x ,则 OC= 2 x ,AC=4 x ∴DF=FC? tan 60° ?
3x

由已知菱形 OCED 的面积为 8 3 得 OC? DF= 8 3 ,即 2 x ? 3 x ? 8 3 , 解得
x =2, ∴ AC=4?2=8

33. 【答案】(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形∴∠A=∠PBC=90°,AB=AD,∴∠ADP+∠APD =90°∵∠DPE=90° ∴∠APD+∠EPB=90°∴∠ADP=∠EPB. (2)过点 E 作 EG⊥AB 交 AB 的延长线于点 G,则∠EGP=∠A=90°··3 分 ·· ··
D C
A 1 3 E 2 D
E P H Q A M N B G C F

F

E
G B F C

A

P

B

G

(第 34 题)②解得图

又∵∠ADP=∠EPB,PD=PE,∴△PAD≌△EGP ∴EG=AP,AD=AB=PG,∴AP=EG=BG∴∠CBE=∠EBG=45°. (3)方法一:当
AP AB ? 1 2

第 35 题图

时,△PFE∽△BFP.

∵∠ADP=∠FPB,∠A=∠PBF,∴△ADP∽△BPF 设 AD=AB=a,则 AP=PB= ∴ PD
? AD
2

1 2

a

,∴BF=BP·
PB
2

AP AD

?

1 4

a

? AP

2

?

5 2

a

, PF

?

? BF

2

?

5 4

a



PB PD

?

BF PF

?

5 5

又∵∠DPF=∠PBF=90°,∴△ADP∽△BFP 方法二:假设△ADP∽△BFP,则 ∴
PD PF ? AP BF PB PD ? BF PF

.∵∠ADP=∠FPB,∠A=∠PBF,∴△ADP∽△BPF ∴当
AP AB ? 1 2

,∴

PB BF

?

AP BF

∴PB=AP,

时,△PFE∽△BFP.·· 分 ·10 ·

34.【答案】⑴EAF、△ EAF、GF.⑵DE+BF=EF,理由如下: 假设∠BAD 的度数为 m ,将△ ADE 绕点 A 顺时针旋转 m ? 得到△ ABG,此时 AB 与 AD 重合,由旋转可 得:AB=AD,BG=DE, ∠1= ∠2,∠ABG=∠D=90° ,∴∠ABG+∠ABF=90° +90° 0° =18 , 因此,点 G,B,F 在同一条直线上.∵∠EAF=
1 2 m?

∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF= m ? ?

1 2

m? ?

1 2

m?

20

∵∠1=∠2,

∴∠1+∠3=

1 2

m ? .即∠GAF=∠EAF 又

AG=AE,AF=AF∴△GAF≌△EAF.

∴GF=EF,又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF. ⑶当∠B 与∠D 互补时,可使得 DE+BF=EF. 35.情境观察 AD(或 A′D),90 问题探究结论:EP=FQ. 证明:∵△ABE 是等腰三角形,∴AB=AE,∠BAE=90°. ∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,∴∠ABG=∠EAP. ∵EP⊥AG,∴∠AGB=∠EPA=90°,∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP. 同理 AG=FQ. ∴EP=FQ. 拓展延伸结论: HE=HF. 理由:过点 E 作 EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为 P、Q. ∵四边形 ABME 是矩形,∴∠BAE=90°,∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°, AG AB ∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°,∴△ABG∽△EAP,∴ = . EP EA AG AC AB AC AG AG 同理△ACG∽△FAQ,∴ = . ∵AB= k AE,AC= k AF,∴ = = k,∴ = . ∴EP=FQ. FP FA EA FA EP FP ∵∠EHP=∠FHQ,∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF. 36.证明:∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°。又 E 为 AB 中点,∴DE=
1 2

AB,BE=

1 2

AB, ∴DE=BE

∴∠ DBE =∠EDB 又 AB∥CD, ∴∠ BDC =∠EDB∵BC=CD, ∴∠DBC =∠DBC ∴BC∥DE.∵EB∥CD∴四边形 BCDE 是平行四边形∵BC=CD∴四 边形 BCDE 是菱形。 37. 【答案】(1)∠B=72°,∠E=36°(2)5 个;(3)图略 38. 【答案】(1)证明:由题意知∠FDC =∠DCA = 90°.∴EF∥CA ∴∠AEF =∠EAC ∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ∴△AEC≌△EAF,∴EF = CA,∴四边形 ACEF 是平行四边形 . (2)当∠B=30°时,四边形 ACEF 是菱形 . 理由是:∵∠B=30°,∠ACB=90°,∴AC= 又∵AE=CE,∴CE=
1 2 1 2 AB ,∴AC=CE,∴四边形 ACEF 是菱形. AB ,∵DE 垂直平分 BC,∴ BE=CE

39. 【答案】(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴DC=DA,∠DCE=∠DAG=90°,又∵CE=AG,∴△DCE ≌△DAG,∴∠EDC=∠GDA,DE=DG.又∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE+∠GDA=90°,∴DE⊥DG. (2)如图

G A F B K M E C D

(3)四边形 CEFK 为平行四边形。 证明: CK,DE 相交于 M 点, 设 ∵四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形, ∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF ∥DG;∵BK=AG,∴KG=AB=CD,∴四边形 CKGD 为平行四边形。∴CK=DG=EF,CK∥DG.∴∠KME=∠GDE=∠ DEF=90°.∴∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形 CKEF 为平行四边形。

21

(4)

S 正方形 S 正方形

ABCD DEFG

=
n

n
2

2

?1

40. (1)证明:∵△ABC≌△DEF,∴AC=DF,∠ACB=∠DFE,∴AC∥DF, ∴四边形 ACFD 是平行四边形; (2)在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 AC=10cm,要使四边形 ACFD 为菱形,则 AC=CF, ∴可将 Rt△ABC 向左平移 10cm 或向右平移 10cm; (3) Rt△ABC 中,tan ? A C B ? 在
AB BC ? 6 8 3 ? 3 4 1 1 ? 3. ∴四边形 DHCF 的面积为: ? 8 ? 6 ? ? 4 ? 3 ? 1 8 cm2. 4 2 2

. ∴当 Rt△ABC 向左平移 4 cm 时, EC=BC-BE=8-4=4 (cm) ,

在 Rt△HEC 中,H E ? E C tan ? A C B ? 4 ?

41. 【答案】△ ABE 是等边三角形,理由如下: 因为△ PEA 是将△ PCD 绕 P 点顺时针旋转 60° 后得 到的,所以△ PEA≌△PCD,且 AE 与 DC 所夹的锐角 为 60° 所以 AE=DC 又因为四边形 ABCD 是矩形所以 DC=AB 且 DC∥AB 所以 AE=AB 且∠EAB=60° 所以△ ABE 是等边三角形.

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