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1.2.1排列(三)12112803


1.2.3 排列(3)

例1. 5个人站成一排: (l) 共有多少种不同的排法? (2)其中甲必须站在中间有多少种不同排法? (3)其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法? (4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法? (5)其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的 排法? (6)其中甲不站排头,乙不站排尾有多少种不同的排 法? 解:(1)由于没有条件限制,5个人可作全排列,
5 共有 A5 ? 120 种排法.

(2)由于甲的位置已确定,其余4人可任意排列,
4 有 A4 ? 24 种排法.

例1. 5个人站成一排: (3)其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法? (4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法? 解:(3)因为甲、乙两人必须相邻,可视甲、乙在一起 2 4 A A 而甲、乙又有 2 种 为一个元素与其他3人有 4 种排法, 2 4 根据分步计数原理共有 A2 排法, ? A4 ? 48 种排法.
3 A (4)甲、乙两人外的其余3人有 3 种排法,

要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置,有 A4 种排法 所以共有 A ? A ? 72 种排法 ;
3 3 2 4

2

5 2 4 或 A5 ? A2 ? A4 ? 72 种排法 .

例1. 5个人站成一排: (5)其中甲,乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法? (6)其中甲不站排头,乙不站排尾有多少种不同的排法?

解:(5)甲、乙两人不站排头和排尾,则这两个位置 3 2 可从其余3人中选2人来站有 剩下的人有A3 种排法, A3 种排法, 共有 A3 ? A3 ? 36 种排法.
2 3

例1. 5个人站成一排: (6)其中甲不站排头,乙不站排尾有多少种不同的排法?

可将问题分为两类: 一类是甲站在排尾, 解: 4 其余的人可全排列, 有 A4 种排法; 1 另一类是甲既不站在排尾也不站排头 有 A3 种站法,
乙不站排尾 有 A
1 其余的人可全排列, 有 3 种站法,
3 3
1 1 3 故这一类有 A3 ? A3 ? A3 种排法.

A 种排法,

4 1 1 3 由加法原理知: 共有 A4 ? A3 ? A3 ? A3 ? 78 种排法.

4 解法2:甲站排头有 A4 种排法, 乙站排尾有

A

4 种排法, 4

但两种情况都包含了“甲站排头,且乙站排尾”的情况, 有A
3 5 故共有 种排法, A 5 3
4 3 ? 2 A4 ? A3 ? 78种排法.

排列的应用题可分两大类: ①无条件限制的排列问题: 解题关键:⑴确定该题是否是排列问题 ⑵正确地找出n、m的值 ⑶准确地运用两个原理 ②有条件限制的排列问题: 主要表现为:某位置上不能排某元素,或某元 素只能排在某位置上。

一般地对于有限制条件的排列应用题,
可以有两种不同的计算方法: (l)直接计算法

排列问题的限制条件一般表现为:某些元素不能在某个 (或某些)位置、某个(或某些)位置只能放某些元素,因此 进行算法设计时,常优先处理这些特殊要求.便有了:先处理 特殊元素或先处理特殊位置的方法.
(2)间接计算法 先不考虑限制条件,把所有的排列种数算出,再从中减去 全部不符合条件的排列数,间接得出符合条件的排列种数.这 种方法也称为“排除法”.在排除时,特别注意要不重复,不 遗漏(排尽). 两者的繁简相差无几,有时相差很大,这时只要选择比较 简捷的一种即可.

例2.在 7名运动员中选出 4名组成接力队,参加 4×100 米接力赛,那么甲、乙两人都不跑中间两棒的 安排方法有多少种? 解:可将接力队分为“甲、乙两人都不在内”“甲、 乙两人只有一人在内”“甲、乙两人都在内”三种情 况: 4 ①“甲、乙两人都不在内”有A5 种方 法. 1 1 3 ②“甲、乙两人只有一人在内”有 A2 A2 A5 种方法.
2 2 ③“甲、乙两人都在内”有 A2 A5 种方法.
4 1 1 3 2 2 因此,共有 A5 ? A2 A2 A5 ? A2 A5 ? 400种安排方法.

例3. 用数字 0, l, 2, 3, 4, 5 组成无重复数字的数.
(l)能组成多少个四位偶数? (2)能组成多少个为5的倍数5位数?

(3)能组成多少个比1325大的四位数? (4)若把所组成的全部四位数从小到大排列起来,1325是 第几个数? (5)能组成多少个奇数在奇数位上的六位数? 解: (1)符合条件的四位偶数可分为三类: 3 第一类:0在个位时有 A5 个; 第二类:2在个位时有 A1 ? A2 个; 第三类:4在个位时有
3 5 1 4 2 4 1 4 2 4

A ?A

由分类计数原理得,共有四位偶数

4 1 4

4 2 4

个.

A ? A ? A ? A ? A = 156 (个)

例3. 用数字 0, l, 2, 3, 4, 5 组成无重复数字的数.

(2)能组成多少个为5的倍数5位数?
解: (2)符合条件的可分为二类: 第一类:0在个位时有 A 个;
1 3 第二类:5在个位时有 A4 个; ? A4

4 5

由分类计数原理得,符合条件的五位数

A ?A ?A
4 5 1 4

3 4=

216 (个)

例3. 用数字 0, l, 2, 3, 4, 5 组成无重复数字的数.

(3)能组成多少个比1325大的四位数?
解: (3)符合条件的可分为三类:
1 3 A ? A 第一类:千位数字为 2、3、4、5 时有 4 5 个;

1 2 A ? A 第二类:千位百位数字为14、15时有 2 4 个;

第三类:千位百位十位数字为134、135时有 A2 ? A3 个;
1 1

由分类计数原理得,符合条件的数共有

A ? A ? A ? A ? A ? A = 270 (个)
1 4 3 5 1 2 2 4 1 2 1 3

例3. 用数字 0, l, 2, 3, 4, 5 组成无重复数字的数. (4)若把所组成的全部四位数从小到大排列起来,1325是 第几个数?

(4)用数字 0, l, 2, 3, 4, 5 组成无重复数字的四位数有: 解:

A A ? A ? A = 300 (个) ,
1 5 3 5
4 6 3 5

由(2)知大于1325的四位数有270个, 故1325应是第30个四位数.

例3. 用数字 0, l, 2, 3, 4, 5 组成无重复数字的数. (5)能组成多少个奇数在奇数位上的六位数字? (5)先将 1,3,5 在奇数位上排列,有 A 解:
3 3

3 3

种,
3 3

再将其余3个偶数排在剩余3个位置上排列,共有 A 种, 由分步计数原理得,共有 A3 A3 种排法,

而其中0在首位上时不合题意,有 A A 种,
3 3 3 2 所以符合条件的数共有 A3 ? A3 ? A3 ? A2 = 24 (个)

3 3

2 2

练习 1 .由 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 组成没有 重复数字的五位数.
(l)奇数位置上是奇数的有多少个?

(2)奇数在奇数位置上的有多少个? 解:(1)由于奇数位置上是奇数,则奇数位 置有 A 种排法, 偶数位置有 A
3 5

2 6 种排法,

所以符合条件的五位数的个数是
7

(2)奇数在奇数位置,则偶数位置必是偶数,有 A 种排法, 奇数位置有 A3 种排法,

A ?A
3 5
2

2 6 ? 1800

2 4

所以符合条件的五位数的个数是 A4

? A ? 2520
3 7

练习2: 1. 一个停车场划出一排12个停车位置,今有8 辆不同的车需要停放,要求剩余的4个空车位 连在一起,则不同的停车方法有 A9 种。
9

2.如图,一个地区分为5个行政区域,现给地 图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现 有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 72 (以数字作答) 种。______

2? A ? A
4 4

3 4

3

2 1 4

5

课后作业
1. 教辅合页作业第二单元


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