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第6讲 正弦定理和余弦定理


卓越个性化教案
第6讲
【2013 年高考会这样考】 1.考查正、余弦定理的推导过程. 2.考查利用正、余弦定理判断三角形的形状. 3.考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法. 【复习指导】 1.掌握正弦定理和余弦定理的推导方法.

GFJW0901

正弦定理和余弦定理

2.通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换,解题过程中做到正余弦定理的 优化选择.

基础梳理 a b c 1.正弦定理:sin A=sin B=sin C=2R,其中 R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可 以变形为: (1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; a b c (3)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R等形式,以解决不同的三角形问题. 2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccos_A,b2=a2+c2-2accos_B,c2=a2+b2-2abcos_C.余 b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 弦定理可以变形为:cos A= 2bc ,cos B= 2ac ,cos C= 2ab . 1 1 1 abc 1 3.S△ABC=2absin C=2bcsin A=2acsin B= 4R =2(a+b+c)· r(R 是三角形外接圆半径,r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R,r. 4.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知 a,b,A,则

A 为锐角

A 为钝角或

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直角 图形 关系 式 解的 个数

a<bsin A

a=bsin A

bsin A<a<b

a≥b

a>b

a≤b

无解

一解

两解

一解

一解

无解

一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大, 即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. 两类问题 在解三角形时,正弦定理可解决两类问题: (1)已知两角及任一边,求其它边或角;(2) 已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注 意区分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角; (2)已知 三边,求各角. 两种途径 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.

双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)在△ABC 中,A=60° ,B=75° ,a=10,则 c 等于( A.5 2 10 6 C. 3 B.10 2 D.5 6 ). ).

sin A cos B 2.在△ABC 中,若 a = b ,则 B 的值为( A.30° B.45° C.60° D.90°

3.(2011· 郑州联考)在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于(

).

2

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A.30° B.45° C.60° D.75° ). 1 4.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C=3,则△ABC 的面积为( A.3 3 B.2 3 C.4 3 D. 3

5.已知△ABC 三边满足 a2+b2=c2- 3ab,则此三角形的最大内角为________.

考向一

利用正弦定理解三角形

【例 1】?在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° .求角 A,C 和边 c.

π 【训练 1】 (2011· 北京)在△ABC 中,若 b=5,∠B=4,tan A=2,则 sin A=________; a=________.

考向二

利用余弦定理解三角形

cos B b 【例 2】?在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且cos C=- . 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积.

【训练 2】 (2011· 桂林模拟)已知 A,B,C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分别为 a,

3

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A b,c,且 2cos2 2 +cos A=0. (1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积

考向三

利用正、余弦定理判断三角形形状

【例 3】?在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,试判断△ABC 的形状.

a b c 【训练 3】 在△ABC 中,若cos A=cos B=cos C;则△ABC 是( A.直角三角形 C.钝角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形

).

考向三

正、余弦定理的综合应用

π 【例 3】?在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C=3. (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC 的面积.

【训练 3】 (2011· 北京西城一模)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c, 4 且 cos B=5,b=2.

4

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(1)当 A=30° 时,求 a 的值; (2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值.

阅卷报告 4——忽视三角形中的边角条件致错 【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大,但稍不注意,会出现“会而 不对,对而不全”的情况,其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】 解三角函数的求值问题时,估算是一个重要步骤,估算时应考虑三角形 中的边角条件. 【示例】?(2011· 安徽)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3, b= 2,1+2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高. 错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理,产生了增根. 实录 由 1+2cos(B+C)=0, 1 π 知 cos A=2,∴A=3, a b 根据正弦定理sin A=sin B得: bsin A 2 π 3π sin B= a = 2 ,∴B=4或 4 . 以下解答过程略. 正解 ∵在△ABC 中,cos(B+C)=-cos A, π ∴1+2cos(B+C)=1-2cos A=0,∴A=3. a b 在△ABC 中,根据正弦定理sin A=sin B,

5

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∴sin B= bsin A 2 = a 2.

π 5 ∵a>b,∴B=4,∴C=π-(A+B)=12π. ∴sin C=sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A 6+ 2 2 1 2 3 = 2 ×2+ 2 × 2 = 4 . ∴BC 边上的高为 bsin C= 2× 6+ 2 3+1 = 4 2 .

【试一试】 (2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2 A= 2a. b (1)求a; (2)若 c2=b2+ 3a2,求 B. [尝试解答] (1)由正弦定理得,

sin2Asin B+sin Bcos2A= 2sin A,即 sin B(sin2A+cos2A)= 2sin A. b 故 sin B= 2sin A,所以a= 2. (2)由余弦定理和 c2=b2+ 3a2,得 cos B= 由(1)知 b2=2a2,故 c2=(2+ 3)a2. 1 2 可得 cos2B=2,又 cos B>0,故 cos B= 2 ,所以 B=45° . ?1+ 3?a . 2c

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