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数 学 归 纳 法


§2-2:2.3 数 学 归 纳 法 教
一、课标要求: 1.借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤; 2.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的命题. 二、教材分析:数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理,皮亚诺公理中的第五条,“数学归纳法”是人 教 A 版《普通高中课程标准实验教科书 数学(选修 2-2)》中的第 2 章推理与证明中的第三单元, 数学归纳

法的学习, 计划利用 2 个课时学习, 本节课是数学归纳法的起始课, 主要是理解数学归纳法, 并初步利用数归解决简单的数学问题, 数学归纳法属于直接证明, 它可以完成通过有限个步骤的推理, 证明 取所有正整数都成立的命题的证明.在等差数列和等比数列知识的学习过程中,我们用不完全 归纳法推出了它们的通项公式,其中正确性的严格证明需要用数学归纳法进行.因此,数学归纳法的 学习是学习数列知识的深化和拓展,也是归纳推理的具体应用, 三、学生分析: 学生已经在必修 5 中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式);在本章的合情推 理中已经学习了归纳推理,在演绎推理中学习了“三段论”.这些内容的学习是学生理解推理思想和 证明方法的重要基础.因此,教学中通过类比的方法,引导学生理解数学归纳法的本质. 四、教学目标: 1、知识与技能:①借助具体实例归纳出数学归纳法的定义和步骤;②了解数学归纳法的原理,能用 数学归纳法证明一些简单的命题. 2、过程与方法: ①观察多米诺骨牌试验,体验数学归纳法的发现过程;②借助例 2 尝试利用数学归纳 法解决数学问题 3、情感态度与价值观:①通过对数学归纳法原理的探究,养成严谨的科学态度和勇于探索的精神; ②通过置疑与探究,体验类比思想,逐步形成独立的人格与敢于创新的精神, 五、教学重点和难点: 重点: 数学归纳法教学的重点是借助具体实例了解数学归纳法的基本思想,掌握它的基本步骤, 运用它证明一些与正整数 ( 取无限多个值)有关的数学命题. 难点:学生不易理解数学归纳法的思想实质,具体表现在不了解第二个步骤的作用,不易根据归 纳假设作出证明; 六、教学方法:本节课采用类比启发探究式教学方法,以学生及其发展为本,一切从学生出发。师生 之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理,并类比多米诺骨牌倒下的原理,探究数学归纳法的 原理、步骤;培养学生归纳、类比推理的能力,进而应用数学归纳法,证明一些与正整数 有关的简 单数学命题;提高学生的应用能力,分析问题、解决问题的能力。 七、学习方法: 自主、合作、 探究 八、教学资源:电脑 多媒体投影仪等 九、教学过程 1.从思考题中引入课题 (1) 、已知数列

?an ?

的通项公式为 an ? (n ? 5n ? 5) (1)求出其前四项 a1 , a2 ,a 3 , a4 , (2)
2 2

你能得到什么样的猜想? 猜想一定正确吗?
1

(2) 、已知数列 ?an ? , a1 ? 1, a n ?1 ?

an (2) (n ? 1,2,3,4...)(1)求出其前四项 a1 , a2 ,a 3 , a4 , 1 ? an

你能得到什么样的猜想?猜想一定正确吗? 分析:逐一验证是不可能的.那么,我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理,证明 取所有 正整数都成立”的问题.引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问题的一种方法——数学 归纳法”. 【设计意图】 应用归纳推理,发现新事实,获得新结论,这是数学归纳法的先行组织者;该思 考题出现在本章第一节的合情推理中,是课标教材“螺旋式”上升的具体体现,其思维模式就是“观 察——归纳——猜想——证明”. 2.体会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想 利用 flash 软件,动态地演示多米诺骨牌游戏 【设计意图】 通过对多米诺骨牌游戏的分析,让学生经历从具体到抽象的归纳和概括过程,从 而理解数学归纳法的本质.在多米诺骨牌游戏过程中,体会所有骨牌都倒下,第 1 块骨牌必须倒下, 这是基础,也是前提条件,同时第 块骨牌倒下,必然导致第 k ? 1 骨牌倒下,这是所有骨牌都倒下 的保证,也就是多米诺骨牌游戏的连续性. 设问问题: 多米诺骨牌游戏与前面所提到的要解决的问题有相似性吗?能否类比多米若骨牌游 戏来解决你的猜想是正确的? 【设计意图】 在类比的过程中学习数学归纳法. 分析 1:根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一步,即(1)(归纳奠基)证明当 取 第一个值 ( ,例如 =1 或 )时,命题成立.

分析 2:根据“任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下”,抽象出数学归纳法的 第二步,即(2) (归纳递推)假设 时命题成立,证明当 时命题也成立. 分析 3:从完成“多米诺骨牌游戏”中,抽象出数学归纳法证明命题的结论,即由(1),(2) 可知,命题对于从 开始的所有正整数 都成立. 【设计意图】 抽象出“多米诺骨牌游戏”的本质. 3.数学归纳法概念的形成 数学归纳法: 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题,我们常采用下面的方法 来证明它们的正确性: (1)(归纳奠基)证明当 取第一个值 (2)(归纳递推)假设 根据(1)和(2),可知命题对于从 4、数学归纳法的应用
n 2

(

,例如

=1 或

)时,命题成立; 时命题也成立;

时命题成立,证明当 开始的所有正整数 都成立.

例 1.用数学归纳法证明“ 2 ? n ? 1 ,对于 n ? n0 的正整数 n 都成立”时,第一步证明的起始值 n 应取( )A.2 B.3 C.5 D.6
2

【设计意图】数学归纳法第一步中的“第一个数”不一定就是“1” , 也可能是“2”或其它数,要根 据题意准确选择.当取第一个值 时,左边的式子要认识到位

例 2.用数学归纳法证明: 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 (n ? N ? )

【变式 2】

例 2 的如下证明对吗? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 (n ? N ? ) 证明: (1)当 n ? 1 时,左边=1,右边= 1 ? 1 ,等式成立 (2)假设 n=k 时命题成立,即
2

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2k ? 1) ? k 2 ? 1
那么

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2k ? 1) ? [2(k ? 1) ? 1] [1 ? 2(k ? 1) ? 1]( k ? 1) ? 2

? (k ? 1) 2
即当 n=k+1 时等式也成立 根据(1)和(2) ,可知等式对 n ? N 都成立 【变式 3】 试判断下列证明过程是否正确? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ? 1(n ? N ? ) 证明:假设 n=k 时命题成立,即
?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2k ? 1) ? k 2 ? 1
那么

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? (2k ? 1)

? k 2 ? 1 ? (2k ? 1)
? k 2 ? 2k ? 1 ? 1

? (k ? 1) 2 ? 1
即当 n=k+1 时等式也成立,可知等式对任何 n ? N 都成立. 【想一想】 (1) 第一步,是否可省略? (2) 第二步,是否可省略? (3) 第三步,是否可省略? 【变式 4】用数学归纳法证明 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 n?1
?

? 2 n ? 1(n ? N ? )

【设计意图】 例 2 是教材 P96 A.1.(2) 中的一道习题,变式 2 是对例 2 证明方式的变化,变式 3 是对例 2 结论的变化,通过反问,让学生真正意识到在证明命题时 “两个步骤和一个结论” 缺一不可, 缺了第(1)步,就没有了归纳奠基;缺了第(2)步,就丧失了归纳递推的过程;缺了结论,整个数 学归纳法的过程就不能顺利完成. “两个步骤和一个结论”缺一不可;变式 4 是数归的应用。
3

十、小结与回顾 (1)数学归纳法能解决哪些问题?(与正整数有关的命题的证明) (2)数学归纳法的证题步骤是什么?(两步骤一结论) (3)它的核心思想是什么?(无穷递推) (4)在学习与思考中你还有哪些疑惑? (5)想飞的蜗牛怎样才能扶着天梯登上云端呢?(生:登上第一级;如果登上一级后,再努力一 点,就能登上下一级.那么蜗牛就能想爬多高就能到多高.) 设计意图:通过学生的学后总结与反思,是知识得以内化的必要过程. 十一、课后作业:课本第96页习题2.3A 组1.2. 十二、 板书设计 §2-2:2.3学归纳法 数学归纳法的概念: 步骤: 注意问题: 十三、教学反思: 应用 例题 变式 小结 作业

4


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