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第一章集合2


代数体系是带有代数运算的集合,其中的运算可以有一 种,也可以有几种,运算都具有一定的规律。集合中不 同的运算、不同的规律,就描述了不同的代数结构。所 以,从不同的代数运算到不同的代数结构,就反映了不 同的代数体系。 我们将简略地介绍代数运算、代数结构、代数体系,体 会“ 抽象代数” 研究客观事物的思想方法。 z1 9 世纪初,在天才的法国数学家Galois (伽罗瓦, 1811-1832 ) 解决‘五次方程能面用根式解“的推理中, 就 创造了”群“ 、”域“ 这样的代数体系,但当时并未被其他 数学家理解。 z在将近二百年后的今天,具布各神各样代数结构的代 数体系,已被广泛地应用到数学的许多分支。 z以讨论和研究抽象的代数结构相抽象的代数体品为内 容的" 抽象代数" 也形成了一门独立的学科。

伽罗瓦(?variste Galois),19 世纪最伟大的法国数学家之一,唯一被我称为“天才数学家”的人。他 16 岁时 就参加了巴黎综合理工学院的入学考试,结果面试时因为解题步骤跳跃太大,搞得考官们不知所云,最后没 能通过考试。 在数学历史上,伽罗瓦毫无疑问是最富传奇色彩与浪漫色彩的数学家,没有“之一”。18 岁时,伽罗瓦漂 亮地解决了当时数学界的顶级难题:为什么五次及五次以上的多项式方程没有一般的解。他把这一研究成果 提交给了法国科学院,由大数学家柯西 (Augustin-Louis Cauchy)负责审稿;然而,柯西建议他回去仔细润 色一下(此前一直认为柯西把论文弄丢了或者私藏起来,最近的法国科学院档案研究才让柯西平反昭雪)。 后来伽罗瓦又把论文交给了科学院秘书傅立叶(Joseph Fourier),但没过几天傅立叶就去世了,于是论文被 搞丢了。1831年伽罗瓦第三次投稿,当时的审稿人是泊松,他认为伽罗瓦的论文很难理解,于是拒 绝发表。 因为一些极端的政治行动,伽罗瓦被捕入狱。即使在监狱里,他也不断地发展自己的数学理论。他在狱中结 识了一名医生的女儿,并很快坠入爱河;但好 景不长,两人的感情很快破裂。出狱后的第二个月,伽罗瓦决 定替自己心爱的女孩与女孩的一个政敌进行决斗,不幸中枪,第二天便在医院里死亡。伽罗瓦死前的最 后一 句话是对他的哥哥艾尔弗雷德(Alfred)说的:“不要哭,我需要足够的勇气在 20 岁死去。” 仿佛是预感到了自己的死亡,在决斗的前一夜,伽罗瓦通宵达旦奋笔疾书写下了自己所有的数学思想, 并把它们和三篇论文手稿一同交给 了他的好友谢瓦利埃(Chevalier)。在信的末尾,伽罗瓦留下遗嘱,希望 谢瓦利埃能把论文手稿交给当时德国的两位大数学家雅可比(Carl Gustav Jacob Jacobi)和高斯(Carl Friedrich Gauss),让他们就这些数学定理公开发表意见,以便让更多的人意识到这个数学理论的重要性。 谢瓦利埃遵照伽罗瓦的遗愿,将论文手稿寄给了雅可比和高斯,不过都没有收到回音。直到 1843 年,数 学家刘维尔(Joseph Liouville)才肯定了伽罗瓦的研究成果,并把它们发表在了他自己主办的《纯数学与应 用数学杂志》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées)上。人们把伽罗瓦的整套数学思想总结为了“伽 罗瓦理论”。伽罗瓦用群论的方法对代数方程的解的结构做出了独到的分析,多项式方程的 根、尺规作图的 不可能性等一系列代数方程求解问题都可以用伽罗瓦理论得到一个简洁而完美的解答。伽罗瓦理论对今后代 数学的发展起到了决定性的作用

线性空间

群定义

环定义

体:乘法满足幺元律,非零元为乘法可逆元,至少包 含两个元素的环。 {R:+, . }是体 域:既是可交换环又是体的环。 {R:+, . }是域, {Z:+, . }不是域

左模定义


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