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第一章 常用逻辑用语

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一、四种命题及其相互关


四种命题的特点与关系:把“若 p ,则 q”作为原命题,对 其条件p和结论q作“换位”和“换质(否定)”描述,分别得到逆

命题、否命题与逆否命题,统称为四种命题:
①p,q“换位”——逆命题:“若q,则p”; ②p,q“换质”——否命题:“若?p,则?q”; ③ p , q“ 换 位 ” 且 “ 换 质 ” —— 逆 否 命 题 : “ 若 ?q , 则 ?p”.
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设原命题“已知数列{an}各项都不为零,若{an}不是常 数列,则{an}不是等差数列或不是等比数列”,有下列说法: ①原命题是真命题;②原命题的逆命题是真命题;③原命 题的否命题是真命题;④原命题的逆否命题是假命题. 其中,所有正确说法的序号为________.

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解析:原命题:已知数列{an}各项都不为零,若{an}不是常 数列,则{an}不是等差数列或不是等比数列; 逆命题:已知数列{an}各项都不为零,若{an}不是等差数列 或不是等比数列,则{an}不是常数列; 否命题:已知数列{an}各项都不为零,若{an}是常数列,则 {an}是等差数列且是等比数列;

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逆否命题:已知数列{an}各项都不为零,若{an}是等差数列 且是等比数列,则{an}是常数列. 显然,原命题的否命题和逆否命题都是真命题,而原命题 与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题分别是等价命题,所 以原命题、逆命题都是真命题,故①②③正确,④错误. 答案:①②③

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【题后总结】 简单命题真假的判断方法

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二、充分条件、必要条件与充要条件 从真假命题的条件与结论以及数集的包含关系理解:对于 充分条件、必要条件与充要条件的判定,实际上是对命题真假 的判定,记“若p,则q”为真命题,记为“p?q”,“若p,则 q”为假命题,记为“ p ? / q”;同时设集合 A = {x|p(x)} , B = {x|q(x)},A与B的包含关系有:

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记法 关系 A?B p是q 结论 的充 分条 件

条件 p、q 对应的集合分别为 A、B A?B B?A A? B B? A A=B 且B?A p是q 的必要 条件 p是q p是q 的充分 的必要 不必要 不充分 条件 条件 p是q 条件 p 是 q 的既不 要条件

的充要 充分也不必

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(1)(2013·安徽高考)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

)

D.既不充分也不必要条件
(2)已知α:x≥a,β:|x-1|<1.若α是β的必要不充分条件,则 实数a的取值范围为________.

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1 解析:(1)由(2x-1)x=0?x=0 或 x= ,所以应选 B. 2 (2)α:x≥a,可看作集合 A={x|x≥a},由|x-1|<1,得 0 <x<2,∴β 可看作集合 B={x|0<x<2}.又∵α 是 β 的必要不 充分条件,∴B? A,∴a≤0.
答案:(1)B (2)(-∞,0]

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【互动探究】 若题(1)中的条件与结论交换,则“x=0”是 “(2x-1)x=0”的什么条件? 解析:由x=0, 显然(2x-1)·x=0,但是反之不成立,故应 是充分不必要条件.

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【题后总结】 充要条件问题的常见类型及解题策略 (1) 判断指定条件与结论之间的关系.解决此类问题应分三 步:①确定条件是什么,结论是什么;②尝试从条件推结论, 从结论推条件;③确定条件和结论是什么关系.

(2) 探究某结论成立的充要、充分、必要条件.解答此类题
目,可先从结论出发,求出使结论成立的必要条件,然后再验 证得到的必要条件是否满足充分性. (3) 充要条件与命题真假性的交汇问题.依据命题所述的充 分必要性,判断是否成立即可.
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三、含有逻辑联结词的命题 逻辑联结词“且”“或”“非”与复合命题 (1) 复合命题:“且”“或”“非”叫做逻辑联结词.不含 逻辑联结词的命题称为简单命题.由简单命题与逻辑联结词构

成的命题称为复合命题,复合命题有三种形式: p∧q ; p∨q ;
?p. (2)复合命题的真假:p,q同真, p∧q才为真;p,q同假, p∨q才为假;p与?p真假相反.

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(1)已知命题p:m,n为直线,α为平面,若m∥n,n?α,

则 m∥α ;命题 q :若 a>b ,则 ac>bc ,则下列命题为真命题的是
( ) A.p或q B.?p或q

C.?p且q

D.p且q

(2)已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q: 关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若p或q是真 命题,p且q是假命题,求实数a的取值范围.

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解析:(1)选 B 命题 q:若 a>b,则 ac>bc 为假命题,命题 p:m,n 为直线,α 为平面,若 m∥n,n?α,则 m∥α 也为假 命题,因此只有? p 或 q 为真命题. (2)命题 p 等价于 Δ=a2-16≥0,即 a≤-4 或 a≥4;命题 a q 等价于-4≤3,即 a≥-12. 由 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题知,命题 p 和 q 一真 一假. 若 p 真 q 假,则 a<-12;若 p 假 q 真,则-4<a<4. 故 a 的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4).
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【互动探究】 题(2)保持本例条件不变,若p∧q为真,求实 数a的取值范围. 解:p∧q为真,∴p和q均为真. ∴a的取值范围为[-12,-4]∪[4,+∞).

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【题后总结】

1.判断“p∧q”“p∨q”“?p”形式命题真假的步骤
(1)准确判断简单命题p、q的真假; (2) 依 据 复 合 命 题 真 假 判 断 的 真 值 表 判 断 “p∧q”“p∨q”“?p”命题的真假.

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2.根据命题真假求参数的方法步骤 (1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只

有一种情况);
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.

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四、含有一个量词的命题及其否定
全称量词与存在量词、全称命题与特称命题的否定 (1)全称命题强调任意性:全称命题“?x∈M, p(x)”强调集

合M中任意元素x都具有性质p(x),因此,
①要证明全称命题是真命题,需对集合M中每一个元素 x , 证明p(x)成立; ②要判断全称命题是假命题,只要在集合M中找到一个元素 x0,使p(x0)不成立即可.

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(2) 特称命题强调存在性:特称命题“ ? x0∈M , p(x0)”强调 集合M中存在一个元素x0具有性质p(x0),因此,

①要判断特称命题是真命题,只需在集合M中找到一个元素
x0,使p(x0)成立即可; ②要证明它是假命题,需对集合M中每个元素x,证明p(x)不 成立.

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(1)命题?x∈R, x2+4x+4≥0 的否定为________. (2)写出下列命题的否定并判断其真假: ①p: 不论 m 取何实数值, 方程 x2+mx-1=0 必有实数根; ②p:有的三角形的三条边相等; ③p:菱形的对角线互相垂直;
2 ④p:?x0∈N,x0 -2x0+1≤0.

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解析:(1)全称命题的否定是特称命题,所以该命题的否定
2 为?x0∈R, x0 +4x0+4<0.
2 答案:?x0∈R, x0 +4x0+4<0

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(2)①? p:存在一个实数 m0,使方程 x2+m0x-1=0 没有实 数根. 因为该方程的判别式 Δ=m2 故? p 为假命题. 0+4>0 恒成立, ②? p:所有的三角形的三条边不全相等. 显然? p 为假命题. ③? p:有的菱形的对角线不垂直. 显然? p 为假命题. ④? p:?x∈N,x2-2x+1>0. 显然当 x=1 时,x2-2x+1>0 不成立,故? p 是假命题.
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【题后总结】
1.对一个命题的否定的方法 (1)确定原命题是全称命题还是特称命题. (2) 转换量词,全称量词的否定对应存在量词,存在量词的 否定对应全称量词.

(3)否定结论.
(4) 当题目中量词不明显或简略时,可以先改写命题,添加 必要的量词,突显命题的特征. (5)要理解并记熟常用关键词的否定形式.
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2.全称命题与特称命题的判断方法

判断一个命题是全称命题还是特称命题,主要方法是看命
题中是否含有全称量词与存在量词,同时也要注意有些全称命 题并不含有全称量词,这时要根据命题涉及的意义去判断.

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【考情分析】
1.对于四种命题的考查 四种命题及其关系是高考命题的内容之一,主要以选择题 和填空题的形式出现,一般不单独命题,通常与函数、方程、 不等式、空间点、线、面的位置关系以及数列等其他知识结合

起来进行考查.
2.充分条件、必要条件与充要条件的命题趋势: 充要条件可以与各章节内容相结合,所以是历年高考考查 的热点之一,通常以选择题、填空题进行考查.
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3.高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下两个命题 角度: (1)判断全称命题、特称命题的真假性; (2)全称命题、特称命题的否定. 全称命题与特称命题是高考的常考内容,题型多为选择 题,难度较小,属容易题.

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【高考冲浪】 1 . (2014· 重庆高考 ) 已知命题 p :对任意 x∈R ,总有 2x>0 ; q :“ x>1” 是“ x>2” 的充分不必要条件.则下列命题 为真命题的是( A.p∧q C.? p∧q ) B.? p∧? q D.p∧? q

解析:依题意,命题p是真命题.由x>2?x>1,而x>1

? / x>2,因此“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故命题q
是假命题,则? q是真命题,p∧? q是真命题.选D. 答案:D
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2.(2013· 天津高考)已知下列三个命题: 1 ①若一个球的半径缩小到原来的2, 则其体积缩小到原来的 1 8;②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; 1 ③直线 x+y+1=0 与圆 x +y = 相切. 2
2 2

其中真命题的序号为( A.①②③ C.①③

) B.①② D.②③
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1 解析: 若一个球的半径缩小到原来的 ,则其体积缩小到 2 1 原来的8,所以①是真命题;因为标准差除了与平均数有关,还 与各数据有关, 所以②是假命题; 因为圆心(0,0)到直线 x+y+1 1 =0 的距离等于 ,等于圆的半径,所以③是真命题.故真命 2 题的序号是①③.
答案:C
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π 3.(2012· 湖南高考)命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命 4 题是( )

π A.若 α≠4,则 tan α≠1 π B.若 α=4,则 tan α≠1 π C.若 tan α≠1,则 α≠ 4 π D.若 tan α≠1,则 α=4
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解析:以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命 π 题为逆否命题,即“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是“若 4 π tan α≠1,则 α≠ ”. 4 答案:C

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4.(2013·山东高考)给定两个命题p,q.若?p是q的必要而不 充分条件,则p是?q的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 )

D.既不充分也不必要条件
解析:q??p等价于p??q,?p ? /q等价于?q 充分而不必要条件. 答案:A
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p,故p是?q的 ? /

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5. (2013· 浙江高考)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, π φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=2”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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π π 解析:若 f(x)是奇函数,则 φ= +kπ(k∈Z),且当 φ= 时, 2 2 f(x)为奇函数.故选 B.
答案:B

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1 6. (2012· 天津高考)设 x∈R, 则“x>2”是“2x2+x-1>0” 的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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1 解析: 由不等式 2x +x-1>0, 即(x+1)(2x-1)>0, 得 x>2或
2

1 x<-1, 所以由 x> 可以得到不等式 2x2+x-1>0 成立, 但由 2x2 2 1 1 +x-1>0 不一定得到 x>2, 所以 x>2是 2x2+x-1>0 的充分不必 要条件.
答案:A

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7.(2013· 四川高考)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是 偶数集.若命题 p:?x∈A,2x∈B,则( A.? p:?x0∈A,2x0∈B B.? p:?x0?A,2x0∈B C.? p:?x0∈A,2x0?B D.? p:?x?A,2x?B )

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解析:由命题的否定易知选C,注意要把全称量词改为存在 量词. 答案:C

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8.(2015·安徽高考)设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q成立的 ( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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解析: 根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即
可.将p,q对应的集合在数轴上表示出来如图所示,易知,当p 成立时,q不一定成立;当q成立时,p一定成立,故p是q成立的

必要不充分条件.

答案:C

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