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椭圆中焦点三角形的性质(含答案)


焦点三角形习题 性质一:过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短,通径为 2

b2 a

性质二:已知椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 a2 b2

PF1 F2 中 ?F1PF2 ? ? , 则 S ?F1PF2 ? b 2 tan
证明:记 | PF 1 |? r 1 , | PF 2 |? r2 ,

?
2

.

由椭圆的第一定义得 r1 ? r2 ? 2a,? (r1 ? r2 ) 2 ? 4a 2 . 在△ F1 PF2 中,由余弦定理得: r1 ? r2 ? 2r1r2 cos? ? (2c) 2 .
2 2

配方得: (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1r2 ? 2r1r2 cos? ? 4c 2 . 即 4a 2 ? 2r1r2 (1 ? cos? ) ? 4c 2 .

2(a 2 ? c 2 ) 2b 2 ? r1 r2 ? ? . 1 ? cos? 1 ? cos?
由任意三角形的面积公式得:

S ?F1PF2 ?

1 sin ? r1 r2 sin ? ? b 2 ? ? b2 ? 2 1 ? cos?

2 sin

? S ?F1PF2 ? b 2 tan

?
2

2 ? b 2 ? tan? . ? 2 2 cos2 2 2

?

cos

?

.

y2 x2 同理可证,在椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)中,公式仍然成立. a b
性质三:已知椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 a2 b2

PF1 F2 中 ?F1 PF2 ? ? , 则 cos? ? 1 ? 2e 2 .
性质三 证明:设 PF 1 ?r 1 , PF 2 ? r2 , 则在 ?F 1 PF 2 中,由余弦定理得:

c o? s?

r12 ? r22 ? F1 F2 (r ? r ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 2a 2 ? 2c 2 ? 1 2 ? ?1 2r1r2 2r1r2 2r1r2

2

1

?

2a 2 ? 2c 2 2a 2 ? 2c 2 ?1 ? ? 1 ? 1 ? 2e 2 . 2 r1 ? r2 2 2a 2( ) 2

命题得证。

例1.

若 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的一点, F1 、 F2 是其焦点,且 ?F1 PF2 ? 60? , 100 64

求△ F1 PF2 的面积.

x2 y2 ? ? 1 中, a ? 10, b ? 8, c ? 6, 而 ? ? 60?. 例 1.解法一:在椭圆 100 64
记 | PF 1 |? r 1 , | PF2 |? r2 .

? 点 P 在椭圆上, ? 由椭圆的第一定义得: r1 ? r2 ? 2a ? 20.
在△ F1 PF2 中,由余弦定理得: r1 ? r2 ? 2r1r2 cos? ? (2c) 2 .
2 2

配方,得: (r1 ? r2 ) 2 ? 3r1r2 ? 144.

? 400 ? 3r1r2 ? 144. 从而 r1 r2 ?
S ?F1PF2 ?

256 . 3

1 1 256 3 64 3 r1r2 sin ? ? ? ? ? . 2 2 3 2 3
x2 y2 2 ? ? 1 中, b ? 64 ,而 ? 100 64

解法二:在椭圆
? S ?F1 PF2 ? b 2 tan

? 60?.

?
2

? 64 tan 30? ?

64 3 . 3

例 2.已知 P 是椭圆 若
PF 1 ? PF 2 | PF 1 | ? | PF 2| ?

x2 y2 ? ? 1 上的点, F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点, 25 9

1 ,则△ F1PF2 的面积为( 2


3 3

A. 3 3

B. 2 3

C.
PF 1 ? PF 2

3

D.
? 1 ,?? ? 60?. 2

解:设 ?F1PF2 ? ? ,则 cos? ?
? S?F1PF2 ? b2 tan

| PF 1 | ? | PF 2|

?
2

? 9 tan 30? ? 3 3. 故选答案 A.

2

例 3.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆上. 若 P、 F1 、 F2 是一 16 9

个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( A.
9 5

) D.
9 7 9 或 7 4

B.

9 7 7

C.

9 4

解:若 F1 或 F2 是直角顶点,则点 P 到 x 轴的距离为半通径的长 设点 P 到 x 轴的距离为 h,则 S ?F1 PF2 ? b 2 tan
? 7h ? 9 , h ?
9 7 . 故选 D. 7

b2 9 ? ;若 P 是直角顶点, a 4

?
2

? 9 tan 45? ? 9 ,又 S ?F1 PF2 ?

1 ? (2c) ? h ? 7 h, 2

1. 椭圆

y2 x2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直,则△ F1PF2 的面积为 49 24

( ) A. 20

B. 22

C. 28

D. 24

解: ?F1PF2 ? ? ? 90?, b2 ? 24 ,? S?F1PF2 ? b2 tan

?
2

? 24 tan 45? ? 24 .故选 D.

2. 椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点为 F1 、 F2 , P 是椭圆上一点,当△ F1PF2 的面积为 1 时, 4

PF 1 ? PF 2 的值为(

) B. 1 C. 3 D. 6

A. 0

解:设 ?F1PF2 ? ? ,? S?F1PF2 ? b2 tan

?
2

? tan

?
2

? 1,

?
3. 椭圆

?
2

? 45?,? ? 90? , PF 1 ? PF 2 ? 0 .故选 A.

x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点为 F1 、 F2 , P 是椭圆上一点,当△ F1PF2 的面积最大时, 4

PF 1 ? PF 2 的值为(

) B. 2 C. 4 D.

A. 0

?2
?
2

解: a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,设 ?F1PF2 ? ? ,? S?F1PF2 ? b2 tan

?
2

? tan



? 当△ F1PF2 的面积最大时, ? 为最大,这时点 P 为椭圆短轴的端点, ? ? 120 ? ,
2 ? ? ?2 . ? PF 1 ? PF 2 ?| PF 1 | ? | PF 2 | cos? ? a cos120

故答案选 D. 4.已知椭圆
? y 2 ? 1 ( a >1)的两个焦点为 F1 、 F2 ,P 为椭圆上一点, a2 且 ?F1PF2 ? 60? ,则 | PF ) 1 | ? | PF 2 | 的值为( x2

3

A.1

B.

1 3

C.
?
2

4 3
3 , 3

D.

2 3

解: ?F1PF2 ? ? ? 60? , b ? 1 , S ?F1 PF2 ? b 2 tan 又? S?F1PF2 ?

? tan 30? ?

1 3 | PF | PF 1 | ? | PF 2 | sin? ? 1 | ? | PF 2 |, 2 4

?

3 3 4 | PF ,从而 | PF . 1 | ? | PF 2 |? 1 | ? | PF 2 |? 4 3 3

故答案选 C. 5. 已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴, F1 、 F2 为焦点,点 P 在椭圆上, 直线 PF1 与 PF2 倾斜角的差为 ?F1 PF2 ? 90? ,△ F1PF2 的面积是 20,且 c/a=√5/3, 求椭圆的标准方程. 解:设 ?F1PF2 ? ? ,则 ? ? 90? . ? S?F1PF2 ? b2 tan 又? e ?
c ? a a 2 ? b2 5 ? , a 3

?
2

? b2 tan 45? ? b2 ? 20 ,

?1?

b2 5 20 5 ? ,即 1 ? 2 ? . 2 9 9 a a

解得: a 2 ? 45 .

? 所求椭圆的标准方程为

x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ? 1. 45 20 45 20

专题 2:离心率求法: 1.若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点,则椭圆的离心率为( ) 2 3 5 6 A. B. C. D. 2 2 3 3 1.解析:选 A.如图所示,四边形 B1F2B2F1 为正方形,则△B2OF2 为等腰直角三 角形, c 2 ∴ = . a 2 2.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) 4 3 2 A. B. C. 5 5 5 2.解析:选 B.由题意知 2b=a+c,又 b2=a2-c2, ∴4(a2-c2)=a2+c2+2ac. ∴3a2-2ac-5c2=0.∴5c2+2ac-3a2=0. 3 ∴5e2+2e-3=0.∴e= 或 e=-1(舍去). 5

1 D. 5

3 .若椭圆的短轴长为 6 ,焦点到长轴的一个端点的最近距离是 1 ,则椭圆的离心率为
4

________. 3.解析:依题意,得 b=3,a-c=1. 又 a2=b2+c2,解得 a=5,c=4, c 4 4 ∴椭圆的离心率为 e= = . 答案: a 5 5 x2 y2 4.已知 A 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一个动点,直线 AB、AC 分别过焦点 F1、 F2,且与 a b 椭圆交于 B、C 两点,若当 AC 垂直于 x 轴时,恰好有|AF1|∶|AF2|=3∶1, 求该椭圆的离心率. 4.解:设|AF2|=m,则|AF1|=3m, ∴2a=|AF1|+|AF2|=4m. 又在 Rt△AF1F2 中, |F1F2|= |AF1|2-|AF2|2=2 2m. 2c |F1F2| 2 2m 2 ∴e= = = = . 2a 2a 4m 2

5.如图所示,F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标, 2 其纵坐标等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率. 3

5. 解: 法一: 设椭圆的长半轴、 短半轴、 半焦距长分别为 a、 b、 c.则焦点为 F1(-c,0), F2(c,0), 2 M 点的坐标为(c, b), 3 则△MF1F2 为直角三角形. 在 Rt△MF1F2 中, |F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2, 4 即 4c2+ b2=|MF1|2. 9 4 2 而|MF1|+|MF2|= 4c2+ b2+ b=2a, 9 3 整理得 3c2=3a2-2ab.又 c2=a2-b2, b2 4 所以 3b=2a.所以 2= . a 9 2 2 2 a - b c b2 5 5 ∴e2= 2= 2 =1- 2= , ∴e= . a a a 9 3 法二:设椭圆方程为 x2 y2 + =1(a>b>0), a2 b2 2 c2 4b2 则 M(c, b).代入椭圆方程,得 2+ 2=1, 3 a 9b 2 c 5 c 5 5 所以 2= ,所以 = ,即 e= . a 9 a 3 3
5

椭圆中焦点三角形的性质及应用(答案) 性质二 y P

F1

O

F2

x

离心率求法:

6


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