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数学选修2—3测试


高 2017 级高二下第七周数学测试
班级
?3 ? i 的共轭复数是( ) 2?i (A) ? 1 ? i (B) 2 ? i (C) ? 1 ? i
1.复数 z ? A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? ,则 l // n C.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ?

姓名

.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

(D) 2 ? i 2.若 l、m、n 是互不相同的空间直线,α、β 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( B.若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ? D.若 l ? n, m ? n ,则 l // m )



3.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,结论还正确的是( (A) 如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则它与另一条相交. (B) 如果两条直线同时与第三条直线相交,则这两条直线相交. (C) 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则它与另一条垂直. (D) 如果两条直线同时与第三条直线垂直,则这两条直线平行. f ?3 ? h ? ? f ?3? 4. 设f ??3? ? 4, 则 lim ) 为( h ?0 2h

A.1 B.-1 C.-2 D.-3 5.用数学归纳法证明对 n 为正偶数时某命题成立,若已假设 n=k (k≥2 为偶数)时命题为真,则还需要用归 纳假设再证 ( ) A.n=k+1 时等式成立 B.n=k+2 时等式成立

C.n=2k+2 时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 6.设 f ?(x)是函数 f (x)的导 函数,将 y=f (x)和 y=f ?(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是 ( ) y y y y
[来源:学|科|网]

O A.
2

x

O B.

x

O C. )

x

O D.

x

7.函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 的递增区间是 ( A. (0, 1 ) 2 B. (? , 0)及( , ??)

1 2

1 2

C. ( , ?? )

1 2

D. ( ??, ? )及(0, ) )

1 2

1 2

8.已知 f ( x ? 1) ? A. f ( x ) ?

2 f ( x) ,猜想 f (x)的表达式为( , f (1) ? 1 (x ? N *) f ( x) ? 2
B. f ( x) ?

4 2 ?2
x

2 2x ?1

C. f ( x ) ?

1 x ?1


D. f ( x ) ?

2 x ?1

9.曲线 y ? cos x(0 ? x ? A.4 B. 3

3? ) 与坐标轴围成的面积是( 2
C.

5 2
第1页

D.2

10.已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 .双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的渐近线与椭圆 C 有四个交 2 a b 2


点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为( (A)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 8 2 12 6 16 4 20 5


11.函数 f ( x) ? 2 x ? x 3 ? 2 在区间(0,1)内的零点个数是(

(A)0 ( B) 1 (C) 2 (D) 3 12.已知 f (x)是定义在(-∞,+∞)上的可导函数,且 f (x)<f ?(x)对 x∈R 恒成立,则( ) 2014 2014 A、f (2)>e·f (1),f (2014)>e ·f (0) B、f (2)<e·f (1),f (2014)>e ·f (0) 2014 2014 C、f (2)>e·f (1),f (2014)<e ·f (0) D、f (2)<e·f (1),f (2014)<e ·f (0) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知复数 z ? (3 ? i)2 ( i 为虚数单位) ,则 | z |?
2


3

14.已知曲线 y ? x ? 1 在 x ? x0 点处的切线与曲线 y ? 1 ? x 在 x ? x0 处的切线互相平行,则 x0 的值为 ____________. 15.设 a∈R,若函数 y ? e x ? ax ,x∈R 有大于零的极值点,则 a 的取值范围是 16.若对任意 x∈[-2,1],ax3-x2+4x+3≥0 恒成立,则 a 的取值范围是 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? 6 .
4 2

. .

(Ⅰ)讨论 f (x)的单调性; (Ⅱ)设点 P 在曲线 y=f (x)上,若该曲线在点 P 处的切线 l 通过坐标原点,求 l 的方程.

18. 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, 底面四边形 ABCD 为直角梯形, AD∥BC, AD⊥AB, PA=AD=2, AB=BC=1,Q 为 PD 中点. (Ⅰ)求证:PD⊥BQ; (Ⅱ)求直线 BQ 与平面 PCD 所成角的正弦值.

第2页

19.设定函数 f ( x) ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) ,且方程 f ?(x)-9x=0 的两个根分别为 1,4. 3

(Ⅰ)当 a=3 且曲线 y=f (x)过原点时,求 f (x)的解析式; (Ⅱ)若 f (x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围.

2 20.已知函数 f ( x) ? ax ? (2a ?1) x ? ln x ( a ? R 且 a ? 0 )

(Ⅰ)当 a=2 时,判断函数 f (x)在区间(

1 , e )上的零点个数,并说明理由; e

(Ⅱ)若函数 f (x)在 (1 , e) 上是单调函数,求 a 的取值范围.

第3页

21.设椭圆

x2 y 2 5 2 + 2 ? 1(a ? b>0) ,点 P( a, a) 在椭圆上. 2 a b 5 2

(1)求椭圆的离心率; (2)设 A 为椭圆的左顶点,O 为坐标原点,若点 Q 在椭圆上且满足 AQ ? AO ,求直线 OQ 的斜率的值.

22.设函数 f ( x) ? axn (1 ? x) ? b( x ? 0) ,n 为正整数,a、b 为常数,曲线 y=f (x)在(1, f (1))处的切线方程 为 x ? y ? 1. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f (x)的最大值; (3)证明: f ( x ) ?

1 . ne

第4页

参考答案 一.选择题: AB C C B D C D B D BA 12.提示:由 f (x)<f ?(x)得:f ?(x)-f (x)>0,

f ' ( x )e x ? f ( x )e x f ( x) ? 0 ? [ x ]' ? 0 2x e e

f ( x) 在(-∞,+∞)上为增函数 ex f (2) f (1) ? f (2) ? e 2 ? f (1) ,同理:f (2014)>e2014·f (0) ∴ 2 ? e e
故 二.填空题: 13.10,14. x0 ? 0 或 x0 ? ?

2 , 15. a ? ?1 ,16.-6≤a≤-3. 3

16.提示:对 x 的取值分情况讨论:ax3-x2+4x+3≥0 (1)当 x=0 时,a∈R (2)当 x∈[-2,0)时, a ?

x 2 ? 4x ? 3 恒成立,解得 a≤-3 x3

x2 ? 4x ? 3 (3)当 x∈(0,1]时, a ? 恒成立,解得 a≥-6 x3
综上,-6≤a≤-3 三.解答题:
3 17.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 4 x ? 6 x ? 4 x ? x ?

? ? ?

6 ?? 6? x ? ?? ?, 2 ?? 2 ? ?? ?

当 x ? ? ??, ?

? ?

? ? ? ? 6 ? 6? 6 6? 0 , , 0 , + ? 时,f ?(x)<0;当 x ? ? ? 和 x ?? ? ? ? ?和 x ?? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 时,f ?(x)>0. 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 ? 6? ? 6? 6 ,0 ? , ? ?? 和 ? 0, ? 是减函数,在区间 ? ? 和? ? ? ? ? ? ? ? ? 是增函数. 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?

? 因此,f (x)在区间 ? ??,

(Ⅱ)设点 P 的坐标为(x0, f (x0)),由 l 过原点知,l 的方程为 因此

y ? f ?( x0 ) x.

4 2 3 即 x0 ? 3x0 ? 6 ? x 0 (4x0 ? 6x0 ) ? 0 , f ( x0 ) ? x0 f ?( x0 ),

整理得 ( x0

2

2 ? 1)( x0 ? 2) ? 0. 解得 x0 ? ? 2 或 x0 ? 2.

因此切线 l 的方程为

y ? ?2 2x 或 y ? 2 2 x.

18.解: (Ⅰ)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥AB,PA⊥AD, 又 AD⊥AB,如图,建立以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴的空间直角坐标系. 由已知,PA=AD=2,AB=BC=1,AD∥BC. 所以 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(1,1,0) , D(0,2,0) ,P(0,0,2) 又 Q 为 PD 中点,

第5页

所以 Q(0,1,1) .所以 =(﹣1,1,1) ,所以 所以 PD⊥BQ.

=(0,2,﹣2) , ? =0,

(Ⅱ)解:设平面 PCD 的法向量为 =(a,b,c) , 则∵ ∴ =(0,2,﹣2) , =(﹣1,1,0) ,

, 令 c=1,得 a=b=1,∴ =(1,1,1) .



=(﹣1,1,1) , = .

∴直线 BQ 与平面 PCD 所成角的正弦值为 19.解:由 f ( x) ?
因为

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d 得 f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c . 3

f ?( x) ? 9x ? ax2 ? 2bx ? c ? 9x ? 0 的两个根分别为 1,4,

所以 ?

?a ? 2b ? c ? 9 ? 0, ?16a ? 8b ? c ? 36 ? 0.

(*)

(Ⅰ)当 a ? 3 时,由(*)式得 ? 解得 b ? ?3,c ? 12 .

?2b ? c ? 6 ? 0, ?8b ? c ? 12 ? 0.

又因为曲线 y=f (x)过原点,所以 d ? 0 . 故

f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 12 x .
a 3 x ? bx 2 ? cx ? d 在 ( - ∞ , + ∞ ) 内 无 极 值 点 ” 等 价 于 3

( Ⅱ ) 由 于 a ? 0 , 所 以 “ f ( x) ? “

. f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c ? 0 在(-∞,+∞)内恒成立”

由(*)式得 2b ? 9 ? 5a,c ? 4a . 又 ? ? (2b)
2

? 4ac ? 9(a ?1)(a ? 9) .
得 a∈[1,9],

解?

?a ? 0, ?? ? 9(a ? 1)(a ? 9) ≤ 0.

即 a 的取值范围[1,9].

20.解: (Ⅰ)当 a=2 时,f (x)=2x -3x-lnx,

2

f ?( x) ? 4 x ? 3 ? 1 e

1 (4 x ? 1)( x ? 1) ? x x

∴f (x)在 ( ,1) 上递减,在 (1 , e) 上递增

第6页

∵f (1)=-1<0, f ( ) ? ∴函数 f (x)在(

1 e

(e ? 1)( e ? 2) ? 0, f (e) ? 2e 2 ? 3e ? 1 ? 0 e2

1 , e )上有两个零点 e ( 2ax ? 1)( x ? 1) (II)∵ a ? 0 f ?( x ) ? x
∴ f ?( x ) ? 0 的根是 1 , ? (1)当 ?

1 2a

1 ? 1 时,f ?(x)在 (1, e ) 上恒大于 0,或者恒小于 0,∴函数 f (x)在 (1, e ) 上单调, 2a

故 a ? 0 或a ? ? (2)当 ?

1 2

1 1 1 ? 1 时,若函数 f (x)在 (1, e) 上单调,则 ? ? e ,故 ? ?a?0 2a 2a 2e

综上 a ? ?

1 1 或? ? a ? 0或a ? 0 . 2 2e

21.解: (1)因为点 P(

a2 a2 b2 5 5 2 a, a) 在椭圆上,故 2 ? 2 =1 ,可得 2 = . 5a 2b a 8 5 2

a 2 ? b2 3 6 = ,所以椭圆的离心率 e= 于是 e = . 2 a 8 4
2

(2)设直线 OQ 的斜率为 k,则其方程为 y =kx ,设点 Q 的坐标为(x0, y0),

? y0 =kx0 , a 2b 2 ? 2 2 2 由条件得 ? x ,消去 y0 并整理得 x0 = 2 2 2 .(*) y0 0 k a +b ? 2 + 2 =1. ?a b

2 AQ ? AO , A( - a, 0) 及 y0 =kx0 ,得 (x0 +a)2 +k 2x02=a 2,整理得 (1+k 2 )x0 +2ax0 =0 ,而 x0 ? 0 ,故

x0 =

2 ??a 2 2 2 a (1+ k ) =4 k ? +4 . ,代入( * )式,整理得 1+k 2 b2

由(1)知

a2 8 32 = ,故 (1+k 2 ) 2 = k 2 +4 ,即 5k 4 ? 22k 2 ?15=0 ,可得 k 2 =5 . 2 5 b 5

所以直线 OQ 的斜率 k

?? 5.

22.解: (1)因为 f (1) ? b ,由点 (1, b) 在 x ? y ? 1 上,可得 1 ? b ? 1,即b ? 0 .
因为

f ?( x) ? anxn?1 ? a(n ? 1) xn ,所以 f ?(1) ? ?a .

又因为切线 x ? y ? 1 的斜率为-1,所以 ? a ? ?1 ,即 a ? 1 . 故 a ? 1, b ? 0 .

第7页

(2)由(1)知,

? n ? ? x? . f ( x) ? xn (1 ? x) ? xn ? xn?1 , f ?( x) ? (n ? 1) x n?1 ? ? n ?1 ?
n n ,即 f ?(x)在(0,+∞)上有唯一零点 x0 ? . n ?1 n ?1

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

在 ? 0,

? ?

n ? ? n ? , ?? ? 上,f ?(x)<0,f (x)单调递减. ? 上,f ?(x)>0,故 f (x)单调递增;而在 ? n ?1 ? ? n ?1 ?
n

? n ? ? n ? 故 f (x)在(0,+∞)上的最大值为 f ? ??? ? ? n ?1 ? ? n ?1 ?
(3)令 ? (t ) ? ln t ? 1 ? (t ? 0), 则 ? ?(t ) ? 在(0,1)上, ? ?(t ) ? 0 ,故 ? (t ) 单调递减; 而在(1,+∞)上, ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 单调递增.

n ? nn ? . 1 ? ? ? ? n ?1 ? n ? 1 ? (n ? 1)

1 t

1 1 t ?1 ? ? 2 (t ? 0) . t t2 t

故 ? (t ) 在(0,+∞)上的最小值为 ? (1) ? 0 . 所以 ? (t ) ? 0(t ? 1) , 即 ln t ? 1 ? (t ? 1) .

1 t

令 t ? 1?

1 n ?1 1 ? n ?1 ? ,得 ln ? ,即ln ? ? n n n ?1 ? n ?
n ?1

n ?1

? ln e ,

所以 ?

? n ?1 ? ? ? n ?

? e,即
f ( x) ?

nn 1 ? , n+1 (n+1) ne

由(2)知,

nn 1 ? ,故所证不等式成立 n+1 (n+1) ne

第8页


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