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3.2 古典概型


3.2

古典概型

【入门向导】 “下一个赢家就是你! ”这句响亮的具有极大诱惑性的话是大英帝国彩票的广告词, 买 一张大英帝国彩票的诱惑有多大呢?只要花上 1 英镑,就有可能获得 2 200 万英镑!(1 英镑 约相当于 13.7 元人民币) 但一张彩票的中奖机会有多少呢?让我们以大英帝国彩票为例来计算一下. 大英帝国彩 票的规则是 49 选 6,即在 1 至 49 的 49 个号码中选 6 个号码.在每一轮,有一个专门的摇 奖机随机摇出 6 个标有数字的小球, 如果 6 个小球的数字都被一个人选中了, 那他就获得了 头等奖.可是,当我们计算一下在 49 个数字中随意组合其中 6 个数字的方法有多少种时, 我们会吓一大跳:从 49 个数中选 6 个数的组合有 13 983 816 种方法! 这就是说,假如只买一张彩票,六个号码全对的机会大约是一千四百万分之一,这个数 大约相当于澳大利亚的任何一个普通人当上总理的机会.如果一个人每星期买 50 张彩票, 那他赢得一次大奖的时间约为 5 000 年;即使每星期买 1 000 张彩票,也大致需要 270 年才 中头奖!这几乎是单个人力不可为的.

1.定义 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件, 它们是试验中不能再分的 最简单的随机事件,一次试验中只能出现一个基本事件,其他事件可以用它们表示. 2.基本事件的特点 ①任何两个基本事件是互斥的.在一次试验中,只可能出现一种结果,即只产生一个基 本事件,如掷骰子试验中,一次试验只能出现一个点数,任何两个点数不可能在一次试验中 同时发生.②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.相对于基本事件而言, 由两个以上的基本事件组成的随机事件称为复杂事件. 在解决有关古典概型问题中, 要认识到基本事件不能再分, 不同的基本事件不可能同时 发生.判断基本事件时,一定要对照思考其特征,并将所有可能的基本事件一一列举出来. 例 1 连续掷 3 枚硬币,观察落地后这 3 枚硬币正面向上还是反面向上. (1)写出这个试验的基本事件; (2)求这个试验的基本事件的总数; (3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件? 解 (1)这个试验的基本事件是:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正, 正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反). (2)基本事件的总数是 8. (3)“恰有两枚正面向上”包含以下 3 个基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反, 正,正).

1.古典概型的定义 如果试验中出现如下特征: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性); (2) 每个基本事件出现的可能性相等(等可能性).具有以上两个特征的概率模型称为古典概率模 型,简称古典概型. 2.古典概型必须具备两个条件: (1)有限性(即指试验中所有可能发生的基本事件只有有限个); (2)等可能性(即指每个基本事件发生的可能性相等).

判断一个事件是否为古典概型,同学们只要紧紧抓住这两个条件,即可得出正确结论. 例 2 下列概率模型: (1)从区间[1,10]内任意取出一个实数,求取到实数 2 的概率; (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币,求正面朝上的概率; (3)从 1,2,3,?,100 这 100 个整数中任意取出一个整数,求取到偶数的概率. 其中是古典概型的是________. 解析 (1)不是古典概型,因为在区间[1,10]中有无穷多个实数,取出一个实数有无穷多 种结果, 即有无穷多个基本事件, 不满足古典概型定义中“基本事件只有有限个”的条件. (2) 不是古典概型, 因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等, 不满足古 典概型定义中“每个基本事件出现的可能性相等”的条件.(3)是古典概型,因为在试验中 所有可能出现的结果的个数有限(100 个),而且每个整数被抽到的可能性相等.故填(3). 答案 (3)

例 任意投掷两枚骰子,计算: (1)“出现的点数相同”的概率; (2)“出现的点数之和为奇数”的概率; (3)“出现的点数之和为偶数”的概率. 1 (1)点数相同是指同为 1 点,2 点,?,6 点,其中之一的概率是 . 6 (2)点数之和为奇数,可取 3、5、7、9、11 共 5 种,所以“出现的点数之和为奇数”的 5 5 概率为 = . 5+6 11 (3)点数之和为偶数,可取 2、4、6、8、10、12 共 6 种,所以“点数之和为偶数”的概 6 率为 . 11 错解

正解 (1)任意投掷两枚骰子, 可看成等可能事件, 其结果可表示为数组(i, j)(i, j=1,2, ?, 6),其中两个数 i,j 分别表示两枚骰子出现的点数,共有 6×6=36 种结果,其中点数相同 6 1 的数组为(i,j)(i=j=1,2,?,6)共有 6 种结果,故“出现的点数相同”的概率为 = . 36 6 (2)由于每个骰子上有奇、偶数各 3 个,而按第 1、第 2 个骰子的点数顺次写时,有(奇, 2 奇)、(奇,偶)、(偶,奇)、(偶,偶)这四种等可能结果,所以“其和为奇数”的概率为 P= 4 1 = . 2 (3)由于骰子各有 3 个偶数,3 个奇数,因此“点数之和为偶数”、“点数之和为奇数” 这两个结果等可能,且为对立事件,所以“点数之和为偶数”的概率为 P=1-P(“点数之 1 1 和为奇数”)=1- = . 2 2

解决古典概型问题的关键是分清基本事件总数 n 与事件 A 中包含的结果数 m,而这往 往会遇到计算各类基本事件个数的困难.因此,学习中有必要掌握一定的求解技巧. 1.直接列举 把事件所有发生的结果逐一列举出来,然后再进行求解. 例 1 袋中有 6 个球,其中 4 个白球,2 个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的 概率: (1)事件 A:取出的两球都是白球; (2)事件 B:取出的两球一个是白球,另一个是红球. 分析 首先直接列举出任取两球的基本事件的总数, 然后分别列举求出两个事件分别含 有的基本事件数,再利用概率公式求解. 解 设 4 个白球的编号为 1,2,3,4,2 个红球的编号为 5,6.从袋中的 6 个小球中任取 2 个的 方法为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5), (4,6),(5,6),共 15 种. (1)从袋中的 6 个球中任取两个,所取的两球全是白球的方法总数,即是从 4 个白球中 任取两个的方法总数,共有 6 个,即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4). 6 2 ∴取出的两个球全是白球的概率为 P(A)= = . 15 5 (2)从袋中的 6 个球中任取两个,其中一个是红球,而另一个是白球,其取法包括(1,5), (1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共 8 种. ∴取出的两个球一个是白球,另一个是红球的概率为 8 P(B)= . 15 2.逆向思维 对于较复杂的古典概型问题,若直接求解有困难时,可利用逆向思维,先求其对立事件 的概率,进而再求所求事件的概率. 例 2 同时抛掷两枚骰子,求至少有一个 5 点或 6 点的概率. 分析 直接求解,运算较繁,而利用对立事件求概率则很简捷. 解 至少有一个 5 点或 6 点的对立事件是: 没有 5 点或 6 点. 因为没有 5 点或 6 点的结 16 4 果共有 16 个,而抛掷两枚骰子的结果共有 36 个,所以没有 5 点或 6 点的概率为 P= = . 36 9 4 5 故至少有一个 5 点或 6 点的概率为 1- = . 9 9 3.活用对称性 例 3 有 A、B、C、D、E 共 5 人站成一排,A 在 B 的右边(A、B 可以不相邻)的概率是 多少? 解 由于 A、B 可以不相邻,A 在 B 的右边和 B 在 A 的右边的总数是相等的,且 A 在 B 的右边的排法数与 B 在 A 的右边的排法数组成所有基本事件总数,所以 A 在 B 的右边的概 1 率是 . 2

考题赏析 1.(2011· 徐州模拟)一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率为________. 解析 骰子连投两次,

基本事件共 6×6=36(个), 点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1),共 3 个, 3 1 故 P= = . 6×6 12 1 答案 12 2. (2011· 汉中调研)已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%.现采用随机模拟的方法 估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率: 先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数, 指定 1,2,3,4 表示命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的 结果.经随机模拟产生了如下 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 解析 由题意知在 20 组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有: 191、 271、 932、 812、 5 1 393 共 5 组随机数,故所求概率为 = =0.25. 20 4 答案 B 3.(2011· 济宁模拟)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现依次有放回地随机 摸取 3 次,每次摸取一个球. (1)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (2)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率. 解 (1)一共有 8 种不同的结果,列举如下:(红,红,红)、(红,红,黑)、(红,黑,红)、 (红,黑,黑)、(黑,红,红)、(黑,红,黑)、(黑,黑,红)、(黑,黑,黑). (2)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A. 事件 A 包含的基本事件为:(红,红,黑)、(红,黑,红)、(黑,红,红),事件 A 包含 的基本事件数为 3. 3 由(1)可知,基本事件总数为 8,所以事件 A 的概率为 P(A)= . 8 4.(2009· 天津)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从 A,B,C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查.已知 A,B,C 区中分别有 18,27,18 个工厂. (1)求从 A,B,C 区中应分别抽取的工厂个数; (2)若从抽得的 7 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比,用列举法计算这 2 个 工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率. 7 1 解 (1)工厂总数为 18+27+18=63, 样本容量与总体中的个体数比为 = , 所以从 A, 63 9 B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,2. (2)设 A1,A2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂,B1,B2,B3 为在 B 区中抽得的 3 个工厂,C1, C2 为在 C 区中抽得的 2 个工厂,在这 7 个工厂中随机抽取 2 个,全部可能的结果有:(A1, A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2, C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3)(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3, C1),(B3,C2),(C1,C2),共有 21 种. 随机地抽取的 2 个工厂至少有 1 个来自 A 区的结果(记为事件 X)有:(A1,A2),(A1,B1), (A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2) 11 共有 11 种,所以这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率为 P(X)= . 21 5.(2011· 天津)编号分别为 A1,A2,?,A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得 分记录如下: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 运动员编号 15 35 21 28 25 36 18 34 得分 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 运动员编号

17 26 25 33 22 12 31 38 得分 (1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格. [10,20) [20,30) [30,40] 区间 人数 (2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人, ①用运动员编号列出所有可能的抽取结果; ②求这 2 人得分之和大于 50 的概率. 解 (1)4,6,6. (2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为 A3,A4,A5,A10,A11,A13,从中随机抽取 2 人,所有可能的抽取结果有:{A3,A4},{A3,A5},{A3,A10},{A3,A11},{A3,A13},{A4, A5},{A4,A10},{A4,A11},{A4,A13},{A5,A10},{A5,A11},{A5,A13},{A10,A11},{A10, A13},{A11,A13},共 15 种. ②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 50”(记为 事件 B)的所有可能结果有:{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A5,A10},{A10,A11},共 5 种. 5 1 所以 P(B)= = . 15 3 创新题赏析 一、信息迁移创新 信息迁移题是近年高考命题改革的一个新的亮点. 此类试题通过给出一个新概念, 或定 义一种新运算, 或给出几个新模型等来创设新的问题情境, 要求同学们在阅读理解的基础上, 应用所学的知识和方法,实现信息的迁移,以达到灵活解题的目的. 6. “渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如 2 578), 在两位的“渐升数” 中任取一个数比 37 大的概率是________. 解析 十位是 1 的“渐升数”有 8 个;十位是 2 的“渐升数”有 7 个;?;十位是 8 的“渐升数”有 1 个,所以两位的“渐升数”共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36 个;以 3 为十位比 37 大的“渐升数”有 2 个,分别以 4、5、6、7、8 为十位数的“渐升数”均比 37 大,且共有 5+4+3+2+1=15 个,所以比 37 大的两位“渐升数”共有 2+15=17 个.故 17 在两位的“渐升数”中任取一个比 37 大的概率是 . 36 17 答案 36 二、图表解读创新 给出图表, 要求同学们对图表进行观察、 分析, 并提炼、 挖掘出图表所给予的有用信息, 排除有关数据的干扰,进而抓住问题的实质,达到求解的目的. 7. 下表为某班英语及数学的成绩分布, 全班共有学生 50 人, 成绩分为 1~5 五个档次. 例 如表中所示英语成绩为 4 分、数学成绩为 2 分的学生共 5 人(设 x、y 分别表示英语成绩和数 学成绩). 数学 5 4 3 2 1 5 1 3 1 0 1 4 1 0 7 5 1 英语 3 2 1 0 9 3 2 1 b 6 0 a 1 0 0 1 1 3 (1)x=4 的概率是多少?x=4 且 y=3 的概率是多少? x≥3 的概率是多少? (2)x=2 的概率是多少?a+b 的值是多少? 1+5+7+1 7 解 (1)P(x=4)= = ; 50 25

7 P(x=4,y=3)= ; 50 7 P(x≥3)=P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)= . 10 (2)P(x=2)=1-P(x=1)-P(x≥3) 5 7 1 =1- - = ; 50 10 5 1+b+6+0+a 1 又 P(x=2)= = ,则 a+b=3. 50 5 三、知识交汇创新 这类问题从学科知识的内在联系出发, 在知识交汇点上做文章, 一个题目往往包含多个 知识点. 8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6), 骰子朝上的面的点数分别为 X、Y,则 log2XY=1 的概率为( ) 1 5 1 1 A. B. C. D. 6 36 12 2 解析 先后抛掷两枚骰子的点数方法共有 6×6=36 种. 满足条件 log2XY=1,即 Y=2X 的有 ? ?X=1, ? ?X=2, ? ?X=3, ? ? ? 3 种. ?Y=2; ? ?Y=4; ?Y=6 ? ? 3 1 ∴概率为 = . 36 12 答案 C 5 5 9.设 l 为平面上过点(0,1)的直线,l 的斜率等可能的取-2 2,- 3,- ,0, , 2 2 3,2 2,则原点到 l 的距离小于 1 的概率是________. 解析 本题是古典概型与解析几何知识的交汇, 运用点到直线的距离公式分别求距离得 解. 5 5 原点到过点(0,1)且斜率分别为-2 2,- 3,- ,0, , 3,2 2的直线的距离分 2 2 1 1 2 2 1 1 别为 , , ,1, , , . 3 2 3 3 2 3 6 故原点到 l 的距离小于 1 的概率为 . 7 答案 6 7


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