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不等式与线性规划


行胜于言

专题能力训练 2 不等式、线性规划
能力突破训练 1.已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1),则下列关系式恒成立的是(
x y

)

A.2 +1 > 2 +1

1

1

B.ln(x2+1

)>ln(y2+1)

C.sin x>sin y D.x3>y3 2.函数 f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则 f(2-x)>0 的解集为( ) A.{x|x>2 或 x<-2} B.{x|-2<x<2} C.{x|x<0 或 x>4} D.{x|0<x<4} |-2| < 2, 3.不等式组{ 的解集为( ) log 2 ( 2 -1) > 1 A.(0,√3) B.(√3,2) C.(√3,4) D.(2,4) - + 2 ≥ 0, 4.(2015 中原名校联盟模拟)设 x,y 满足约束条件{ ≤ 2, 则 z=x+2y 的最小值是( ) ≥ 1, A.0 B.1 C.4 D.8 5.已知函数 f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式 f(x)>0 的解集是(-1,3),则不等式 f(-2x)<0 的解集是 ( ) 3 1 A.(-∞,- 2) ∪ (2 , + ∞) B.(- 2 , 2) C.(-∞,- 2) ∪ (2 , + ∞) + ≤ 2, ++2 6.已知不等式组{ ≥ 0, 表示的平面区域的面积为 2,则 的最小值为( ) +1 ≥ 3 4 A. B. C.2 D.4 2 3 + ≥ 5, 7.已知 x,y 满足约束条件{- + 5 ≤ 0,使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则 a 的 ≤ 3, 值为( ) A.-3 B.3 C.-1 D.1 + ≥ 0, 8.(2015 福建高考)变量 x,y 满足约束条件{-2 + 2 ≥ 0,若 z=2x-y 的最大值为 2,则实数 m 等 - ≤ 0, 于( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 + ≤ 1, 9.已知变量 x,y 满足约束条件{- ≤ 1, 若 x+2y≥-5 恒成立,则实数 a 的取值范围为( ) ≥ , A.(-∞,-1] B.[-1,+∞) C.[-1,1] D.[-1,1) - ≤ 0, 10.不等式组{-2 + 2 ≥ 0,表示的平面区域的面积为 . ≥ -1 D.(- 2 , 2)
1 3 1 3 3 1

1

行胜于言 + 2-4 ≤ 0, 11.当实数 x,y 满足{--1 ≤ 0, 时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围 ≥ 1 是 . + -11 ≥ 0, 12.设不等式组{3- + 3 ≥ 0, 表示的平面区域为 D,若指数函数 y=ax 的图象上存在区域 D 5-3 + 9 ≤ 0 上的点,则 a 的取值范围是 .

思维提升训练 - + 5 ≥ 0, 13.(2015 河北邢台第二次模拟)已知实数 x,y 满足约束条件{ + ≥ 0, 若 y≥kx-3 恒成立, ≤ 3, 则实数 k 的取值范围是( )

A.[-

11 5

,0]
11

B.[0, 3 ] D.(-∞,- 5 ]∪[0,+∞) )
11

11

C.(-∞,0]∪[ 5 , + ∞) A. C.
√6+2

14.设对任意实数 x>0,y>0,若不等式 x+√≤a(x+2y)恒成立,则实数 a 的最小值为(
4 √6+√2 4

B.

2+√2 4 2

D.3

4-3 + 4 ≥ 0, 15.设 x,y 满足约束条件 4--4 ≤ 0, 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 8,则 ab ≥ 0, { ≥ 0, 的最大值为 . 16.已知 x,y∈(0,+∞),2x-3=(2) ,则 + 的最小值为 17.若函数 f(x)=
2 ++1 -1 1 1 4

. .

· lg x 的值域为(0,+∞),则实数 a 的最小值为

18.(2015 浙江桐乡一中高三综合调研)已知存在实数 x,y 满足约束条件 ≥ 2, -2 + 4 ≥ 0, 则 R 的最小值是 . 2--4 ≤ 0, 2 2 2 { + (-1) = ( > 0),

参考答案
能力突破训练

1.D 解析:由 a <a (0<a<1)知,x>y,故 x >y3,选 D. 2.C 解析:∵f(x)=ax2+(b-2a)x-2b 为偶函数, ∴b-2a=0,即 b=2a,∴f(x)=ax2-4a.∴f'(x)=2ax.又∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴a>0. 由 f(2-x)>0,得 a(x-2)2-4a>0, ∵a>0,∴|x-2|>2,解得 x>4 或 x<0. 3.C 解析:由|x-2|<2,得 0<x<4;由 x2-1>2,得 x>√3或 x<-√3,取交集得√3<x<4,故选 C. 4.B 解析: 2

x

y

3

行胜于言

画出不等式组所对应的平面区域,如图. 通过平移直线 x+2y=0 可知 z=x+2y 在点 A(-1,1)处取得最小值 1. 5.A 解析:由 f(x)>0,得 ax2+(ab-1)x-b>0.
1-

∵其解集是(-1,3),∴a<0,且{
2

∴f(x)=-x +2x+3,∴f(-2x)=-4x2-4x+3,
由-4x2-4x+3<0,得 4x2+4x-3>0,解得 x> 或 x<- ,故选 A. 6.B 解析:
2 2 1 3

- = -3,



= 2,

解得 a=-1 或 a=3(舍去),∴a=-1,b=-3.

1

画出不等式组表示的区域,由区域面积为 2,可得 m=0. ++2 +1 +1 而 +1 =1++1 , +1表示可行域内任意一点与点(-1,-1)连线的斜率, 所以+1的最小值为2-(-1) = 3. 故
++2 +1 +1 0-(-1) 1

的最小值是3.

4

7.D 解析:

如图,作出可行域如图阴影部分所示,作直线 l0:x+ay=0,要使目标函数 z=x+ay(a>0)取得最小 值的最优解有无数个,则需将 l0 向右上方平移后与直线 x+y=5 重合,故 a=1.选 D. 8.C 解析:

+ ≥ 0, 画出约束条件{ 的可行域, -2 + 2 ≥ 0 如图,作直线 2x-y=2,与直线 x-2y+2=0 交于可行域内一点 A(2,2), 由题知直线 mx-y=0 必过点 A(2,2),即 2m-2=0,得 m=1.故选 C. 9.C 解析:

3

行胜于言

设 z=x+2y,要使 x+2y≥-5 恒成立,即 z≥-5.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示, 1 要使不等式组成立,则 a≤1,由 z=x+2y,得 y=-2x+2, 平移直线 y=-2x+2,由图象可知当直线经过点 A 时,直线 y=-2x+2的截距最小,此时 z 最小,即 + 2 = -5, = -1, 解得{ 即 A(-1,-2),此时 a=-1,所以要使 x+2y≥-5 恒成立,则- = 1, = -2, 1≤a≤1,故选 C. 9 10.4 解析:由题意作出不等式组表示的平面区域如下: x+2y=-5,由{
1 1

方程 x-y=0,x-2y+2=0 与 x=-1 两两联立解得,H(-1,-1),G(-1, 2),I(2,2); 故 S△HIG=2 × (2 + 1)×3=4. 解析:画出可行域如图所示,设目标函数 z=ax+y,即 y=-ax+z,要使 1≤z≤4 恒成立, 3 3 1 ≤ 2 + 1 ≤ 4, 则 a>0,数形结合知,满足{ 即可,解得 1≤a≤2.故 a 的取值范围是 1≤a≤2. 1 ≤ ≤ 4 11.[1, 2]
3 1 1 9

1

12.1<a≤3 解析:作出平面区域 D 如图阴影部分所示,联系指数函数 y=ax 的图象,

当图象经过区域的边界点 C(2,9)时,a 可以取到最大值 3, 而显然只要 a 大于 1,图象必然经过区域内的点, 则 a 的取值范围是 1<a≤3.
思维提升训练

- + 5 ≥ 0, 13.A 解析:由约束条件{ + ≥ 0, 作可行域如图: ≤ 3 4

行胜于言

= 3, 联立{ 解得 B(3,-3). + = 0, + = 0, 5 5 联立{ 解得 A(- 2 , 2). - + 5 = 0, -3 ≥ 3-3, 11 由题意得{5 解得- ≤k≤0. 5 5 ≥ - 2 -3, 2 故实数 k 的取值范围是[11 5

,0].


14.A 解析:原不等式可化为(a-1)x-√+2ay≥0,两边同除以 y,得(a-1) ? √ +2a≥0,令 t=√ , 则(a-1)t2-t+2a≥0,由不等式恒成立知,a-1>0,Δ=1-4(a-1)· 2a≤0,解得 a≥ 15.2 解析:
2+√6 4

,amin=

2+√6 4

,故选 A.

画出可行域如图阴影部分所示,目标函数变形为 y=-x+,由已知,得-<0,且纵截距最大时,z 取 到最大值,故当直线 l 过点 B(2,4)时,目标函数取到最大值,即 2a+4b=8,因为 a>0,b>0,由基本不等 式,得 2a+4b=8≥4√2,即 ab≤2(当且仅当 2a=4b=4,即 a=2,b=1 时取“=”),故 ab 的最大值为 2. 16.3 解析:由 2x-3=(2) ,得 x+y=3,故 + = 3(x+y)( + ) = 3 (5 + + = 3, = 1, 仅当{4 即{ (x,y∈(0,+∞))时等号成立. = , = 2
lg 1 1 1 4 1 1 4 1 4







+ ) ≥ 3(5+4)=3,当且



1

17.-2 解析:函数 f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),由-1>0 及函数 f(x)的值域为(0,+∞)知 x2+ax+1>0 对?x∈{x|x>0,且 x≠1}恒成立,即 a>-x-在定义域内恒成立,而-x-<-2(当 x≠1 时等号不 成立),因此 a≥-2. 18.2 解析:
1

5

行胜于言 ≥ 2, 根据前三个约束条件{-2 + 4 ≥ 0,作出可行域如图中阴影部分所示.由存在实数 x,y 满足四 2--4 ≤ 0 个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为 R 的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影 部分相切时,R 最小.由图可知 R 的最小值为 2.

6


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