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广东省梅县东山中学10-11学年高一上学期期中考试(数学)word版


广东梅县东山中学 2010-2011 学年上学期期中考试 高一数学试题
命题人:高一数学组第二组 2010-11-8 说明:1.本试卷共 20 小题,满分 100 分。考试用时 120 分钟; 2.所有答案都必须写在答题卡上对应区域内,写在试卷上和其他地方的答案无效。 .. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分。在每小题给出的四个选项中, 只

有一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U ? R , 则正确表示集合 M ? {?1,0,1} 和 N ? ?x | ?2 ? x ? 2, x ? Z? 关系的 Venn 图是

2.若指数函数 y ? (2a ? 3) x 在 R 上是增函数, 则实数 a 的取值范围是 A. (??, 2) B. (??, 2] C. (2, ??) D. [2, ??)

3.已知集合 P ? [0, 4] , Q ? [0, 2] , 下列不能表示从 P 到 Q 的映射是 .. A. f : x ? y ?

1 x 2

B. f : x ? y ?

1 x 3

C. f : x ? y ?

2 x 3

D.

f :x?y? x
4.函数 f ( x) ? A. [?1, 2]

x ? 2 ? log 2(1 ? x) 的定义域是
B. [?2,1) C. [1, ??) D. (?2,1)

?2e x ?1 , x ? 2, ? 5.设 f ( x) ? ? 则 f ( f (2)) ? 2 ?log 3 ( x ? 1), x ? 2. ?
A.0 B.1 C.2
0.5

D.3 , 则 D. c ? b ? a

6. 已知 a ? log0.2 0.3 , b ? log1.2 0.8 , c ? 1.5 A. a ? b ? c B. a ? c ? b

C. b ? a ? c

7.函数 f ( x) ? ( ) A. [1, ??)

1 2

x2 ? 2 x

的减区间是 C. [2, ??) D. [?2, ??)

B. [?1, ??)

8.函数 y ?

lg | x | 的图象大致是 x

A.

B.

C.

D.

9.已知偶函数 f ( x ) 的定义域是 R , 且当 x ? 0 时, f ( x) ? ?3x2 ? 2x ?1 , 则当 x ? 0 时,

f ( x) ?
A. ?3x ? 2 x ? 1
2

B. 3x ? 2 x ? 1
2

C. 3x ? 2 x ? 1
2

D.

?3x2 ? 2 x ? 1
2 10.在实数运算中, 定义新运算 ? ” “ 如下: 当 a ? b 时, a ? b ? a ; 当 a ? b 时, a ? b ? b .

则函数 f ( x) ? (1 ? x) ? (2 ? x) (其中 x ? [?2, 2] )的最大值是( 法) A. 0

)“ ? ”仍为通常的减 (

B. 2

C. 4

D. 6

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分。
2 11.已知 f ( x ? 1) ? x , 则 f ( x) ?

12.计算 log9 25? log5 3 ? 13.已知 0 ? x ? 2 , 则函数 y ? 2 2 x ? 3 ? 2 x ? 4 的值域是 .. 14.函数 f (x) 定义域中任意的 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 给出下列结论: ① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ③ ② f ( x1 x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ④ f(

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2
x

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2
(填序号)

当 f ( x) ? e 时, 上述结论正确的有

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 58 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

15.( 10 分) 已知集合 P ? {x | 4 ? x ? 7} , Q ? {x | ?2 ? x ? 5} , 求 P ? Q 和 CR ( P ? Q) .

16.(10 分) (Ⅰ)求值: log8 64 ? 3 (Ⅱ)解关于 x 的方程: 2 ? 2
x ?x

log3 2

2 3 1 ? ( 3 ? 2011)0 ? (? )?1 ? (3 ? ) 3 ; 3 8

? 5 ? 2? x ? 3 .

17.(10 分)已知函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 . (Ⅰ)用分段函数的形式表示该函数; .... (Ⅱ)在右边所给的坐标系中画出该函数的图象; (Ⅲ)直接写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间(全部不要求证明) .

y

x O

18.(10 分) 已知函数 f ( x) ?

2x ? 1 . 2x ? 1

(Ⅰ)求证: f ( x ) 是奇函数; (Ⅱ)用单调性的定义证明: f ( x ) 在 R 上是增函数. ......

19.(10 分) 已知函数 f ? x ? 的定义域为 ?0 ,??? , 对任意 x, y ? ?0 ,??? 都有

? x? f ? ? ? f ?x ? ? f ? y ? , 且当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 . ? y? ? ?
(Ⅰ)求证: f ?1? ? 0 ; (Ⅱ)求证: f ( x ) 在 ?0 ,??? 上是增函数; (Ⅲ)若 f ?2? ? 1, 求不等式 f ?x ? ? f ?

? 1 ? ? ? 2 的解集. .. ? x ? 3?

20.(8 分)已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a, b, c ? R, a ? 0) 且同时满足下列条件:
2

① f (?1) ? 0 ; ②对任意实数 x ,都有 f ( x) ? x ? 0 ;

③当 x ? (0, 2) 时, 都有

f ( x) ? (

x ?1 2 ) . 2

(Ⅰ)求 f (1) 的值; (Ⅱ)求 a, b, c 的值; (Ⅲ)若当 x ?[?1,1] 时, g ( x) ? f ( x) ? mx(m 是实数)是单调函数, 求 m 的取值范围.

广东梅县东山中学 2010-2011 学年上学期期中考试 高一数学试题答案
一、选择题 1-5:DCCBC 6-10:CADDB 二、填空题 11. f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 三、解答题 15.(10 分) 解: P ? Q ? [?2,7] (4 分) (6 分) (10 分) 12. 1 13. [ ?
25 , 0] 4

14. ①③④

P ? Q ? [4,5]
CR (P ? Q) ? ? ??, 4? ? ?5 , ???

16.(10 分) 解: ) 2 (5 分)(Ⅱ (Ⅰ )设 t ? 2x , t ? 0 ,则

1 5 t ? ? ? 3 ,所以 t 2 ? 3t ? 4 ? (t ? 4)(t ? 1) ? 0 , t t
x 2 又 t ? 0 ,于是 t ? 4 ,从而 2 ? 4 ? 2 ,故, x ? 2

(10 分)

?3, x ? ?2, ? 17.(10 分)解:(Ⅰ) f ( x ) ? ? ?2 x ? 1, ?2 ? x ? 1, (3 分) ? ?3, x ? 1. ?
(等号取在哪一部分均可) (Ⅱ)如图 (6 分)

3 -2 -3 2

(Ⅲ) f ( x ) 的定义域是 R; f ( x ) 的值域为 [?3,3] ;

f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数; f ( x) 的单调减区间有 [?2,1] . (10 分)

18.(10 分)解:(Ⅰ) f ( x ) 的定义域是 R ,对任意的 x ? R ,都有(2 分,其中“任意”1 分)

2? x ? 1 (2? x ? 1) ? 2x 1 ? 2 x 2x ?1 f ( ? x) ? f ( x) ? ? x ? ? ?? x ? ? f ( x) 2 ? 1 (2? x ? 1) ? 2 x 1 ? 2 x 2 ?1
故, f ( x) 是奇函数 (Ⅱ) f ( x) ?
x x

(5 分)

2 ?1 2 ? 1 ? 2 2 (可不进行分离常数, 分离常数计算较简单) ? ? 1? x 2x ? 1 2x ? 1 2 ?1
(7 分, 其中“任意”1 分)

设 x1 , x2 是 R 上的任意两个值, 且 x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (1 ?

2 2 2 2 2(2 x1 ? 2 x2 ) ) ? (1 ? x2 ) ? x2 ? x1 ? x1 2x1 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 x2 ? 1)

x x 因为 x1 ? x2 , 2 ? 1 ,于是 2 1 ? 2 2 ,从而, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

故, f ( x ) 在 R 上为增函数

(10 分)

19.(10 分)证明: (Ⅰ)令 x ? y ? 1 ,则有 f (1) ? f (1) ? f (1) ? 0

(2 分)

(Ⅱ)设 x1 , x2 是 (0, ??) 上的任意两个值, 且 x1 ? x2 ,则 (4 分, 其中“任意”1 分)

x2 x ? 1 , 于是 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 x1
故, f ( x ) 在 ?0 ,??? 上是增函数. (Ⅲ)解: 令 x ? 4, y ? 2 ,则 f (2) ? f (4) ? f (2) ,于是 f (4) ? 2 f (2) ? 2 又∵ f ( x ) 在(0,+ ? )上为增函数,∴原不等式
?x ? 0 ? 1 ?x ? 3 1 ? ? f ( x) ? f ( ) ? f (4) ? ? ?0 ?? ?3? x ? 4 x ?3 ? x( x ? 3) ? 4 ?x ?3 ? f [ x ? ( x ? 3)] ? f (4) ?

(6 分)

(7 分) (8 分)

(9 分)

故, 原不等式解集为 (3, 4] 20.(8 分)解: (Ⅰ)由②③,令 x ? 1 分别得 f (1) ? 1 , f (1) ? 1 ,故 f (1) ? 1 (Ⅱ)由①,知 f (?1) ? a ? b ? c ? 0 ,由(Ⅰ)知 f (1) ? a ? b ? c ? 1 ,解得
a?c ? 1 1 ,b ? 1 , c ? ? a 2 2 2

(10 分) (2 分)

2 由②知,对任意实数 x ,都有 f ( x) ? x ? ax ? (b ?1) x ? c ? 0 ,于是, a ? 0 ,且

? ? (b ?1)2 ? 4ac ? 0 ,化简得, ac ? 1 , c ? 0 , 而
16

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,解得 a ? c ? , ac ? a ( ? a ) ? ?a 2 ? a ? ? ? ?(a ? ) 2 ? ? ,从而, ac ? 4 16 2 2 16 16 4 16 16 1 (5 分) b ? (用基本不等式,相应给分) 2 1 1 1 (Ⅲ)由(Ⅱ)知, g ( x) ? x 2 ? ( ? m) x ? ,而 g ( x) 在 [?1,1] 上是单调函数,从而 4 2 4

1 1 ?m ?m 或? 2 2 ? 1 ,解得 m ? 1 或 m ? 0 ,故, m 的取值范围是 (??, 0] ? [1, ??) (8 分) ? ? ?1 1 1 4 4


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