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2011学年第二学期上海市徐汇区高三学业水平考试数学学科试卷


2011 学 年 第 二 学 期 徐 汇 区 高 三 学 业 水 平 考 试 数学学科试卷
(考试时间:90 分钟,满分 120 分) 2012.2 一.填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,考生应在答题纸 相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得 零分。
1、 设集合 A ? ? x | 0 ? x ? 2? , B ? x | x 2 ? 3 ? 0 ,则 A I B ? 2、 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ,则 f ( x ) 的反函数 f ?1 ( x) ? 3、 在 ( x ? 1)5 的二项展开式中, x 的系数是
3

?

?

4、 已知双曲线 5、 已知

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的一条渐近线方程为 3x ? y ? 0 ,则 a ? a2 9

a?i ( i 是虚数单位)是实数,则实数 a 的值为 1 ? 2i

6、已知 i, j 为平面内所有向量的一组基,且 a ? i ? j , b ? j , c ? 4i ? j .若 用 a, b 表示 c ,则 c ?

r r

r

r r

r

r

r

r r

r r

r

r

.

7、若无穷等比数列中的任何一项都等于该项后面所有项的和,则此数列的公比 是 8、已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 ?0, ?? ? 上是增函数,若

f ( a) ? f (4),则实数 a 的取值范围是
9、袋内装有大小相同的 4 个白球和 3 个黑球,从中任意摸出 2 个球,其中至少 有一个黑球的概率是 (结果用最简分数表示) 10、线性方程组 ?

?a1 x ? b1 y ? c1 ?m 0 6? 的增广矩阵为 ? ? ,且该方程组的解为 ?0 3 n? ?a2 x ? b2 y ? c2

? x ? ?3 ,则 mn = ? ?y ? 4
1/9

11、若圆锥的侧面展开图为一个半径为 2 的半圆,则该圆锥的体积是

?2 0 1 1 ? ? ? 12、记矩阵 A ? ? 0 1 0 6 ? 中的第 i 行第 j 列上的元素为 ai , j .现对矩阵 A 中 ?1 3 0 0 ? ? ?
的元素按如下算法所示的步骤作变动(直到不能变动为止) :若 ai , j ? ai ?1, j ,则

p ? ai , j , ai , j ? ai ?1, j , ai ?1, j ? p ;若 ai , j ? ai ?1, j ,则不变动,这样得到矩
阵 B .再对矩阵 B 中的元素按如下算法所示的步骤作变动(直到不能变动为止) : 若 ai , j ? ai , j ?1 ,则 q ? ai , j , ai , j ? ai , j ?1 , ai , j ?1 ? q ;若 ai , j ? ai, 变动,这样得到矩阵 C .则 C ? .
j?1 ,则不

二.选择题(本大题满分 36 分)本大题共有 9 题,每题有且只有一个 正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑, 选对得 4 分,否则一律得零分。 u r 13、 经过点 P( x0 , y0 ) , 且方向向量为 d ? (u, v) 的直线方程是 ( )
(A)

x ? x0 y ? y0 ? u v v ( x ? x0 ) u

(B)

x ? x0 u ? y ? y0 v

(C) y ? y0 ?

(D) u( y ? y0 ) ? v( x ? x0 ) ( )

14、已知 x ? y ? 0 ,下列各式正确的是

x? y ? x ? xy ? y 2 x? y ? xy ? y (C) x ? 2
(A)

x? y ? y ? xy 2 x? y ? xy (D) x ? y ? 2
(B) x ? ( (D) ? )

15、若 4sin x ? 3cos x ? 5cos( x ? ? ) ,则 tan ? 的值为 (A)

4 3

(B) ?

16、 已知 a ? (3,3) , ? (2,0) , 则向量 a 在 b 的方向上的投影为 b (A) ? 3, 0 ? (B) ?1, 1? (C) 3

r

r

4 3

(C)

r

r

3 4

3 4
( (D) 2 )

2/9

17 、 过 点 (3, ?2) 且 与 椭 圆 4x2 ? 9 y 2 ? 36 有 相 同 焦 点 的 椭 圆 的 标 准 方 程 是 ( (A) )

x2 y 2 ? ?1 15 10

(B)

x2 y2 ? 2 ?1 152 10

(C)

x2 y 2 ? ?1 10 15

(D)

x2 y2 ? 2 ?1 102 15
18、下列函数图像中,正确的是 ( )

y

y ? x?a
a

y

y ? x?a

y

y ? x?a

y

y ? x?a

y?x g 1
O

g 1 y ? xa

g 1 y ? ax

g 1

y ? loga x
1

x

O

x

O

x

O

x

(A)

(B)

(C) ( )

(D)

19、若平面 ? 外的直线 l 不平行于平面 ? ,则 (A)平面 ? 上的所有直线与 l 异面 线 (C)平面 ? 上存在唯一的直线与 l 平行

(B)平面 ? 上不存在与 l 平行的直 (D)平面 ? 上的直线与 l 都相交

20、若函数 f ( x ) 的零点与 g ( x) ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25 , 则 f ( x ) 可以是 (A) f ( x) ? ( x ? 1)
2

( (B) f ( x) ? e ? 1
x



(C) f ( x) ? lg( x ? )

3 4

(D)

f ( x) ? x ? 1
21、已知 a ? (a1 , b1 ), b ? (a2 , b2 ) 是两个非零向量,集合 A ? ?x | a1x ? b1 ? 0? , 集合 B ? ?x | a2 x ? b2 ? 0? ,则 a // b 是 A ? B 的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

r

r

r

r





(B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

3/9

三.解答题(本大题满分 48 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须 在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。 r r r r 22、 (本题满分 8 分)已知向量 a ? (4,5cos? ), b ? (3, ?4tan ? ) ,若 a ? b ,且

? ? ? (0, ) ,求 tan 2? 的值
2

P
23、 (本题满分 8 分) 已知三棱锥 P ? ABC 的底面是边长为 2 的正三角 形, PA ? 底面 ABC , H 是 PB 的中点,且异面 直线 AH 和 PC 所成角的大小为

H

? ,求三棱锥 3

P ? ABC 的体积

B

A

C

24、 (本题满分 8 分)

2? 的直线交抛物线 C 于 A, B 两点, 3 点 D 在抛物线 C 的准线 l 运动。若 AD ? BD ,求点 D 的坐标
过抛物线 C : y ? 4x 的焦点 F 作倾斜角为
2

4/9

25、 (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分 (1) 已知数列 ?an ? 为等差数列, 其前 n 项和为 Sn .若 a4 ? a5 ? 0 , 试分别比较 S5 与 S3 、 S2 与 S6 的大小关系.(2)已知数列 ?an ? 为等差数列, ?an ? 的前 n 项和 为 Sn .证明: 若存在正整数 k , ak ? ak ?1 ? 0 , Sm ? Skm? ( m ? N*, m ? 2k ) 使 则 . 2

26、 (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 已知函数 f ( x) ?

x 1? x

(1) 求证:函数 f ( x ) 为 R 上的增函数; (2) 设函数 g ( x) ? ax ? 2(a ? 0) ,若对任意 x1 ?? ?1,1? ,总存在 x2 ?? ?1,1? , 使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,求实数 a 的取值范围。

5/9

参考答案: 一、 填空题 1、 3

? ?
1 2

2、

x ?1 2

3、 10

4、 1

? 5、

1 2

6、 a ? 5b 4

r

r

7、

8、 ? ?4, 4?

9、

5 7

10、 ?24

11、

3? 3

12、

?0 0 0 0? ? ? ?0 1 1 1 ? ?1 2 3 6 ? ? ?
二、选择题 13、 D 14、 C B 三、解答题 15、 B 16、 C 17、 A 18、 C 19、 B 20、 C 21、

22、解:因为向量 a ? (4,5cos? ), b ? (3, ?4tan ? ) , 由 a ? b 可知 4 ? 3 ? (5cos ? ) ? (?4 tan ? ) ? 0 得 sin ? ? 又 ? ? (0,

r

r

r

r

(2 分)

3 2 4 3 2? 2 tan ? 4 ? 24 则 tan 2? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? ( 3 )2 7 4 ) ,所以 tan ? ?

?

3 5

(4 分) (6 分)

(8 分)

23、解:取 BC 中点 M ,连接 MH ,则 MH // PC ,且 MH ? 所以 ? MHA 为异面直线 AH 和 PC 所成角,即 ?MHA ? 又由于 AH ?

?
3

1 PC 2
(2 分)

1 PB, PB ? PC ,所以 AH ? MH ,则 ?AMH 为正三角形 2
(4 分) (6 分)

所以 PB ? 2 AH ? 2 AM ? 2 3 由直角三角形 PAB 解得 PA ? 2 2
6/9

故 VP ? ABC ?

1 1 2 6 SV ABC ? PA ? ? 3 ? 2 2 ? 3 3 3

(8 分)

24、解:由条件可知,直线 AB 的方程为 y ? ? 3( x ?1) 代入抛物线方程得: 3x2 ? 10 x ? 3 ? 0 ,解得: x1 ?

(2 分)

1 , x2 ? 3 3

所以 A( ,

1 2 3 ), B 3, ?2 3 3 3

?

?

(4 分)

设 D(?1, y0 ) ,由 DA ? DB ? 0 ,得

uur uuu u r

4 2 3 ?4? ( ? y0 )(?2 3 ? y0 ) ? 0 3 3
解得 y0 ? ?

(6 分)

2 3 2 3 ,所以点 D 的坐标为 (?1, ? ) 3 3

(8 分)

25、 (1) 6 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a1 ? a2 ? 2(a4 ? a5 ) ? S2 解: S 分) . S5 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a1 ? a2 ? a3 ? S3 分) (2) (ⅰ)当 m ? 2k ? m 即 m ? k 时,显然有 Sm ? S2 k ? m ; 分) (6 (ⅱ)当 m ? 2k ? m 即 m ? k 时,

(2

(4

Sm ? S2k ?m ? ? a1 ? a2 ? ? ? a2k ?m ? a2k ?m?1 ? ?? am ? ? ? a1 ? a2 ? ?? a2k ?m ?
? a2 k ?m ?1 ? ? ? am ? a2 k ? m?1 ? am a ? ak ?1 ? ? 2m ? 2k ? ? k ? ? 2m ? 2k ? ? 0 2 2
(9

? Sm ? S2 k ? m
分) (ⅲ)当 m ? 2k ? m 即 m ? k 时,

7/9

S2k ?m ? Sm ? ? a1 ? a2 ? ? ? am ? am?1 ? ? ? a2k ?m ? ? ? a1 ? a2 ? ?? am ?
? am?1 ? ? ? a2 k ?m ? am?1 ? a2 k ? m a ? ak ?1 ? ? 2k ? m ? m ? ? k ? ? 2k ? 2m ? ? 0 2 2

? Sm ? S2 k ? m
综上所述:Sm ? S2 k ? m( m ? N*, m ? 2k ). 26 、 解 : ( 1 ) 设 (12 分)

x1 ? x2
2





f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x ? x ? x 2x ? x x x1 x 1 ? 2 ? 1 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

2

1

(2 分) 其中 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0, x1 ? x2 ? 0 , 当 0 ? x1 ? x2 或 x1 ? x2 ? 0 时, x1 x2 ? x2 x1 ? 0 当 x1 ? 0 ? x2 时, x1 x2 ? x2 x1 ? 2x1x2 ? 0 所以 x1 ? x2 ? x1 x2 ? x2 x1 ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 故函数 f ( x ) 为 R 上的增函数 (2)由(1)知 x1 ?? ?1,1? 时, f ( x1 ) 的值域为 ? ? (5 分) (4 分)

? 1 1? , , ? 2 2? ?

(7 分)

而当 x2 ?? ?1,1? 时,g ( x2 ) 的值域为 ? ?a ? 2, a ? 2? , 由题意得 ? ?

(9 分)

? 1 1? , ? ??a ? 2, a ? 2? ? 2 2? ?
5 2
(12 分)

(11 分)

由此解得 a ?

www.zxsx.co m

8/9

9/9


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