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河南省信阳市罗山县楠杆高中2016届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)


2015-2016 学年河南省信阳市罗山县楠杆高中高三(上)第二次月 考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1.已知 A={x|y= A.1 B.2 C.0 },B={y|y=log D. x,0<x≤ },且 A=B,则 a=( )

2.已知 A 是三角形 ABC 的内角,则“cosA= ”是“sinA= A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知 c<0,下列不等式中成立的一个是( A.c>( )c B.c>2c C.2c<( )c )

”的(

)

D.2c>( )c

4.已知幂函数 y=f(x)的图象过点 A. B.﹣ C.2 D.﹣2

,则 log2f(2)的值为(

)

5.函数 y=sin2x 的图象经过适当变换可以得到 y=cos2x 图象,则这种变换可以是( A.沿 x 轴向右平移 C.沿 x 轴向左平移 个单位 B.沿 x 轴向左平移 个单位 D.沿 x 轴向右平移 个单位 个单位

)

6.已知

,则 f(x)>﹣1 的解集为(

)

A. (﹣∞,﹣1)∪(0,e) B. (﹣∞,﹣1)∪(e,+∞) C. (﹣1,0)∪(e,+∞) D. (﹣1,0)∪(0,e) 7.设三次函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,函数 y=x?f′(x)的图象的一部分如图所示,则正确 ) 的是(

A.f(x)的极大值为 ,极小值为 B.f(x)的极大值为 ,极小值为 C.f(x)的极大值为 f(﹣3) ,极小值为 f(3) D.f(x)的极大值为 f(3) ,极小值为 f(﹣3)

8.已知角 α 的终边上一点的坐标为( A. B. C. D.

) ,角 α 的最小正值为(

)

9.设

,b=0.30.5,c=log0.30.2,则 a,b,c 的大小关系是(

)

A.a>b>c B.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b 10.若函数 f(x)=kax﹣a﹣x(a>0 且 a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函 数 g(x)=loga(x+k)的图象是( )

A.

B.

C.

D.

11.关于函数 f(x)=2﹣x+lnx,下列说法正确的是( A.无零点 B.有且仅有一个零点 C.有两个零点 x1,x2,且(x1﹣1) (x2﹣1)>0 D.有两个零点 x1,x2,且(x1﹣1) (x2﹣1)<0 12.若 A.α>β B.α+β>0

)

,且 αsinα﹣βsinβ>0,则下面结论正确的是( C.α<β D.α2>β2

)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.已知 cos(﹣ +α)=﹣ ,且 α∈(π, ) ,则 tanα=__________.

14.已知 xlog32=1,则 4x﹣2x=__________. 15.已知 f(x)=x(1+|x|) ,则 f'(1)?f'(﹣1)=__________. 16.设函数 y=f(x)的图象与 y=2x+a 的图象关于直线 y=﹣x 对称,且 f(﹣2)+f(﹣4)=1, 则 a=__________.

三、解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.已知函数 f(x)= (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)记集合 E={y|y=f(x) ,x∈{﹣1,1,2}},λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣ ,判断 λ 与 E 的关系; (Ⅲ)若当 x∈[ , ]时,n≤f(x)≤m 恒成立,求 m﹣n 的最小值. 为偶函数.

18.已知函数 f(x)=log3(ax+b)的部分图象如图所示. (1)求 f(x)的解析式与定义域; (2)函数 f(x)能否由 y=log3x 的图象平移变换得到; (3)求 f(x)在[4,6]上的最大值、最小值.

19.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,﹣ ,相邻最高点坐标为 (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求函数 f(x)的单调增区间. .

<φ<

)的图象与 x 轴交点为

20.已知 A={α|2cos2α﹣3cosα+1≤0,α∈R},B={α|2sinα>1,α∈R}, (1)求集合 A∩B; (2)若对任意 x∈A∩B,都有 的取值范围. 21.2012 年中秋、国庆长假期间,由于国家实行 6 座及以下小型车辆高速公路免费政策,导 致在长假期间高速公路出现拥堵现象.长假过后,据有关数据显示,某高速收费路口从上午 6 恒成立,求 m

点到中午 12 点,车辆通过该收费站的用时 y(分钟)与车辆到达该收费站的时刻 t 之间的函 数关系式可近似地用以下函数给出:

y=

求从上午 6 点到中午 12 点,通过该收费站用时最多的时刻. 22.设 f(x)=lnx+ax(a∈R 且 a≠0) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 a=1,证明:x∈[1,2]时,f(x)﹣3< 成立.

2015-2016 学年河南省信阳市罗山县楠杆高中高三(上) 第二次月考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1.已知 A={x|y= A.1 B.2 C.0 },B={y|y=log D. x,0<x≤ },且 A=B,则 a=( )

【考点】集合的相等. 【专题】计算题;转化思想;综合法;集合. 【分析】化简 A,B,利用 A=B,即可得出结论. 【解答】解:∵A={x|y= ∴a=2, 故选:B. 【点评】本题考查集合的化简,考查集合相等关系的运用,比较基础. }=[a,+∞) ,B={y|y=log x,0<x≤ }=[2,+∞) ,A=B,

2.已知 A 是三角形 ABC 的内角,则“cosA= ”是“sinA= A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

”的(

)

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据三角函数的公式,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解答】解:∵A 是三角形 ABC 的内角, ∴若 cosA= ,则 A= 若 sinA= ,则 A= ,此时 sinA= 或 ,当 A= 成立,即充分性成立. ,cosA= ,即必要性不成立,

故“cosA= ”是“sinA=

”充分不必要条件,

故选:A. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据三角函数的关系式是解决本题的关 键. 3.已知 c<0,下列不等式中成立的一个是( A.c>( )c B.c>2c C.2c<( )c ) D.2c>( )c

【考点】不等式比较大小.

【专题】应用题;函数思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】根据指数函数的图象和性质即可判断. 【解答】解:c<0, ∴( )c>1,0<2c<1, ∴( )c>2c, 故选:C. 【点评】本题考查了指数函数的图象和性质,属于基础题.

4.已知幂函数 y=f(x)的图象过点 A. B.﹣ C.2 D.﹣2

,则 log2f(2)的值为(

)

【考点】对数的运算性质;幂函数的性质. 【专题】计算题;转化思想. 【分析】先设 log2f(2)=n,求出函数 f(x)的解析式,然后将点 即可求出结果. 【解答】解:设 log2f(2)=n,则 f(2)=2n ∴f(x)=xn 又∵由幂函数 y=f(x)的图象过点 代入解析式,





故选 A. 【点评】本题主要考查了对数函数和幂函数的关系,关键是将所求转化成幂函数,此题比较 容易是基础题. 5.函数 y=sin2x 的图象经过适当变换可以得到 y=cos2x 图象,则这种变换可以是( A.沿 x 轴向右平移 C.沿 x 轴向左平移 个单位 B.沿 x 轴向左平移 个单位 D.沿 x 轴向右平移 个单位 个单位 )

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】函数 y=sin2x 的图象沿 x 轴向左平移 果. 【解答】解:函数 y=sin2x 的图象沿 x 轴向左平移 得到 y=sin[2(x﹣ 故选 B. )]=sin(2x﹣ )=cos2x 个单位, 个单位,得到得到 y=cos2x 图象,即可推出结

【点评】本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,三角函数的平移原则为左加右减上加下 减.

6.已知

,则 f(x)>﹣1 的解集为(

)

A. (﹣∞,﹣1)∪(0,e) B. (﹣∞,﹣1)∪(e,+∞) C. (﹣1,0)∪(e,+∞) D. (﹣1,0)∪(0,e) 【考点】指、对数不等式的解法. 【专题】计算题. 【分析】由题意可得可得① 并集,即得所求. ,或 ② .分别求出①、②的解集,再取

【解答】 解: 由

f , (x) >﹣1 可得①

, 或 ②



由①可得 0<x<e,由②可得 x<﹣1. 故不等式的解集为 (﹣∞,﹣1)∪(0,e) , 故选 A. 【点评】本题主要考查指数不等式、分式不等式的解法,体现了分类讨论的数学思想,属于 中档题. 7.设三次函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,函数 y=x?f′(x)的图象的一部分如图所示,则正确 ) 的是(

A.f(x)的极大值为 ,极小值为 B.f(x)的极大值为 ,极小值为 C.f(x)的极大值为 f(﹣3) ,极小值为 f(3) D.f(x)的极大值为 f(3) ,极小值为 f(﹣3) 【考点】函数在某点取得极值的条件. 【专题】数形结合. 【分析】观察图象知,x<﹣3 时,f′(x)<0.﹣3<x<0 时,f′(x)>0.由此知极小值为 f (﹣3) .0<x<3 时,yf′(x)>0.x>3 时,f′(x)<0.由此知极大值为 f(3) . 【解答】解:观察图象知,x<﹣3 时,y=x?f′(x)>0, ∴f′(x)<0.

﹣3<x<0 时,y=x?f′(x)<0, ∴f′(x)>0. 由此知极小值为 f(﹣3) . 0<x<3 时,y=x?f′(x)>0, ∴f′(x)>0. x>3 时,y=x?f′(x)<0, ∴f′(x)<0. 由此知极大值为 f(3) . 故选 D. 【点评】本题考查极值的性质和应用,解题时要仔细图象,注意数形结合思想的合理运用.

8.已知角 α 的终边上一点的坐标为( A. B. C. D.

) ,角 α 的最小正值为(

)

【考点】终边相同的角. 【专题】计算题. 【分析】将点的坐标化简,据点的坐标的符号判断出点所在的象限,利用三角函数的定义求 出角 α 的正弦,求出角 α 的最小正值 【解答】解: ∴角 α 的终边在第四象限 ∵ ∴ ∴α 的最小正值为 故选 D 【点评】已知一个角的终边上的一个点求角的三角函数值,应该利用三角函数的定义来解决. ,b=0.30.5,c=log0.30.2,则 a,b,c 的大小关系是( 到原点的距离为 1 =

9.设

)

A.a>b>c B.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【专题】计算题. 【分析】a,b 的比较可由幂函数 y=x0.5 来判断,易知两数都小于 1,c 的判断可由对数函数 y=log0.3x 在(0,+∞)上为减函数,得到 c 大于 1,从而得到三个数的大小. 【解答】解:∵幂函数 y=x0.5 来判断,在(0,+∞)上为增函数, ∴1> ∴0<b<a<1 又∵对数函数 y=log0.3x 在(0,+∞)上为减函数 ∴log0.30.2>log0.30.3>1 >0.30.5>0

∴c>a>b 故选 C. 【点评】本题主要考查比较数的大小,一般来讲,幂的形式用幂函数或指数函数的单调性来 比较,对数形式用对数函数来解决,在此过程中往往用到与 0 或 1 这两个桥梁. 10.若函数 f(x)=kax﹣a﹣x(a>0 且 a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函 数 g(x)=loga(x+k)的图象是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由函数 f(x)=kax﹣a﹣x, (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数,又是增函数, 则由复合函数的性质,我们可得 k=1,a>1,由此不难判断函数的图象. 【解答】解:∵函数 f(x)=kax﹣a﹣x, (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是奇函数 则 f(﹣x)+f(x)=0 即(k﹣1) (ax﹣a﹣x)=0 则 k=1 又∵函数 f(x)=kax﹣a﹣x, (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是增函数 则 a>1 则 g(x)=loga(x+k)=loga(x+1) 函数图象必过原点,且为增函数 故选 C 【点评】若函数在其定义域为为奇函数,则 f(﹣x)+f(x)=0,若函数在其定义域为为偶函 数,则 f(﹣x)﹣f(x)=0,这是函数奇偶性定义的变形使用,另外函数单调性的性质,在公 共单调区间上:增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键. 11.关于函数 f(x)=2﹣x+lnx,下列说法正确的是( A.无零点 B.有且仅有一个零点 C.有两个零点 x1,x2,且(x1﹣1) (x2﹣1)>0 D.有两个零点 x1,x2,且(x1﹣1) (x2﹣1)<0 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题;导数的综合应用. 【分析】求 f′(x)=﹣1+ = )

,从而判断函数的单调性,结合 x→0 时,f(x)→﹣∞, (1)

=2﹣1+0=1>0,f(e2)=2﹣e2+2<0,从而确定函数有两个零点 x1,x2,且(x1﹣1) (x2﹣1) 0 < . 【解答】解:f′(x)=﹣1+ = ,

则 f(x)=2﹣x+lnx 在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 又∵x→0 时,f(x)→﹣∞,

f(1)=2﹣1+0=1>0, f(e2)=2﹣e2+2<0, 则有两个零点,且在 1 的两侧; 即有两个零点 x1,x2,且(x1﹣1) (x2﹣1)<0, 故选 D. 【点评】本题考查了利用导数确定函数的单调性及函数的零点的确定,属于基础题.

12.若

,且 αsinα﹣βsinβ>0,则下面结论正确的是(

)

A.α>β B.α+β>0 C.α<β D.α2>β2 【考点】函数奇偶性的性质;正弦函数的单调性. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】观察本题的形式,当角的取值范围是 时,角与其正弦值符号是相同的,

故 αsinα 与 βsinβ 皆为正,αsinα﹣βsinβ>0 可以得出|α|>|β|,故可以确定结论. 【解答】解:∵ ∴αsinα,βsinβ 皆为非负数 ∵αsinα﹣βsinβ>0, ∴αsinα>βsinβ ∴|α|>|β|, ∴α2>β2 故选:D 【点评】本题考查函数值的符号,要根据三角函数的定义来判定三角函数的符号再由相关的 不等式得出角的大小来,判断上有一定的思维难度. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.已知 cos(﹣ +α)=﹣ ,且 α∈(π, ) ,则 tanα= . ,

【考点】运用诱导公式化简求值;同角三角函数间的基本关系. 【专题】计算题;函数思想;转化法;三角函数的求值. 【分析】利用诱导公式化简已知条件,利用同角三角函数的基本关系式求解即可. 【解答】解:cos(﹣ 可得 sinα=﹣ .cosα= tanα= = . +α)=cos( )=﹣ ,且 α∈(π, =﹣ , ) ,

故答案为: . 【点评】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力. 14.已知 xlog32=1,则 4x﹣2x=6. 【考点】指数式与对数式的互化.

【专题】转化思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】先求出 x 的值,再利用对数的恒等式求出代数式的值. 【解答】解:∵xlog32=1, ∴x= ∴2x= =log23, =3;

∴4x﹣2x=22x﹣2x=32﹣3=6. 故答案为:6. 【点评】本题考查了对数运算性质的应用问题,也考查了对数恒等式的应用问题,是基础题 目. 15.已知 f(x)=x(1+|x|) ,则 f'(1)?f'(﹣1)=9. 【考点】导数的运算. 【专题】计算题. 【分析】写出分段函数,在不同区间内对函数求导,然后分别求 f′(1)和 f′(﹣1) . 【解答】解:f(x)=x(1+|x|)= ,

当 x≥0 时,f′(x)=(x2+x)′=2x+1,所以 f′(1)=2×1+1=3, 当 x<0 时,f′(x)=(x﹣x2)′=1﹣2x,所以 f′(﹣1)=1﹣2×(﹣1)=3, 所以 f′(1)?f′(﹣1)=3×3=9. 故答案为 9. 【点评】本题考查了导数的运算,考查了分段函数的求导问题,是基础题. 16.设函数 y=f(x)的图象与 y=2x+a 的图象关于直线 y=﹣x 对称,且 f(﹣2)+f(﹣4)=1, 则 a=2. 【考点】函数的零点与方程根的关系;函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】求出函数的解析式,利用由条件列出方程求解即可. 【解答】解:函数 y=f(x)的图象与 y=2x+a 的图象关于直线 y=﹣x 对称, 可得 f(x)=a﹣log2(﹣x) , 由 f(﹣2)+f(﹣4)=1, 可得:a﹣log22+a﹣log24=1, 解得 a=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查函数的解析式的应用,函数值的求法,考查计算能力. 三、解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.已知函数 f(x)= (Ⅰ)求实数 a 的值; 为偶函数.

(Ⅱ)记集合 E={y|y=f(x) ,x∈{﹣1,1,2}},λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣ ,判断 λ 与 E 的关系; (Ⅲ)若当 x∈[ , ]时,n≤f(x)≤m 恒成立,求 m﹣n 的最小值. 【考点】奇偶性与单调性的综合;函数奇偶性的性质;对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)根据偶函数的定义建立方程关系即可,求实数 a 的值; (Ⅱ)求出集合 E 以及 λ 的值,根据元素和集合的关系即可,判断 λ 与 E 的关系; (Ⅲ)判断函数的单调性,求出函数的最值,即可得到结论. 【解答】解: (Ⅰ)f(x)= = ,

若函数 f(x)为偶函数,则 f(﹣x)=f(x) ,即 即﹣(a+1)=a+1, 则 a+1=0,解得 a=﹣1; (Ⅱ)∵a=﹣1,∴f(x)= = =

=





则集合 E={y|y=f(x) ,x∈{﹣1,1,2}}={y|y=0 或 }={0, }, 又 λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣ =lg2(lg2+lg5)+lg5﹣ =lg2+lg5 ∴λ∈E; (Ⅲ)∵f(x)= ∴当 x∈[ ∴f( , =1﹣ , =1 = ,

]时,函数 f(x)为增函数, ) ,即 ≤f(x)≤ , .

)≤f(x)≤f(

∴当 m= ,n= 时,m﹣n 取得最小值为

【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,以及对数的基本运算,综合性较强,涉 及的知识点较多. 18.已知函数 f(x)=log3(ax+b)的部分图象如图所示. (1)求 f(x)的解析式与定义域; (2)函数 f(x)能否由 y=log3x 的图象平移变换得到; (3)求 f(x)在[4,6]上的最大值、最小值.

【考点】对数函数的图像与性质;函数的图象与图象变化;对数函数的值域与最值. 【专题】计算题. 【分析】 (1)把图象中 A、B 两点坐标代入函数 f(x)=log3(ax+b) ,求出 a、b 的值,即可 得到 f(x)的解析式与定义域. (2)可以,由 f(x)=log3(x﹣ )+log32,故把 y=log3x 的图象向右平移 个单位,再向上 平移 log32 个单位得到. (3)由函数的单调性求出最大值和最小值. B 两点坐标代入函数 ( f x) =log( 【解答】 解: (1) 把图象中 A、 得 3 ax+b) 故 f(x)=log3(2x﹣1) ,定义域为( ,+∞) . (2)可以,由 f(x)=log3(2x﹣1)=log3[2(x﹣ )]=log3(x﹣ )+log32, ∴f(x)的图象是由 y=log3x 的图象向右平移 个单位,再向上平移 log32 个单位得到的. (3)由函数的单调性可得,最大值为 f(6)=log311,最小值为 f(4)=log37. 【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质,函数图象的变换,利用函数的单调性求函数 的最值,属于基础题. , 解得 .

19.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,﹣ ,相邻最高点坐标为 (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求函数 f(x)的单调增区间. .

<φ<

)的图象与 x 轴交点为

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;复合函数的单调性. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)根据已知依次确定 A,ω,φ 的值,即可求函数 f(x)的表达式; (2)由复合函数的单调性及定义域可求 【解答】解: (1)从图知,函数的最大值为 1, 则 A=1 函数 f(x)的周期为 T=4× 又 x=﹣ ∴sin[2× 时,y=0, φ]=0,而﹣ <φ< ,则 φ= ) ; , =π,而 T= ,则 ω=2, 的单调增区间.

∴函数 f(x)的表达式为 f(x)=sin(2x+

(3)由复合函数的单调性及定义域可求 得 所以 的单调增区间为

的单调增区间:由 , ,k∈Z.

【点评】本题主要考察了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,复合函数的单调性的 求法,属于中档题. 20.已知 A={α|2cos2α﹣3cosα+1≤0,α∈R},B={α|2sinα>1,α∈R}, (1)求集合 A∩B; (2)若对任意 x∈A∩B,都有 恒成立,求 m

的取值范围. 【考点】交集及其运算;三角函数中的恒等变换应用. 【专题】集合. B 中的 α 的范围, 【分析】 (1) 分别求出关于 A、 从而求出 A∩B, (2) 问题转化为对任意 x∈A∩B, 都有 m> ﹣ (cosx﹣ )2 恒成立,求出即可. 【解答】解(1)A={α|2cos2α﹣3cosα+1≤0,α∈R} ={α|(2cosα﹣1) (cosα﹣1)≤0,α∈R} ={α| ≤cosα≤1,α∈R} ={α|2kπ﹣ ≤α≤2kπ+ ,α∈R},

B={α|2sinα>1,α∈R}={α|sinα>0}={α|2kπ<α<2kπ+π}, ∴A∩B={α|2kπ<α≤2kπ+ (2)由 ?cos2x﹣4sin( ?cos2x﹣2sin( + )cos( +x)+m>0 + )+m>0 ,k∈Z},

?cos2x﹣2cosx+m>0 ?2cos2x﹣1﹣2cosx+m>0 ?m> ﹣2(cosx﹣ )2

∴若对任意 x∈A∩B,都有 即对任意 x∈A∩B,都有 m> ﹣2(cosx﹣ )2 恒成立, ∵x∈(2kπ,2kπ+ ],∴cosx∈[ ,1) ,

恒成立,

∴0≤2(cosx﹣ )2≤ , ∴m> . 【点评】本题考查了集合的运算,考查三角函数的运算,考查函数恒成立问题,本题是一道 中档题. 21.2012 年中秋、国庆长假期间,由于国家实行 6 座及以下小型车辆高速公路免费政策,导 致在长假期间高速公路出现拥堵现象.长假过后,据有关数据显示,某高速收费路口从上午 6 点到中午 12 点,车辆通过该收费站的用时 y(分钟)与车辆到达该收费站的时刻 t 之间的函 数关系式可近似地用以下函数给出:

y=

求从上午 6 点到中午 12 点,通过该收费站用时最多的时刻. 【考点】函数最值的应用;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由已知中的分段函数,利用导数法,可以判断出第一段上函数的单调性,进而求出 第一段上的最值;利用基本不等式,可以求出第二段函数的最值,根据二次函数的图象和性 质,可以判断第三段函数的最值,综合可得答案. 【解答】解:当 t∈[6,9)时, 得: 故:f(t)在(6,8)单调递增,在(8,9)单调递减, 因此,f(t)max= 当 t∈[9,10]时, 当且仅当 , ;…. .

即:t=24?[9,10].因此 f(t)在[9,10]单调递减, 所以, .…

当 t∈(10,12]时,f(t)=﹣3t2+66t﹣345,对称轴为 t=11,

故 f(t)max=f(11)=18.



综上所述:



故:通过收费站用时最多的时刻为上午 8 点.…..(13 分) 【点评】本题考查的知识点是函数的最值,分段函数的最值,导数求函数的最值,基本不等 式求最值,难度较大. 22.设 f(x)=lnx+ax(a∈R 且 a≠0) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 a=1,证明:x∈[1,2]时,f(x)﹣3< 成立. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】导数的综合应用. 【分析】 (Ⅰ)求函数的导数,即可讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 a=1,构造函数,利用导数即可证明:x∈[1,2]时,f(x)﹣3< 成立. 【解答】解: (Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞) , 函数的 f(x)的导数 f′(x)= ,

当 a>0 时,f′(x)>0,此时函数单调递增, 当 a<0 时,f′(x)= = , , , )上增函数,则( ,+∞)是减函数;

由 f′(x)>0,解得 0<x< 由 f′(x)>0,解得 x< ∴函数 f(x)在(0,

(Ⅱ)若 a=1,f(x)=lnx+x,要证明:x∈[1,2]时,f(x)﹣3< 成立. 则只需要证明 xlnx+x2﹣3x﹣1<0, 则 g′(x)=lnx+2x﹣2, ∵g′(1)=0, ∴设 h(x)=lnx+2x﹣2,h′(x)= ,x∈[1,2],

∴h(x)在 x∈[1,2]上单调递增,∴g′(1)≤g′(x)≤g′(2) , 0 g x 2+ln2 ≤ ′ ≤ 即 ( ) , ∴g(x)在[1,2]上单调递增,∴g(x)≤g(2)=2ln2﹣3<0, ∴当 x∈[1,2]时,xlnx+x2﹣3x﹣1<0 恒成立,即原命题得证. 【点评】本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系,综合考查导数的应用.


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