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轨迹方程定义


定义
符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合, 叫做满足该条件的点的轨迹. 轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性 (也叫做必要性) ;凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在 轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性) .

平面轨迹一般是曲线,空间轨迹

一般是曲面。 A,B 是两个定点,k(>0)是一个常数,满足 MA:MB=k 的动点 M 的轨迹: 在平面上表示一条直线(k=1)或一个圆周(k≠1) ; 在空间内表示一条平面(k=1)或一个球面(k≠1) 。 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

【例如】

解法
一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系,设出动点 M 的坐标; ⒉写出点 M 的集合; ⒊列出方程=0; ⒋化简方程为最简形式; ⒌检验. 二、求动点的轨迹方程的常用方法: 求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等.

⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程 的方法通常叫做直译法. ⒉定义法: 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义, 则可利用曲线的定义写 出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法. ⒊相关点法:用动点 Q 的坐标 x,y 表示相关点 P 的坐标 x0、y0,然后代入点 P 的坐标 (x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点 Q 轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫 做相关点法. ⒋参数法:当动点坐标 x、y 之间的直接关系难以找到时,往往先寻找 x、y 与某一变数 t 的关系,得再消去参变数 t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫 做参数法. ⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的 轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法. *直译法:求动点轨迹方程的一般步骤 ①建系——建立适当的坐标系; ②设点——设轨迹上的任一点 P(x,y) ; ③列式——列出动点 p 所满足的关系式; ④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于 X,Y 的方程式, 并化简; ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

典型例题
典型例题 例1、已知 Q 点是双曲线上异于二顶点的一动点,F1、F2是双曲线的左、右焦点,从 F2 点向∠F1QF2的平分线作垂线 F2P,垂足为 P 点,求 P 点的轨迹方程. 分析:注意图形的几何性质,联想到双曲线的定义,可考虑用定义法求轨迹方程. 解答:如图,连结 OP,则由角平分线的性质, 得|AQ|=|F2Q|. 由三角形中位线性质,得. . (若点 Q 在双曲线的左支上时,应为).

即.∴P 点轨迹方程即为. 例2、设动圆 C 的对称轴平行于坐标轴,长轴长为4,且以 y 轴为左准线,左顶点 A 在抛 物线 y2=x-1上移动,求这些椭圆的中心 C 的轨迹方程. 分析:A 点和 C 点是一对相关点,设法将 A 点的坐标用 C 点坐标表达,用相关点法求 C 的轨迹方程. 解答:设中心 C 的坐标(x,y) ,则 A 的坐标为(x-2,y) ,又 A 在抛物线 y2=x-1上移动. ∴y2=(x-2)-1,即 y2=x-3,此即所求 C 的轨迹方程. 另外,问题也可用参数法求解. ∵左顶点 A 在抛物线 y2=x-1上移动, ∴设 A(t2+1,t)(t 为参数). ∵y=yA=t,① ∵2a=4,∴a=2,∴x=xA+2=t2+3. ② 由①、②消去参数 t,得中心 C 的轨迹方程是 y2=x-3. 例3、如图,P 是抛物线 C:上一点,直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q.若直线 l 与过点 P 的切线垂直,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程. 分析:这是2004年全国高考题(福建卷)理科的压轴题,依题意直线 l 的方程可用 P 的横坐标表达,于是选择以 P 的横坐标为参数,用参数法求解动点 M 的轨迹方程. 解答:设 P(x1,y1) ,M(x0,y0) ,其中 x1≠0. 由,① 由,∴过点 P 的切线的斜率 k 切=x1, ∴直线 l 的斜率, 直线 l 的方程为 ② 联立①②消去 y,得. ∵M 为 PQ 的中点,∴ 消去 x1,得. ∴PQ 中点 M 的轨迹方程为. 另外,此题属"中点弦"的问题,可考虑用"点差法"来处理.探求 x0与 x1的关系. 设 P2(x2,y2) ,于是由.

得, 则, 将上式代入②并整理,得. ∴PQ 中点 M 的轨迹方程为. 例4、已知常数 a>0,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=4a,O 为 AB 的中点,点 E、F、G 分别在 BC、CD、DA 上移动,且,P 为 GE 与 OF 的交点(如图).问是否存在两个定点,使 P 到这两 点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由. 分析:这是一道探索性问题,首先求出 P 点坐标满足的方程,再根据此判断是否存在两 定点,使 P 到两定点的距离之和为定值.鉴于 P 为两直线 GE 和 OF 的交点,可用交轨法求解 P 的轨迹方程. 解答:以 O 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立如图的直线坐标系. 按题意有 A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a). 设(0≤k≤1) , 由此有 E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak). 直线 OF 的方程为:2ax+(2k-1)y=0,① 直线 GE 的方程为:-a(2k-1)x+y-2a=0,② 从①,②消去参数 k,得点 P(x,y)坐标满足方程2a2x2+y2-2ay=0, 整理得. 当时,点 P 的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点. 当时,点 P 的轨迹为椭圆的一部分,点 P 到该椭圆焦点的距离和为定长. 当时,点 P 到椭圆两个焦点的距离之和为定值. 当时,点 P 到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a. 例5、动直线 l 过定点 A(2,0) ,且与抛物线 y=x2+2相交于不同的两点 B 和 C,点 B 和 C 在 x 轴 上 的 射 影 分 别 是 B′ 和 C′ ( 如 图 ) P 是 线 段 BC 上 的 点 , 并 满 足 关 系 式 , |BP|∶|PC|=|BB′|∶|CC′|,求 POA 的重心 G 的轨迹方程. 分析:本题是一道较复杂的轨迹综合题,动点 G 的位置取决于 P 点的位置,即 P 是 G 的相关点,又 P 在动直线 l 上,l 绕定点 A(2,0)而动,依前所述,选用斜率 k 为参数较合 理,又相应点 P 在运动时,还要满足这一比值,这又出现了另一参数 λ ,为多元参数. 解答:设直线 l 的斜率为 k,显然 l 与 x 轴垂直时,l 与抛物线不可能有两个交点,故 l 的方程为 y=k(x-2) .将它与抛物线方程联立,消去 y 得 x2-kx+2+2k=0.

此方程有两个不同实根的充要条件是=k2-4(2+2k)=k2-8k-8=0. 解得,或. ① 设 B、C 两点的坐标为(x1,y1)(x2,y2) , ,则 x1+x2=k,x1x2=2+2k. ② 令③设,依定比分点公式,有④设动点 G 的坐标为(x,y) ,则将④、③、②分别代入上 式并注意到, 可得 消去 k 得12x―3y―4=0. 另外,由可得,代入①,得,或. 解之得(并注意到 y≠4).,若. 因此,POA 的重心 G 的轨迹方程为12x-3y-4=0. 其中. 它表示一条除去端点及其点的线段. 点评: 解决本题时, 应充分注意所求轨迹方程中 y 的取值范围, 这是最容易出现失误的, 甚至可能发生根本不去求出 k 的范围,而误认为所求的轨迹方程为12x-3y-4=0. 例6、如图所示,给出定点 A(a,0)和直线 l:x=-1,B 是直线 l 上的动点,∠BOA 的角平 分线交 AB 于点 C,求点 C 的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系. 分析一: 借助交轨法和参数法, 并利用角平分线上一点到角的两边的距离相等的性质解 题. 解答一:依题意,记 B(-1,b),(b∈R) ,则直线 OA 和 OB 的方程分别为 y=0或 y=-bx,设 点 C(x,y) ,则有0≤x 据点到直线的距离公式可得. ① 由于点 C 在直线 AB 上,故有. 由 x-a≠0,得. ② 将②代入①得. 整理,得, 若 y≠0, (1-a)x2-2ax+ 则 (1+a)y2=0(0若 y=0, b=0, 则 ∠AOB=π , C 的坐标为 点 (0,0) , 满足上式. 综上得点 C 的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x⑴当 a=1时,轨迹方程化为 y2=x(0≤x<1) ,此时,方程表示抛物线弧段. ⑵当 a≠1时,轨迹方程化为. 所以,当0当 a>1时,方程表示双曲线一支的弧段.

分析二:借助两倍角的正切公式解题. 解答二:如图所示,设 D 是 l 与 x 轴的交点,过点 C 作 CE⊥x,E 是垂足. ⑴当|BD|≠0时,设点 C(x,y) ,则0由 CE//BD,得. ∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π -∠COA-∠BOD,又2∠COA=π -∠BOD. ∴. 整理,得. ⑵当|BD|=0时,∠BOA=,则点 C 的坐标为(0,0) ,满足上式. 综合⑴、⑵,得点 C 的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0以下同解法一. 分析三:由于 C、A、B 三点在一直线上,而 A、B 在特殊直线上,故可构造定比分点公 式模型解决本题. 解答三:设 C(x,y) ,其中0≤x∵OC 平分∠AOB,∴,从而, 由定比分点公式 即 分别用 b2、代入有, 化简得. 以下同解法一. 点评:对于本题给出的三种解法,实质上是分别从三种不同的角度去审视问题的结果. 这同时也表明,即使是一个较难的问题,只要我们深入地挖掘问题的各种知识背景,就完全 有可能找出一个个异彩纷呈的解法, 从而由此提高综合分析问题与解决问题的能力以及增强 解题的创新意识. 总之,在解决求解轨迹方程问题时,要重视基该方法的综合运用,要有意识地去观察图 形的几何性质,要合理地去选择参数,还应特别留意轨迹的完备性和纯粹性. 巩固练习 ⒈一动圆与两圆 x2+y2=1和 x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心轨迹是() A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 ⒉已知点 P 在直线 x=2上移动,直线 l 通过原点且与 OP 垂直,通过点 A(1,0)及点 P 的直线 m 和直线 l 交于 Q,求点 Q 的轨迹方程. ⒊如图, 设点 A 和 B 为抛物线 y=4px(p>0) 上原点以外的两个动点, 已知 OA⊥OB,OM⊥AB. 求点 M 的轨迹方程. ⒋已知椭圆直线 l:.P 是 l 上一点.射线 OP 交椭圆于点 R,又点 Q 在 OP 上且满足 |OQ|·|OP|=|OR|2,当点 P 在 l 上移动时,求点 Q 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

参考答案: ⒈C ⒉ ⒊x2+y2-4px=0(x≠0) ⒋点 Q 的轨迹方程为(其中 x,y 不同时为零) ,其轨迹是以(1,1)为中心,长短半轴分 别为和且长轴与 x 轴平行的椭圆,去掉坐标原点. 数学应用题的解题方法 应用问题是考查应用数学意识和能力的极好题型,它题材贴近生活,涉及知识面广,题 型功能丰富, 增加应用性与能力性试题是高考改革的方向, 解决实际问题的应用题已成为高 考的热点. 解答应用问题就是在阅读材料,理解题意的基础上,把实际问题抽象转化成数学问题, 建立相应的数学模型,再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学答案,然后再 把数学答案返回到实际问题中去, 获取具有实际意义的结论, 求解数学应用问题的思路和方 法,可以用示意图表示为: 下面就应用题常见的数学模型举一些实例,以求开阔同学们的思维,受到一些启示. ⒈建立函数模型 例1、某小区欲建一面积为 a 平方米的矩形绿地,四周有小路,绿地长边外小路宽为5 米, 短边外小路8米 (如图) .绿地长边至多长28米, 至少长20米.对于给定的 a 300≤a≤700) ( , 怎样设计绿地的长宽使绿地和小路总占地面积最小? 分析:引入长边长为自变量 x,建立关于总占地面积的目标函数 x,再利用函数性质和 不等式知识求解. 解答:设绿地的长边为 x 米(x>0) ,则短边为米,且.总占地为 S 平方米. 当且仅当,即时,上式中等号成立,满足等号成立的充要条件为: 即250≤a≤490.又依条件300≤a≤700. 故⑴当300≤a≤490,即时,S 有最小值,此时长为,宽为米. ⑵当490≤a≤700时,设. . 这是因为20≤x≤28,a>490,使得28-x≥0,16a>7840≥280x 的缘故. 因此,当 x=28时,S 有最小值,并注意到此时. 点评:求解函数模型经常要用到不等式的知识,有两点特别值得注意,一是函数自变量 范围应在实际意义下考虑; 二是在利用均值不等式求函数最值时, 必须要检验等号是否能够

成立. 例2、制定投资计划时,不仅考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、 乙两个项目.根据预测, 乙项目可能的最大盈利率分别为100% 甲、 和50%, 可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元, 要求确保可 能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元, 才能使可能的盈 利最大? 分析:这是今年江苏高考试题,可将总盈利 z 表达成甲、乙两个项目的投资额 x、y 的 目标函数 z(x、y) ,问题就转化为在 x、y 约束条件(不等关系)的最值问题,可借助线性 规划知识求解. 解答:设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目, 由题意知, 目标函数 z=x+0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域. 作直线 l0:x+0.5y=0,并作平行于直线 l0的直线 x+0.5y=z(z∈R) ,与可行域相交,其 中有一条直线经过可行域上的 M 点, 且与直线 x+0.5y=0的距离最大.这里 M 点是直线 x+y=10 和0.3x+0.1y=1.8交点. 解方程组,得 x=4,y=6. 此时 z=4+0.5*6=7(万元).∴当 x=4,y=6时,z 取得最大值. 答:投资人用4万元投资甲项目,6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的 前提下,使可能的盈利最大. 点评:这是一道线性规划问题,是运筹学中最基础的内容,可用中学知识求解.一般采 用的方法有目标函数分析法和图解法.学生在解决这类问题时的主要困难之处在于不会把约 束条件中的多个等式或不等式与所求目标沟通起来, 关于简单线性规划问题, 高中数学新教 材中已增加了此项内容,我们在复习过程中应给予一定的重视. ⒉建立数列模型 例3、某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%,并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆, 那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 分析:引入新增汽车数量为未知数,以各年末的汽车保有量为项建立数列模型,借助数 列知识求解. 解答:2001年末汽车保有量为 b1万辆,以后各年末汽车保有量依次为 b2万辆,b3万 辆,…,每年新增汽车 x 万辆,则: b1=30,b2=b1*0.94+x.

对于 n>1,有 bn+1=bn*0.94+x=bn-1*0.94x2+(1+0.94)x, …… 当,即 x≤1.8时,bn+1≤bn≤…≤b1=30. 当,即 x>1.8时,. 并且数列{bn}逐项增加,可以任意靠近. 因此,如果要求汽车保有量不超过60万辆,即 bn≤60(n=1,2,3,…). 则,即 x≤3.6(万辆). 综上,每年新增汽车不应超过3.6万辆. 评注:求数列的通项是解决问题的关键,对于递推式 bn+1=bn*0.94+x,也可作如下化 归处理: 另外还应有一点极限知识才行. 例4、为了保护三峡库区的生态环境,凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林,经 初步统计, 在三峡库区坡度大于25°的坡荒地面积约有2640万亩, 若从2003年初开始绿化造 林,第一年造林120万亩,以后每年比前一年多绿化60万亩. ⑴若所有被绿化造林的坡荒地全部绿化成功,问到哪一年底可使库区的坡荒地全部绿 化? ⑵若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为0.1万立方米,每年树木木材量的自然增 长率为20%,那么当整个库区25°以上荒地全部绿化完的那一年底,一共有木材多少万立方 米?(保留1位小数,1.29=5.16,1.28=4.30) 分析: 每年绿化面积成一等差数列, 某年的造林量所形成的以后各年的木材量成一等比 数列. 解答:⑴设 a1=120,d=60,第 n 年后可以使绿化任务完成.则有 . 解得 n≥8.故到2010年,可以使库区为25°以上的坡地全部绿化. ⑵∵2010年初造林数量为:a8=120+7*60=540(万亩), 设到2010年木材总量为 S,依题意有: 令⑴ 两边乘以1.2得⑵ ⑵-⑴得,∴S=6*90.6=543.6(万立方米)

答:到2010年底共有木材543.6万立方米. 点评:解决与数列有关的应用问题,要仔细弄清题意,搞清是等差数列还是等比数列的 问题,是求某一项还是求和的问题以及项数是多少等等,然后根据有关结论进行计算证明. ⒊建立几何模型 例5、A、B、C 是我方三个炮兵阵地,A 在 B 的正东,相距6km,C 在 B 的北偏西30°方向 上,相距4km,P 为敌炮阵地.某时刻 A 地发现敌炮阵地的某种信号,由于 B、C 两地比 A 地距 离 P 较远,因此4秒钟后,B、C 才同时发现这一信号(已知该信号的传播速度为每秒1km),A 若炮击 P 地,求炮击的方位角. 分析:问题的关键是要确定 P 点的位置,注意到 P 点满足的条件|PB|-|PA|=4,且 |PB|=|PC|,联想到双曲线的定义和中垂线的性质,可通过建立坐标系,用解析几何模型求 解. 解答:如图,以线段 AB 的中点为原点,BA 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系,则 A (3,0),B(-3,0),C(-5,). ∵|PB|-|PA|=4,∴点 P 在以 A、B 为焦点的双曲线的右支上. 该双曲线右支的方程是. ① 又|PB|=|PC|,∴点 P 在线段 BC 的垂直平分线上,该直线的方程为.② 将②代入①得11x2-56x-256=0,得 x=8或(舍) ,于是可得. 又. 故点 P 在点 A 的北偏东30°方向上,即 A 地炮击 P 地的方位角是北偏东30°. 例6、现有一放置乒乓球的圆柱形桶,其内径为(cm) ,高为40cm,则该桶内最多可放置 多少个直径为4cm 的乒乓球? 分析:要解决本例,需要两个工作,一是计算桶内一层可放置乒乓球多少个?它应该通 过桶的内径与乒乓球的直径,及第一层乒乓球在底面上的射影等数据与几何特性进行计算; 二是计算桶内最多可放置多少层球?计算第二个问题的关键是如何求出两层乒乓球球心所在 平面之间的距离, 应根据从相邻两层球的球心提炼出球心所组成的几何体, 将计算转移到该 几何体中进行. 解答:首先建立如图1所示的几何模型,其中⊙O1、⊙O2、⊙O3为三个半径均为2cm 且 两两外切的圆,这三个圆又都内切于⊙O,显然 O1O2O3是边长为4cm 的正三角形,它的高为, ∴,若⊙O2与⊙O 相切于 P,则. 故圆 O 的半径为,∴其直径为(cm) ,因此在内径为 cm 的桶内层可放置3个直径为4cm 乒乓球. 在桶内放置第二层球时, 为了使放置的乒乓球尽可能多, 因此在放置第二层球时可以考 虑利用第一层乒乓球放置后留下的空档, 故应将第二层的三个球放置的位置相对于第一层的 三个乒乓球的位置逆时针 (或顺时针) 旋转60°.这二层六个乒乓球的球心可以看作是如图2

所示的正六棱柱下底面上的三顶点 A1、B1、C1与上底面上的三个顶点 A2、B2、C2,并且 A2B2=4cm,从而我们可以求出这个正六棱柱的底面边长和高. 设正六棱柱的底面边长和高分别为 x、h,则 A2B22=x2+x2-2x2cos120, . 又. 这样我们就求得了二层乒乓球的球心所在平面间的距离, 若设这个桶内放置了 n 层的乒 乓球,则 n 应满足:. , 又由于,故(n-1)≤11,∴n≤12. 所以这桶内最多可放置12层乒乓球,每层有3个,故这个桶内最多可放置36个乒乓球. 点评: 本例我们建立了两个几何换型, 关键是建立了桶内相邻两层球中每一个球的球心 及它们在另一层球心所在平面上的射影共12个点组成的一个正六棱柱(如图2)这一几何模 型. 除了上述列举的三种常用应用题型外,还有三角型,排列组合型,概率型等其它模型, 学习过程中应多思多想,加强归纳总结,善于抓住主干,合理构建数学模型,不断提高数学 的应用意识和应用能力


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