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浙江宁波市2013届高三“十校”联考数学理试题(word版)


浙江宁波市 2013 年高三“十校”联考

数学(理)试题
说明:1.本试题卷分选择题和非选择题部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂.写在答题纸上.

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,

只有 一项是符合题目要求的。 1.已知
m 1? i ? 1 ? n i ,其中 m , n ? R, i 为虚数

单位,则 m ? n i ?

A. 1 ? 2 i B. 2 ? i C. 1 ? 2 i D. 2 ? i 2.如果执行右边的程序框图,那么输出的 S 等于 A.2550 B.2500 C.2450 D.2652 3.若有直线 m . n 和平面 ? . ? ,下列四个命题中,正确 的是 A.若 m // ? , n // ? ,则 m // n B.若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? 则 ? // ? C.若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? D.若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? ,则 m // ? 4.在 ? A B C 中, s in A ( 2 sin C ? sin A ) ? co s A ( 2 co s C ? co s A ) ”是“角 A、B、C 成等 “ 差数列”的 A.充分非必要条件 C.必要非充分条件

B.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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?y ? x ? ?x ? 2y ? 4 5.已知实数 x . y 满足 ? 则 r 的最小值为 y ? ?2 ? ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? r 2 ( r ? 0 ) ?

A.1
?

B. 2
a
2

C.
b
2

4 3

2
2

D.
a x
( x ? (0 , 1 2

5 3

2
b y

6.设 a . b ? R , a ? b , x , y ? (0, ? ? ) ,则

?

?
2 x

(a ? b ) x? y
? 9

,当且仅当

?

时,上式

x

y

取等号,利用以上结论,可以得到函数 f ( x ) ? A.169
2

1? 2x

)) 的最小值为

B.121
2

C.25

D.16

7.若方程 x ? 5 x ? m ? 0 与 x ? 1 0 x ? n ? 0 的四个根适当排列后,恰好组成一个首项 1 的等比数列,则 m : n 值为 A.
1 4 1 x ?1

B.

1 2

C.2

D.4

8. 函数 y ? A.2

的图像与函数 y ? 2 sin ? x ( ? 2 ? x ? 4 ) 的图像所有交点的横坐标之和等于 B.3 C.4 D.6

9 . 设 集 合 S ? ?1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7 , 8, 9 ? , 集 合 A ? ? a 1 , a 2, a 3? , A ? S , a 1 , a 2 , a 3 满 足
a 1 ? a 2 ? a 3且 a 3 ? a 2 ? 6 ,那么满足条件的集合 A 的个数为

A.84 B.83 C.78 D.76 10.在直角坐标平面中, ? A B C 的两个顶点 A.B 的坐标分别为 A(-1,0) ,B(1,0) ,
| 平面内两点 G. 同时满足下列条件:1) A ? G B ? G C ? O (2) M A |? | M B | ? | M C | M ( G

??? ?

??? ?

????

??

????

????

???? ?

(3) G M / / A B 则 ? A B C 的顶点 C 的轨迹方程为
x
2

???? ?

??? ?

A.

? y ?1
2

(y ? 0 )

B.

x

2

? y ?1
2

(y ? 0 )

3 y
2

3 y
2

C. x ?
2

?1

(y ? 0 )

D. x ?
2

?1

(y ? 0 )

3

3

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.一个组合体的三视图如图,则其体积为______________

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12.已知 F1 , F 2 是椭圆的两个焦点,满足 M F1 ? M F 2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是______. 13.若将函数 f ( x ) ? ( x ? 1) 表示为
5

???? ????? ?

f ( x ) ? a 0 ? a 1 ( x ? 1) ? a 2 ( x ? 1) ? a 3 ( x ? 1)
2 4 5

3

? a 4 ( x ? 1) ? a 5 ( x ? 1) 其中 a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5

为实数,则 a 3 ? a 4 =_________

14.设数列 { a n } 满足: a1 ? a 2 ? 1, a 3 ? 2 ,且对于任意正整数 n 都有 a n a n ? 1 a n ? 2 ? 1 ,又
a n a n ? 1 a n ? 2 a n ? 3 ? a n ? a n? 1 ? a n? 2 ? a n? 3,则 a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2 0 1 3 ?

15 . 定 义 一 种 运 算 “ ? ” 对 于 正 整 数 n , 满 足 以 下 运 算 性 质 : ① 1 ? 1 ? 2 ,
( n ? 1) ? 1 ? 3( n ? 1) ,则 n ? 1 的运算结果用含 n 的代数式表示为



16.已知整数 x , y , z 满足 x ? y ? z ,且 2

x?3

?2

y?3

?2

z?3

? 3 7 ,则整数组 ( x , y , z ) 为

17.下图展示了一个由区间(0,1)到实数集 R 的映射过程:区间(0,1)中的实数 m 对 应数轴上的点 M (点 A 对应实数 0, B 对应实数 1) 如图①; 点 , 将线段 AB 围成一个圆, 使两端点 A.B 恰好重合,如图②;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在 y 轴上,点 A 的坐标为(0,1) ,在图形变化过程中,图①中线段 AM 的长度对应于图③ 中的弧 ADM 的长度,如图③,图③中直线 AM 与 x 轴交于点 N( n , 0 ) ,则 m 的象就是
n ,记作 f ( m ) ? n .

D

D

给出下列命题:① f ( ) ? 1 ; ② f ( ) ? 0 ; ③ f ( x ) 是奇函数; ④ f ( x ) 在定义域
4 2

1

1

上单调递增,则所有真命题的序号是______________. (填出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 5 个小题,共 72 分。解答应写出文字说明.证明或演算过程。 18. (本小题满分 14 分) ? A B C 中内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,且 sin C ? 2 sin B

第3页

(1)若 A ? 6 0 ? ,求

a b


?
3 ) ? 2 cos B
2

(2)求函数 f ( B ) ? c o s( 2 B ?

的值域。

19. (本小题满分 14 分)甲.乙等五名工人被随机地分到 A , B , C 三个不同的岗位工作,每 个岗位至少有一名工人. (1)求甲.乙被同时安排在 A 岗位的概率; (2)设随机变量 ? 为这五名工人中参加 A 岗位的人数,求 ? 的分布列和数学期望.

20. (本小题满分 14 分)如图, ? A B C 中, ? B ? 9 0 ? , A B ? 段 A B、 A C 上 , 满 足
A ? DE ? B

2 , B C ? 1, D 、 E

两点分别在线

AD AB

?

AE AC

? ? , ? ? (0 ,1)

。 现 将 ?ABC 沿 DE 折 成 直 二 面 角


1 2

(1)求证:当 ? ? 大小能否等于
?
4

时, 面 A D C ? 面 A B E ; (2)当 ? ? (0,1) 时,二面角 E ? A C ? D 的

?若能,求出 ? 的值;若不能,请说明理由。

A

A

D

E D

E C B

B

C

第4页

21. (本小题满分 15 分)如图,椭圆 C 1 :
C2 : y ? x ? b
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

的离心率为

2 2

, x 轴被曲线

截得的线段长等于 C 1 的短轴长。 2 与 y 轴的交点为 M , 过坐标原点 O 的 C

直线 l 与 C 2 相交于点 A、 B ,直线 M A , M B 分别与 C 1 相交于点 D 、 E 。 (1)求 C 1 . C 2 的方程; (2)求证: M A ? M B 。 (3)记 ? M A B , ? M D E 的面积分别为 S 1、 S 2 , E 若
S1 S2 ? ?

y A D O B M x

,求 ? 的取值范围。

22. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? a x ? 2, a ? R .
3 2 2

(1)当 a ? 0 时,试求函数 y ? f ( x ) 的单调递减区间; (2)若 a ? 0 ,且曲线 y ? f ( x ) 在点 A , B ( A , B 不重合)处切线的交点位于直线 x ? 2 上,求证: A , B 两点的横坐标之和小于 4; (3)当 a ? 0 时,如果对于任意 x1 . x 2 . x 3 ? [0 ,1] , ( x1 , x 2 , x 3 可 以 相 等 ),总存在 以 f ( x1 ) . f ( x 2 ) . f ( x 3 ) 为三边长的三角形,试求实数 a 的取值范围。

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