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9.2等差数列前n项和


等差数列的前n项和

复习回顾

(1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=(an-am)/(n-m) (2) 等差数列的性质: 在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
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一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。

复习数列的有关概念 如果数列?an ? 的第n项an 与n之间的关系可以用

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an 叫做数列 ?an ? 的前n项和。
? S1 (n ? 1) an ? ? ?S n ? S n?1 (n ? 2)
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高斯(Gauss,1777—1855), 德国著名数学家,他研究的内 容涉及数学的各个领域,是历 史上最伟大的数学家之一,被 誉为“数学王子”.

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创设情景
计算: 1+ 2+ 3 +… + 99 + 100 高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为50组: 中间的一 第一个数与最后一个数一组; 组数是什 首尾 么呢? 第二个数与倒数第二个数一组; 配对 第三个数与倒数第三个数一组,…… 相加 法 每组数的和均相等,都等于101,50个 101 就等于 5050 了。高斯算法将加法问题 转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.
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创设情景

平行四 三角形 边形

若V形架的的最下面一层放一支铅笔,往上每 一层都比它下面一层 多放一支,最上面 一层有n支。问: 这个V形架上共放 着多少支铅笔? 问题就是: 1+ 2+ 3 +… + (n-1) + n 若用首尾配对相加法,需要分类讨论.
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倒序相加法
计算: 1 ?
分析:这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项 和.

2

?

3 ? ? ? (n ?1) ? n ①
2 +1 ②

n + (n-1) + (n-2) +…+

2 ? ?1 ? 2 ? 3 ? ?? (n ?1) ? n? ? n ? (n ? 1)
n ? (n ? 1) ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2

那么,对一般的等差数列,如何求它的 项和呢? 前n项和
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如何才能将 等式的右边 已知等差数列{ an }的首项为a1,项数 化简?

问题分析

是n,第n项为an,求前n项和Sn .

? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an Sn ? an ? a n?1 ?an?2 ? ?? a1

① ②

?2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? a n?1 ? ? ? a3 ? an?2 ? ? ?? ? an ? a1 ?

又? a1 ? an ? a2 ? a n?1 ? a3 ? an?2 ? ? ? an ? a1
n(a1 ? an ) ?2Sn ? n(a1 ? an ) 即S n ? 2
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倒序相加法 已知等差数列{ an }的首项为a1,项数 是n,第n项为an,求前n项和Sn .
? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an
? a1 ? ? a1 ? d ? ? ? a1 ? 2d ? ? ? ? ? ? a1 ? ? n ? 1? d ? ?
又? Sn ? an ? a n?1 ?an?2 ? ?? a1



?2Sn ? ? a1 ? an ?+? a1 ? an ?+? a1 ? an ?+… + ? a1 ? an ? n(a1 ? an ) ? 2Sn ? n(a1 ? an ), 即Sn ? 2 上页 下页

各项组成新 ? an ? ? an ? d ? ? ? an ? 2d ? ? ? ? ? ? ? n ? 1? d ? ② ? an 的等差数列 ?

求和公式

等差数列的前n项和的公式: n(a1 ? an ) Sn ? 不含d 2
思考:(1)公式的文字语言; (2)公式的特点;

可知三 求一

由于an ? a1 ? ? n ?1? d , 故

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2
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公式与梯形面积:
补成平形四边形

a1

an

分割成一个平行四 边形和一个三角形

a1

n

n

an

a1

a1

(n ? 1)d

两个公式的共同已量是a1和n,不同的已知量是:公式(1)已知an, 公式(2)已知d 。 已知三个量就可以求出Sn ,我们要根据具体题目, 灵活采用这两个公式。
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(a1 ? an ) ? n Sn ? 2

n(n ? 1)d S n ? a1n ? 2

an=a1+( (n-1)d

公式应用
根据下列各题中的条件,求相应的 等差数列{an}的Sn : 500 (1)a1=5,an=95,n=10 (2)a1=100,d=-2,n=50 2550 n(a1 ? an ) 10 ? (5 ? 95) ? 500 解: ? ?1? Sn ? 2 2 n(n ? 1) 解: d ? 2 ? Sn ? na1 ? 2 50 ? (50 ? 1) ? 50 ? 100 ? ? ? -2? ? 2550 2 上页 下页

例题讲解
例1、计算 提示: (1) 5+6+7+…+79+80 3230 n=76 (2) 1+3+5+?+(2n-1) n2 法二: (3)1-2+3-4+5-6+?+(2n-1)-2n -n
1 ? 3 ? 5 ? …+ ? 2n ?1? ? ?2? 解: 2 n ? 2n 2 ? ?n 2 1? 3 ? 5 ? …+ ? 2n ?1? ? ? 2+4+6+…+2n? ?3? 解:原式= n? 1 ? ? 2n ? 1?? n ? 2 ? 2n ? ? ? 2 ? ? ? n ? n ? n ? 1? ? ?n 2 2
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n? ?1 ? ? 2n ? 1? ? ?

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例 2 (1)已知{an}是等差数列,a10=10,其前 10 项和 S10 =70,求公差 d; (2)已知{an}为等差数列,公差 d=2,前 n 项和为 Sn, an=11,Sn=35,求 a1,n; (3)在等差数列{an}中,已知 a2+a5=19,S5=40,求 a10.

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[解] (1)由等差数列的前 n 项和公式可得 ?a1+a10?×10 S10= =5(a1+10)=70, 2 a10-a1 2 解得 a1=4,∴d= = . 9 3

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?11=a1+2?n-1? ? (2)由题设可得? , n?a1+11? 35= ? 2 ?
? ?a1=-1 解得? ? ?n=7 ? ?a1=3 ,或? ? ?n=5

.

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?2a1+5d=19 ? (3)由题设可得? , 5?5-1? 5a1+ d=40 ? 2 ?
? ?2a1+5d=19 即? ? ?a1+2d=8 ? ?a1=2 ,解得? ? ?d=3



故 a10=2+3×(10-1)=29.

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例题讲解
例3、已知一个等差数列的前10项的和是 310,前20项的和是1220,由此可以确定 求其前n项和的公式吗? 10( a ? a ) 1 10 另解: S10 ? ? 310 ? a1 ? a10 ? 62 ①
S 20

2 20( a1 ? a20 ) ? ? 1220 ? a1 ? a20 ? 122② 2

两式相减得

?d ? 6

a20 ? a10 ? 60 ?10d ? 60

( n n ?1 ) S n ? a1n ? d ? 3n 2 ? n 2

a1 ? 4

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例4:等差数列-10,-6,-2, 2, · · · · · · · 前多少项和是54 ?
解: 设题中的等差数列为{an}, 则 a1= -10 d= -6-(-10)=4. n(n ? 1) 设 Sn= 54, Sn ? na1 ? d 2

n( n ? 1) ? 10n ? ·4 ? 54 2 得

n2-6n-27=0 得 n1=9, n2= -3(舍去)。 因此等差数列 -10,-6,-2,2, · · · · · · ·前9项和是54。 19
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例4 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.

求前16项的和?

解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=(16/2 ) × 18=144 答:前16项的和为144。
已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?
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? 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系 .已知{an}的前 n 项和 Sn,由 Sn-Sn-1=an(n≥2)推得 an 后要注意 an 的“合写”或“分写”:若 n=1 时,a1 也适 合“an 式”,需“合写”;若 n=1 时,a1 不适合“an 式”, 需“分写”,即
? ?S1,n=1 an=? ? ?Sn-Sn-1,n≥2

.

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例 5 已知下面各数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式,求{an} 的通项公式. (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2.

[分析] 利用 Sn-Sn-1=an(n>1)求解.

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[解] (1)当 n=1 时,a1=S1=-1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n -1)]=4n-5, 由于 a1 也适合此等式, ∴an=4n-5(n∈N*).

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(2)当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n-1-2)=2· 3n-1, 由于 a1 不适合此等式,
? ?1, ∴an=? n-1 ? 3 , ?2·

n=1, n≥2.

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? 变式训练 2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2-4n+1,求通项公 式. [解] 当 n=1 时,a1=S1=12-4×1+1=-2;

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n2-4n+1)-[(n-1)2-4(n -1)+1]=2n-5.
? ?-2,n=1, 又 a1≠2×1-5,则 an=? * ? ?2n-5,n≥2,n∈N .
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例题讲解
例6.己知等差数列 5,
2 4 4 , 3 ,… 7 7

的前n项和为Sn, 求使得Sn最大的序号n的值.

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2 4 解:由题意知,等差数列5, 4 , 3 , …的公差 7 7
5 n ? 为 7,所以sn= 2
5 [2×5+(n-1)( ? 7

)]
15 2 1125 n- 2 ) + 56

=

7 5n ? 5n 2 14

=

?

5 ( 14

于是,当n取与15/2最接近的整数7或8时,Sn 取得最大值。

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