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第4讲 直线、平面平行的判定及其性质


第4讲 直线、平面平行的判定及其性质 【2013 年高考会这样考】 1.考查空间直线与平面平行,面面平行的判定及其性质. 2.以解答题的形式考查线面的平行关系. 3.考查空间中平行关系的探索性问题. 【复习指导】 1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质,会把空间问题转化为平面 问题,解答过程中叙述的步骤要完整,避免因条件书写不全而失分. 2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化, 牢记解决问题的根源在“定理”. 基础梳理 1.平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况. 2.直线和平面平行的判定 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面; (2)判定定理:a?α,b?α,且 a∥b?a∥α; (3)其他判定方法:α∥β;a?α?a∥β. 3.直线和平面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=l?a∥l. 4.两个平面平行的判定 (1)定义:两个平面没有公共点,称这两个平面平行; (2)判定定理:a?α,b?α,a∩b=M,a∥β,b∥β?α∥β; (3)推论:a∩b=M,a,b?α,a′∩b′=M′,a′,b′?β,a∥a′,b∥b′ ?α∥β. 5.两个平面平行的性质定理 (1)α∥β,a?α?a∥β; (2)α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b?a∥b. 6.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α,b⊥α?a∥b; (2)a⊥α,a⊥β?α∥β. 一个关系 平行问题的转化关系: 两个防范 (1)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误. (2)把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相 交,则直线与交线平行. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)下面命题中正确的是( ). ①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行. A.①③ B.②④ C.②③④ D.③④ 解析 ①②中两个平面可以相交,③是两个平面平行的定义,④是两个平面平行 的判定定理. 答案 D 2.平面 α∥平面 β,a?α,b?β,则直线 a,b 的位置关系是( A.平行 C.异面 答案 D 3.(2012· 银川质检)在空间中,下列命题正确的是( A.若 a∥α,b∥a,则 b∥α B.若 a∥α,b∥α,a?β,b?β,则 β∥α C.若 α∥β,b∥α,则 b∥β D.若 α∥β,a?α,则 a∥β 解析 若 a∥α,b∥a,则 b∥α 或 b?α,故 A 错误;由面面平行的判定定理知, ). B.相交 D.平行或异面 ). B 错误;若 α∥β,b∥α,则 b∥β 或 b?β,故 C 错误. 答案 D 4.(2012· 温州模拟)已知 m、n 为两条不同的直线,α、β 为两个不同的平面,则 下列命题中正确的是( A.m∥n,m⊥α?n⊥α B.α∥β,m?α,n?β?m∥n C.m⊥α,m⊥n?n∥α D.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β 解析 选项 A 中,如图①,n∥m,m⊥α?n⊥α 一定成立,A 正确;选项 B 中, 如图②,α∥β,m?α,n?β?m 与 n 互为异面直线,∴B 不正确;选项 C 中, 如图③,m⊥α,m⊥n?n?α,∴C 不正确;选项 D 中,如图④,m?α,n?α, m∥β,n∥β?α 与 β 相交,∴D 不正确. )

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