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概率分布列含解析


概率分布列练习题
1.打靶时,甲每打 10 次可中靶 8 次,乙每打 10 次可中靶 7 次,若两人同时射击一个目标,则 它们都中靶的概率是( ) 3 3 12 14 A.5 B.4 C.25 D.25 答案:D 1 1 1 2.三个人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概率分别为5,3,4,假设他们破译密码是 彼此独立的,则此密码被破译出的概率为( 3 A.5 2 B.5 1 C.60 ) D.不确定 答案:A

3. 已知 P(A)=0.3, P(B)=0.5, 当事件 A、 B 相互独立时, P(A∪B)=________, P(A|B)=________. 答案 0.65 0.3

1 1 1 4.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为70、69、68,且各道 3 工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为________.答案:70 5.在一条马路上的 A、B、C 三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为 25 秒、35 秒、45 秒,某辆汽车在这条马路上行驶,那么在这三处都不停车的概率是________. 35 答案:192 1 1 1 6.事件 A、B、C 相互独立,若 P(A· B)=6,P( B · C)=8,P(A· B·C )=8,则 P(B)=________, P( A · B)=________,P(B+C)=__________,P(B|C)=________. 1 答案:2 1 3 5 8 1 2

1 1 7.有一个数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是2,乙能解决的概率是3,2 人试图独立地 在半小时内解决它,则 2 人都未解决的概率为________,问题得到解决的概率为________. 1 2 答案:3 3 8.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,其命中率分别为 0.6,0.5,现已知目标被击中,则 它是被甲击中的概率是( A.0.45 B.0.6 ) C.0.65 D.0.75 答案:D

解析:令事件 A、B 分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标,由题意可知 P(A)=0.6,P(B) =0.5,令事件 C 表示目标被击中,则 C=A∪B,则 P(C)=1-P( A )P( B )=1-0.4×0.5=0.8,

所以 P(A|C)=

P?AC? 0.6 = =0.75. P?C? 0.8

9.设 10 件产品中有 4 件不合格,从中任意取出 2 件,在所取得的产品中发现有一件不合格品, 则另一件也是不合格品的概率为 1 .答案:5 ) 473 C.729 1 D.243 答案 C

1 10.已知随机变量 ξ~B(6,3),则 P(ξ≥2)=( 16 A.143 471 B.729

11.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的概 率是( 2 A.27 ) 1 B.9 2 C.9 1 D.27 答案 B

3 1 12.某电子管正品率为 ,次品率为 ,现对该批电子管进行测试,设第 ξ 次首次测到正品,则 4 4 P(ξ=3)的值为( ) 32 1 C2 3( ) × 4 4 1 3 C.(4)2×4 3 1 D.(4)2×4

12 3 A.C2 3( ) × B. 4 4 答案 C

13.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{an}:an ?-1,第n次摸取红球, =? 如果 Sn 为数列{an}的前 n 项和,那么 S7=3 的概率为( ?1,第n次摸取白球, 12 25 A.C5 7×( ) ×( ) 3 3 答案 C 14.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层停靠.若该电梯在底层载有 5 位乘 1 客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为3,用 ξ 表示这 5 位乘客在第 20 层下电梯 的人数,则 P(ξ=4)=________.答案 10 243 2 1 4 B.C7 ×(3)2×(3)5 22 15 C.C2 7×( ) ×( ) 3 3 )

12 25 D.C3 7×( ) ×( ) 3 3

15.某单位 6 个员工借助互联网开展工作,每天每个员工上网的概率是 0.5(相互独立),则一天 内至少 3 人同时上网的概率为________.答案 21 32

16.甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中的 6 题,乙能 答对其中的 8 题,规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才算合格. (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率;

(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 解析 (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B, 则 P(A)=
2 1 C6 · C4+C3 6 60+20 2 3 C10 = 120 =3,

2 1 C8 · C2+C3 8 56+56 14 P(B)= C3 = 120 =15 10

17.2013 年初,一考生参加北京大学的自主招生考试,需进行书面测试,测试题中有 4 道题, 3 每一道题能否正确做出是相互独立的,并且每一道题被考生正确做出的概率都是4. (1)求该考生首次做错一道题时,已正确做出了两道题的概率; (2)若该考生至少做出 3 道题,才能通过书面测试这一关,求这名考生通过书面测试的概率. 3 解析 (1)记“该考生正确做出第 i 道题”为事件 Ai(i=1,2,3,4),则 P(Ai)=4,由于每一道题 能否被正确做出是相互独立的,所以这名考生首次做错一道题时,已正确做出两道题的概率为 3 3 1 9 P(A1A2 A3 )=P(A1)· P(A2)· P( A3 )=4×4×4=64. (2)记“这名考生通过书面测试”为事件 B, 则这名考生至少正确做出 3 道题, 即正确做出 3 道或 4 道题,故 3 1 3 189 3 4 P(B)=C4 ×(4)3×4+C4 ×(4)4=256. 18.某射手每次射击击中目标的概率是 ,且各次射击的结果互不影响。 (1)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率; (2)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标的概率; (3)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次射击中, 若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分。记ξ 为射手射击 3 次后的总得分数,求ξ 的分布列。 解: (1)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 X~ 在 5 次射击中,恰有 2 次击中目标的概率 (2)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i=1,2,3,4,5) ; “射手在 5 次射击中,有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A,则 ;

; (3)由题意可知,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,6, ,

, ,



19.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5,购买乙种商品的概率为 0.6,且购 买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的. (1)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (2)求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种概率; (3)用 ξ 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求 ξ 的分布 列. 解析 记 A 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲种商品,B 表示事件:进入商场的 1 位 顾客购买乙种商品,C 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,D 表示 事件:进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种. (1)C=A·B + A · B. P(C)=P(A·B + A · B)=P(A·B )+P( A · B)=P(A)· P( B )+P( A )· P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6 =0.5. (2) D = A ·B , P( D )=P( A ·B )=P( A )· P( B )=0.5×0.4=0.2, P(D)=1-P( D )=0.8. (3)ξ~B(3,0.8),故 ξ 的分布列为 P(ξ=0)=0.23=0.008,
1 P(ξ=1)=C3 ×0.8×0.22=0.096,

2 P(ξ=2)=C3 ×0.82×0.2=0.384,

P(ξ=3)=0.83=0.512. ξ 的分布列为 ξ P 0 0.008 1 0.096 2 0.384 3 0.512

20.在一次购物抽奖活动中,假设某 10 张券中有一等奖奖券 1 张,可获价值 50 元的奖品;有二 等奖奖券 3 张,每张可获价值 10 元的奖品;其余 6 张没有奖.某顾客从这 10 张奖券中任抽 2 张,求: (1)该顾客中奖的概率; (2)该顾客获得的奖品总价值 X(元)的分布列和均值 E(X). 解析 (1)方法一:设“该顾客中奖”为事件 A, C2 15 2 6 则 P(A)=1-P( A )=1-C2 =1-45=3. 10 方法二:P(A)=
1 1 C4 C6+C2 4 30 2 2 C10 =45=3.

(2)X 的所有可能值为 0,10,20,50,60,
2 1 C6 1 C1 3C6 2 且 P(X=0)=C2 =3,P(X=10)= C2 =5, 10 10 2 1 C3 1 C1 2 1C6 P(X=20)=C2 =15,P(X=50)= C2 =15, 10 10 1 1 C1 C3 1 P(X=60)= C2 =15.故 X 的分布列如下. 10

2 即该顾客中奖的概率为3. 21.一名学生骑自行车上学,从他家到学校的途中有 6 个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红 1 灯的事件是相互独立的,并且概率都是3. (1)设 ξ 为这名学生在途中遇到的红灯次数,求 ξ 的分布列; (2)设 η 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求 η 的分布列; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 思路分析 正确求得变量取各值的概率是解题的关键, 找出(1)、 (3)问中概率的区别与联系. 1 解析 (1)将遇到每个交通岗看做一次试验,遇到红灯的概率都是3,且每次试验结果相互独 1 1 2 6 -k 立,故 ξ~B(6,3).所以 ξ 的分布列为 P(ξ=k)=Ck6· (3)k· (3) (k=0,1,2,?,6). (2)η=k(k=0,1,2,?,5)表示前 k 个路口没有遇上红灯,但在第 k+1 个路口遇上红灯,其

2 1 26 概率为 P(η=k)=(3)k· , η = 6 表示一路没有遇上红灯,故其概率为 P ( η = 6) = ( 3 3) .所以 η 的分布 列为 η P 0 1 3 1 12 3· 3 2 1 22 (3) 3· 3 1 23 (3) 3· 4 1 24 (3) 3· 5 1 25 (3) 3· 6 2 (3)6

2 665 (3)所求概率即 P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(3)6=729. 22.(12 分)某班从 6 名班干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中,任选 3 人参加学校的义务劳动. (1)设所选 3 人中女生人数为 X,求 X 的分布列; (2)求男生甲或女生乙被选中的概率; (3)设“男生甲被选中”为事件 A,“女生乙被选中”为事件 B,求 P(B)和 P(B|A). 解:(1)X 的所有可能取值为 0,1,2,依题意得
3 2 1 C4 1 C4 C2 3 P(X=0)=C3=5,P(X=1)= C3 =5. 6 6 1 2 C4 C2 1 P(X=2)= C3 =5. 6

所以 X 的分布列为 X P 0 1 5 1 3 5 2 1 5

(2)设“甲、乙都不被选中”为事件 C, C3 4 1 则 P(C)=C3=5;
6

1 4 所以所求概率为 P( C )=1-P(C)=1-5=5. C1 4 3 C2 P?AB? C6 2 5 10 1 (3)P(B)=C3=20=2;P(B|A)= = 2= . P?A? C5 5 6 C3 6 23.(12 分)甲、乙、丙三人打算趁目前股市低迷之际“入市”.若三人在圈定的 10 支股票 中各自随机购买一支(假定购买时每支股票的基本情况完全相同). (1)求甲、乙、丙三人恰好买到同一支股票的概率; (2)求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一支股票的概率. 解:(1)三人恰好买同一支股票的概率为

1 1 1 1 P1=10×10×10×10=100.(6 分) 27 ? 1 ?2 9 (2)方法一:三人中恰好有两人买到同一支股票的概率为 P2=10×C2 . 3×?10? × = ? ? 10 100 1 由(1)知,三人恰好买到同一支股票的概率为 P1=100,所以三人中至少有两人买到同一支 1 27 7 股票的概率为 P=P1+P2=100+100=25.(12 分) 方法二:至少有两人买到同一支股票的概率为 A3 7 10 P2=1- 1 1 1 = .(12 分) 25 C10×C10×C10 24.某市环保局举办 2012 年“六· 五”世界环境日宣传活动,进行现场抽奖.抽奖规则是: 盒中装有 10 张大小相同的精美卡片, 卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案. 参 加者每次从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖. (1)活动开始后,一位参加者问:盒中有几张“绿色环保标志”卡?主持人笑说:我只知道 1 若从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是3.求抽奖者获奖的概率; (2)现有甲乙丙丁四人依次抽奖,抽后放回,另一人再抽.用 ξ 表示获奖的人数.求 ξ 的分 布列及 E(ξ),D(ξ).
2 Cn 1 解:(1)设“环保会徽”卡有 n 张,由C2 =3,得 n=6. 10

故“绿色环保标志”卡有 4 张. C2 2 4 抽奖者获奖的概率为C2 =15.(6 分)
10

2? ? (2)ξ~B?4,15?,ξ 的分布列为 ? ? ? 2 ?k?13?4-k P(ξ=k)=Ck (k=0,1,2,3,4). 4?15? ?15? ? ?? ? ξ P 0 ?13?4 ?15? ? ? 1 2 ?13?3 ? ? C1 4· · 15 ?15? 2 ? 2 ?2?13?2 C2 4?15? ?15? ? ?? ? 3 ? 2 ?3?13?1 C3 4?15? ?15? ? ?? ? 4 ? 2 ?4 ?15? ? ?

2 8 所以 E(ξ)=4×15=15, 2 ? 104 2 ? D(ξ)=4×15×?1-15?=225.(12 分) ? ?


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