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河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试文数


河北省唐山市 2013 届高三第二次模拟考试

数学(文)试题
说明: 一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷。第Ⅰ卷为选择题;第Ⅱ卷为非选择题,分为必考和选考两部分。 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题。 三、做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑。如需改动,用橡皮将 选涂答案擦干净后,再选涂其他

答案。 四、考试结束后,本试卷与原答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合 题目要求。 1.复数 z 满足 (1 ? 2i ) z ? 4 ? 3i ,则复数 Z= A. ?2 ? i 2.双曲线 B. ?2 ? i C. 2 ? i D. 2 ? i

x2 y2 ? ? 1 的顶点和焦点到其渐近线距离的比是 5 4
B.

A.

5 3

5 3

C.

3 5 5

D.

3 5

3. a , b 是两个向量, | a |? 1 , | b |? 2 ,且 (a ? b) ? a ,则 a 与 b 的夹角为 A. 30 ? B. 120? C. 60 ? D. 150?

4.在等差数列 {an } 中, 2a4 ? a6 ? 2 ,则数列 {an } 的前 9 项和等于 A.3 C.6 B.9 D.12

5.执行如图所示的程序框图,则输出的 c 的值是 A.8 C.13 B.21 D.34

6.已知 l , m 是直线, ? 是平面,且 m ? a ,

则“ l ? m ”是“ l ? ? ”的 A.必要不充条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

? y ? 0, ? 7.已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 5 ? 0, 则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值是 ? x ? y ? 0, ?
A.-20 B.-10 C.-15 D.0

8.已知函数 y ? kx ? a 的图象如右图所示,则函数 y ? a x ?k 的可能图象是

2 9.若命题“ ?x0 ? R,使得 x0 ? mx0 ? 2m ? 4 ? 0 ”为假命题,则实数 m 的取值范围是

A. (??, ?2)

B. (2, ??)

C. ? ??, 2?

D. ? 2, ???

10.已知函数 f ( x ) ? sin(2 x ? ? ) 在 x ? 依次为 A. C.

?
12

时有极大值,且 f ( x ? ? ) 为奇函数,则 ? , ? 的一组可能值

?
6

,?

?
12

B. D.

? ?
? ? , 3 6

? ? ,? 3 6

, 6 12

11.函数 f ( x) ? 2 sin ? x ? 3 x ? x 2 所有零点的和等于 A.16 C.12 B.14 D.10

12.一个由八个面围成的几何体的三视图如图所示, 它的表面积为 A.12 C. 4 3 B.8 D. 4 2

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上。 13.如图是甲、乙两名篮球运动员 2012 年赛季每场比 赛得分的茎叶图,则甲、乙两人比赛得分的中位数之 和是______。

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,若△ PF1 F2 为直角三角形,则△ 14. )设 F1 , F2 分别是椭圆 16 12

PF1 F2 的面积等于________。
15.四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 4 2 的正方形,侧棱长都等于 4 5 ,则经过该棱锥五个顶点的 球面面积为__________。 16. 在数列 {an } 中, 则 {an } 的前 89 项的和等于________。 a1 ? 1, a2 ? 2 , an?2 等于 an ? an?1 除以 3 的余数,

三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)~(21)题为必考题, (22) , (23) , (24)题为选考题,解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分 12 分) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,△ABC 的面积 S ? (Ⅰ)求 C; (Ⅱ)若 a+b=2,且 c= 3 ,求 A。

3 2 (c ? a 2 ? b 2 ) 。 4

18. (本小题满分 12 分) 某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究, 对该校高二年级 800 名学生上学 期期末语文和外语成绩,按优秀和不优秀分类得结果:语文和外语都优秀的有 60 人,语文成绩优秀 但外语不优秀的有 140 人,外语成绩优秀但语文不优秀的有 100 人。 (Ⅰ)能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系?

(Ⅱ)4 名成员随机分成两组,每组 2 人,一组负责收集成绩,另一组负责数据处理。求学生甲分到 负责收集成绩组,学生乙分到负责数据处理组的概率。 附: K 2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

p( K 2 ? k0 )
k0

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

19. (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC ? CC1 ? 2 , ?ABC ? 90? ,D 是 AC 的中点。 (Ⅰ)求证: AB1 / / 平面 BC1 D ; (Ⅱ)求几何体 BDA1 B1C1 的体积。

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ln ?

m ,曲线 y ? f ( x ) 在 (2, f (2)) 处的切线过点 (0,1n2) 。 x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? ? ,5? 时,求 f ( x ) 的取值范围。 2

?1 ?

? ?

21. (本小题满分 12 分) 已知动圆 C 经过点 (0, 1) ,且在 x 轴上截得弦长为 2,记该圆圆心的轨迹为 E。 (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)过点 M (0, ) 的直线 m 交曲线 E 于 A,B 两点,过 A,B 两点分别作曲线 E 的切线,两切线交于 点 C,当△ABC 的面积为 2 2 时,求直线 m 的方程。

1 2

请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,AC 为⊙ O 的直径,D 为 BC 的中点,E 为 BC 的中点。 (Ⅰ)求证: DE / / AB ; (Ⅱ)求证: AC · BC ? 2 AD · CD 。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l : ?

? x ? 2 cos ? ? x ? m ? t cos ? ? (t 为参数)经过椭圆 C : ? ( ? 为参数)的左焦点 F。 y ? 3 sin ? ? ? y ? t sin ? ?

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,求 | FA | · | FB | 的最大值和最小值。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 f ( x) ?| ax ? 4 | ? | ax ? 8 | , a ?R (Ⅰ)当 a ? 2 时,解不等式 f ( x) ? 2 ; (Ⅱ)若 f ( x) ? k 恒成立,求 k 的取值范围。

文数参考答案
一、选择题 A 卷:BDCCB B 卷:DABBC BABAD ACBDD CA BC

二、填空题 (13)54 (14)6 (15)100? (16)100

三、解答题 (17)解: (Ⅰ)由余弦定理知 c -a -b =-2abcos C, 又△ABC 的面积 S= 所以 1 3 absin C= (c2-a2-b2), 2 4
2 2 2

1 3 absin C= (-2abcos C),得 tan C=- 3. 2 4 ?6 分

2? 因为 0<C<π ,所以 C= . 3 (Ⅱ)由正弦定理可知 = = =2, sin A sin B sin C 所以有 a+b=2sin A+2sin B=2,sin A+sin( 展开整理得,sin( ? -A)=1, 3

a

b

c

2? ? ? ? ? +A)=1,且 < +A< ,所以 A= . 3 3 3 3 6

?12 分

(18)解: (Ⅰ)由题意可得列联表:

语文优秀 外语优秀 外语不优秀 总计
2

语文不优秀 总计 100 500 600 160 640 800

60 140 200

800(60×500-100×140) 2 因为 K = =16.667>10.828. 160×640×200×600 所以能在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系. ?6 分 (Ⅱ)设其他学生为丙和丁,4 人分组的所有情况如下表 小组 收集成绩 数据处理 1 甲乙 丙丁 2 甲丙 乙丁 3 甲丁 乙丙 4 乙丙 甲丁 5 乙丁 甲丙 6 丙丁 甲乙

分组的情况总共有 6 种,学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理占 2 种,所以学生甲负责收集 成绩且学生乙负责数据处理的概率是 P= 2 1 = . 6 3 ?12 分

(19)解: (Ⅰ)连接 B1C 交 BC1 于点 P,连接 PD. 由于 BB1C1C 是平行四边形,所以 P 为为 B1C 的中点 因为 D 为 AC 的中点,所以直线 PD∥B1A, 又 PD?平面 B1CD,B1A?平面 BC1D, 所以 AB1∥平面 BC1D.
B1 A1 C1 P

?6 分

B A D

C

(Ⅱ)直三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V1=

1 ×2×2×2=4. 2

三棱锥 C1-BDC 的体积 V2 与三棱锥 A1-BDA 的体积 V3 相等,

V2=V3=

1 1 1 2 × × ×2×2×2= . 3 2 2 3 8 . 3 ?12 分

所以几何体 BDA1B1C1 的体积 V=V1-V2-V3=

(20)解: (Ⅰ)f ?(x)= 1

x



m x-m = 2 . x2 x

2-m m 则 f ?(2)= ,f (2)=ln 2+ . 4 2 2-m m 则曲线 y=f (x)在(2,f (2))处的切线为 y= (x-2)+ln 2+ , 4 2 2-m 即 y= x+m-1+ln 2. 4 依题意,m-1+ln 2=ln 2,所以 m=1. 故 f (x)=ln x+ 1 ?3 分

x

. 1 ,f ?(x)=

?5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f (x)=ln x+ 当 x∈[

x

x-1 . x2

1 ,1]时,f ?(x)≤0,f (x)单调递减,此时,f (x)∈[1,2-ln 2]; 2 1 ]. 5 ?10 分

当 x∈[1,5]时,f ?(x)≥0,f (x)单调递增,此时,f (x)∈[1,ln 5+ 因为(ln 5+ 所以 ln 5+ 1 9 9 1 2 )-(2-ln 2)=ln 10- >ln e - = , 5 5 5 5 1 >2-ln 2. 5 1 ]. 5

因此,f (x)的取值范围是[1,ln 5+

?12 分

(21)解: (Ⅰ)设圆 C 的圆心坐标为(x,y),则其半径 r= x +(y-1) . 依题意,r -y =1,即 x +(y-1) -y =1, 整理得曲线 E 的方程为 x =2y. (Ⅱ)设 A (x1,y1),B (x2,y2),则 y1= 设直线 m 方程为 y=kx+ 1 2 1 x1,y2= x2 2. 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

?4 分

1 ,代入曲线 E 方程,得 2 ?6 分

x2-2kx-1=0,则 x1+x2=2k.
对 y= 1 2 x 求导,得 y?=x. 2 1 2 1 x1,即 y=x1x- x2 1. 2 2

于是过点 A 的切线为 y=x1(x-x1)+



由①同理得过点 B 的切线为 y=x2x-

1 2 x2. 2



设 C (x0,y0),由①、②及直线 m 方程得

x1+x2 1 2 1 x0= =k,y0=x1x0- x1=- .
2 2 2

?8 分

M 为抛物线的焦点,y=-
|AB|=y1+

1 为抛物线的准线,由抛物线的定义,得 2

1 1 2 +y2+ =k(x1+x2)+2=2(k +1). 2 2

1 |kx0-y0+ 2 | 2 点 C 到直线 m 的距离 d= = k +1. k2+1 所以△ABC 的面积 S=
2 2

?10 分

1 2 2 |AB|·d=(k +1) k +1. 2

由已知(k +1) k +1=2 2,有且仅有 k=±1. 故直线 m 的方程为 y=±x+ 1 . 2 ?12 分

(22)证明: ︵ (Ⅰ)连接 BD,因为 D 为BC的中点,所以 BD=DC. 因为 E 为 BC 的中点,所以 DE⊥BC. 因为 AC 为圆的直径,所以∠ABC=90?, 所以 AB∥DE.
B D E A O C

?5 分

︵ (Ⅱ)因为 D 为BC的中点,所以∠BAD=∠DAC, 又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB. 又因为 AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD. 所以 =

AC AD ,AD·CD=AC·CE,2AD·CD=AC·2CE, CD CE
?10 分

因此 2AD·CD=AC·BC.

(23)解: (Ⅰ)将椭圆 C 的参数方程化为普通方程,得 + =1. 4 3

x2 y2

a=2,b= 3,c=1,则点 F 坐标为(-1,0). l 是经过点(m,0)的直线,故 m=-1.
(Ⅱ)将 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程,并整理,得 (3cos α +4sin α )t -6tcos α -9=0. 设点 A,B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1,t2,则 9 9 |FA|·|FB|=|t1t2|= = . 2 2 2 3cos α +4sin α 3+sin α 当 sin α =0 时,|FA|·|FB|取最大值 3; 当 sin α =±1 时,|FA|·|FB|取最小值 9 . 4 ?10 分
2 2 2

?4 分

(24)解: (Ⅰ)当 a=2 时,

x<-4, ? ?12, f (x)=2(|x-2|-|x+4|)=?-4x-4,-4≤x≤2, ?-12, x>2. ?
当 x<-4 时,不等式不成立; 当-4≤x≤2 时,由-4x-4<2,得- 当 x>2 时,不等式必成立. 综上,不等式 f (x)<2 的解集为{x|x>- 3 }. 2 ?6 分 3 <x≤2; 2

(Ⅱ)因为 f (x)=|ax-4|-|ax+8|≤|(ax-4)-(ax+8)|=12, 当且仅当 ax≤-8 时取等号. 所以 f (x)的最大值为 12. 故 k 的取值范围是[12,+∞). ?10 分


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