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哈尔滨三中2015年第一次模拟考试理科数学答案


哈尔滨三中 2015 年第一次模拟考试 数学试卷(理工类)答案及评分标准
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 D 5 B 6 B 7 C 8 D 9 B 10 A 11 B 12 B

二、填空题: 13. 1022 三、解答题: 17.解:(Ⅰ) sin 2 A ? ( 14. 8 ? (2 ? 2 5)? 15. 4 16. (

?3, ? ]

3 4

3 1 3 1 cos B ? sin B) ? ( cos B ? sin B) ? sin 2 B 2 2 2 2

?

3 3 (cos 2 B ? sin 2 B ) ? , 4 4
3 ? ,? A ? . 3 2

? sin A ?

…………………………

6分

(Ⅱ) AB ? AC ? b cos A ? 12 ,? bc ? 24 , 又 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 3bc ,? b ? c ? 10 ,

? b ? c ,? b ? 4 , c ? 6 .…………………………
18.解:(Ⅰ) (an?1 ? 1)(an ? 1) ? 3?(an ? 1) ? (an?1 ? 1)? ,

12 分

?

1 a n ?1 ? 1

?

1 1 1 ? ,即 bn ?1 ? bn ? ,??bn ?是等差数列.………6 分 3 an ? 1 3 1 2 n ? ,………………………… 3 3
10 分

(Ⅱ)? b1 ? 1 ,? bn ?

an ? 1 ?

3 n?5 ,? a n ? .………………………… n?2 n?2
理科答案 1

12 分

19. (Ⅰ)因为 D 、 E 分别是边 AC 和 AB 的中点, 所以 ED // BC , 因为 BC ? 平面 BCH , ED ? 平面 BCH , 所以 ED // 平面 BCH 因为 ED ? 平面 BCH , ED ? 平面 AED ,平面 BCH ? 平面 AED ? HI 所以 ED // HI 又因为 ED // BC , 所以 IH // BC . …………………………………… 4 分

(Ⅱ) 如图,建立空间右手直角坐标系,由题意得,

z

A

D(0,0,0) , E (2,0,0) , A(0,0,2) ,
G
I H
D

F (3,1,0) , E (0,2,0) , H (0,0,1) ,
F

x
E

EA ? (?2,0,2) , EF ? (1,1,0) ,
B

y

C

CH ? (0,?2,1) , HI ?

1 DE ? (1,0,0) , 2

设平面 AGI 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则

? ?? x1 ? z1 ? 0 ? EA ? n1 ? 0 ? ,? ,令 z1 ? 1 ,解得 x1 ? 1 , y1 ? ?1 ,则 n1 ? (1,?1,1) ? ? ? x ? y ? 0 EB ? n ? 0 1 1 ? 1 ?
设平面 CHI 的一个法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,则

理科答案

2

? ?? 2 y1 ? z 2 ? 0 ?CH ? n2 ? 0 ? ,? ,令 z 2 ? ?2 ,解得 y1 ? ?1 ,则 n2 ? (0,?1,?2) ? ? ? x ? 0 HI ? n ? 0 2 ? 2 ?

cos ? n1 , n2 ??

1? 2 3? 5

?

15 , 15
15 15

所以二面角 A ? GI ? C 的余弦值为

…………………………… 8 分

(Ⅲ)法(一) AF ? (3,1,?2) ,设 AG ? ? AF ? (3?, ?,?2?)

GH ? AH ? AG ? (0,0,?1) ? (3?, ?,?2?) ? (?3?,??,2? ? 1)
则 GH ? n2 ? 0 ,解得 ? ?

2 , 3

AG ?

2 2 2 2 14 AF ? 3 ? 1 ? (?2) 2 ? 3 3 3

………………… 12 分

法(二)取 CD 中点 J ,连接 AJ 交 CH 于点 K ,连接 HJ , ?HKJ 与 ?CKA 相似, 得

AK 2 2 14 ? 2 ,易证 HI // GK ,所以 AG ? AF ? …………… 12 分 KJ 3 3

20. 解: (Ⅰ)因为 ?OAB 的面积为

8 6 4 6 ,所以 y B ? ,……………2 分 3 3

代入椭圆方程得 B( ,
2

4 4 6 ), 3 3

抛物线的方程是: y ? 8x ……………4 分 (Ⅱ) 存在直线 l : x ? 11y ? 4 ? 0 符合条件 解:显然直线 l 不垂直于 y 轴,故直线 l 的方程可设为 x ? my ? 4 , 与 y ? 8x 联立得 y ? 8my ? 32 ? 0 .
2 2

理科答案

3

设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 8m, y1 ? y 2 ? ?32

1 OC OD sin ?COD OC OD y y 32 S2 2 .……………6 分 ? ? ? ? 1 2 ? yE yF S1 1 OE OF sin ?EOF OE OF yE yF 2
由直线 OC 的斜率为

y1 x2 y2 8 8 ? ? 1 联立得 x ,与 ? ,故直线 OC 的方程为 y ? 16 12 y1 x1 y1
y y 1 1 2 y E ( 1 ? ) ? 1 ,同理 y F ( 2 ? ) ? 1 , 64 ? 16 12 64 ? 16 12
2 2 2

所以 yE 2 ? y F (
2

2

y1 y 1 1 ? )( 2 ? ) ? 1 ………8 分 64 ? 16 12 64 ? 16 12
36 ? 256 121 ? 48m 2
2

2

2

可得 yE 2 ? yF ? 要使

S 2 77 322 (121 ? 48m2 ) ? 77 ? ,只需 ? ? ? ? ………10 分 S1 3 36 ? 256 ? 3?
2

即 121 ? 48m ? 49 ?121 解得 m ? ?11 , 所以存在直线 l : x ? 11y ? 4 ? 0 符合条件………………………… 12 分 21.解:(Ⅰ) f ?( x) ? 2a( x ? 1) ln(x ? 1) ? a( x ? 1) ? b ,

? f ?(0) ? a ? b ? 0 , f (e ?1) ? ae2 ? b(e ?1) ? a(e2 ? e ? 1) ? e2 ? e ? 1
? a ? 1 , b ? ?1 .
(Ⅱ) f ( x) ? ( x ? 1) ln(x ? 1) ? x ,
2

………………………………4 分

设 g ( x) ? ( x ? 1) ln(x ? 1) ? x ? x , ( x ? 0) , g ?( x) ? 2( x ? 1) ln(x ? 1) ? x
2 2

( g ?( x))? ? 2ln( x ? 1) ? 1 ? 0 ,? g ?( x ) 在 ?0,??? 上单调递增,
理科答案 4

? g ?( x) ? g ?(0) ? 0 ,? g ( x) 在 ?0,??? 上单调递增,? g ( x) ? g (0) ? 0 .

? f ( x) ? x 2 .………………………………8 分
(Ⅲ)设 h( x) ? ( x ? 1) 2 ln(x ? 1) ? x ? mx2 ,

h?( x) ? 2( x ? 1) ln(x ? 1) ? x ? 2mx ,
(Ⅱ) 中知 ( x ? 1) 2 ln(x ? 1) ? x 2 ? x ? x( x ? 1) ,? ( x ? 1) ln(x ? 1) ? x ,

? h?( x) ? 3x ? 2mx,
① 当 3 ? 2m ? 0 即 m ?

3 时 , h ?( x) ? 0 , ? h( x) 在 ?0,??? 单 调 递 增 , 2

? h( x) ? h(0) ? 0 ,成立.
②当 3 ? m ? 0 即 m ?

3 时, h?( x) ? 2( x ? 1) ln(x ? 1) ? (1 ? 2m) x , 2
2 m?3 2

h??( x) ? 2 ln(x ? 1) ? 3 ? 2m ,令 h??( x) ? 0 ,得 x0 ? e

?1 ? 0 ,

当 x ? ?0, x0 ? 时 , h?( x) ? h?(0) ? 0 , ? h( x) 在 ?0, x0 ? 上 单 调 递 减

? h( x) ? h(0) ? 0 ,不成立.
综上, m ?

3 .………………………………12 分 2

22. (Ⅰ)由 ? PAD ? ?PCB , ?A ? ?A ,得 ?PAD 与 ?PCB 相似, 设 PA ? x, PD ? y 则有

x y ? ? y ? 2x , 2 y 4x
所以

AD x 2 ………………………………5 分 ? ? BC 2 y 4
5

理科答案

(Ⅱ) ?C ? 90 ,

PA ? 4, PC ? 2 2,BC ? 2 2 ………………………………10 分

23.解:(Ⅰ)直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0 曲线 C 的直角坐标系下的方程为 ( x ?

2 2 2 2 ) ? (y ? ) ?1 2 2

圆心 (

5 2 2 2 ? 5 ?1 ,? ) 到直线 x ? y ? 4 2 ? 0 的距离为 d ? 2 2 2

所以直线 l 与曲线 C 的位置关系为相离. ……………5 分 (Ⅱ)设 M (

2 2 ? cos ? , ? ? sin ? ) , 2 2

则 x ? y ? cos ? ? sin ? ?

? 2 sin(? ? ) ? ? ? 2, 2 ? ? .……………10 分 4 ?

24. (Ⅰ)① 当 x ? ?

1 时, ?1 ? 2 x ? x ? 2 ? x ? ?3 ,所以 x ? ?3 2 1 1 ② 当 ? ? x ? 0 时, 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? ,所以为 ? 2 3 ③ 当 x ? 0 时, x ? 1 ? 2 ? x ? 1 ,所以 x ? 1
综合①②③不等式的解集为 ? ??, ?3? ??1, ??? ……………5 分

(Ⅱ)即 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? a ? x ?

1 a ? x ? 1? 2 2
1 a ? 1 ? ? a ? ?3 …………………10 分 2 2

由绝对值的几何意义,只需 ?

理科答案

6


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