当前位置:首页 >> 数学 >>

2014-2015学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期末数学试卷(理科)


2014-2015 学年甘肃省张掖市高台一中高二 (下) 期末数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 16 小题,每小题 4 分,共 64 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知复数 z= A. 1﹣i ,则 z 的共轭复数 是( B. 1+i
2

) C. i ) D. {0,2,4} D . ﹣i

/>
2.设集合 A={﹣2,0,2,4},B={x|x ﹣2x﹣3<0},则 A∩B=( A. {0} B. {2} C. {0,2} 3.下列函数是奇函数的是( ) B. f(x)=2 +2 3 D. f(x)=x ﹣1 )
x
﹣x

A. f(x)=﹣|x| C. f(x)=lg(1+x)﹣lg(1﹣x) 4.函数 f(x)=ln(x +2)的图象大致是(
2

A.

B.

C.

D.

5.设 a>0,将

表示成分数指数幂,其结果是(



A.
x 3

B.

C. ) C. (1,2)

D.

6.函数 f(x)=2 +x 的零点所在区间为( A. (0,1) B. (﹣1,0) 7. A. ln2+ dx=( B. ln2﹣ )

D. (﹣2,﹣l)

C. ln2﹣
第 1 页(共 17 页)

D. ln2﹣

8.已知 f(n)= +

+

+…+

,则(



A. f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + B. f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + C. f(n)中共有 n ﹣n 项,当 n=2 时,f(2)= + D. f(n)中共有 n ﹣n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + +
2 2

9.一排九个坐位有六个人坐,若每个空位两边都坐有人,共有( A. 7200 B. 3600 C. 2400
2 2

)种不同的坐法. D. 1200 )

10. 若函数 f (x) =x lnx (x>0) 的极值点为 α, 函数 g (x) =xlnx (x>0) 的极值点为 β, 则有 ( A. α>β B. α<β C. α=β D. α 与 β 的大小不确定 11.已知函数 f(x)= x ﹣2x +3m,x∈R,若 f(x)+9≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A. m≥ B. m> C. m≤ D. m<
4 3



12.如图,阴影部分的面积是(



A. 2

B. ﹣2

C.

D.

13.用数学归纳法证明不等式“ 等式的左边( )

+

+…+



(n>2)”时的过程中,由 n=k 到 n=k+1 时,不

A. 增加了一项 B. 增加了两项

第 2 页(共 17 页)

C. 增加了两项 D. 增加了一项

,又减少了一项 ,又减少了一项

14.对于函数 f(x)=x ﹣3x ,给出下列四个命题: ①f(x)是增函数,无极值; ②f(x)是减函数,有极值; ③f(x)在区间(﹣∞,0]及[2,+∞)上是增函数; ④f(x)有极大值为 0,极小值﹣4; 其中正确命题的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3
3 2 2 2

3

2

D. 4 )

15.如图所示的是函数 f(x)=x +bx +cx+d 的大致图象,则 x1 +x2 等于(

A.

B.
3 2

C.

D.

16.当 x∈[﹣2,1]时,不等式 ax ﹣x +4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. [﹣5,﹣3] B. [﹣6,﹣ ] C. [﹣6,﹣2]



D. [﹣4,﹣3]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 17.计算(4A84+2A85)÷(A86﹣A95)×0!=
2 2

. . ;最小值为 .

18.若复数 z=(a ﹣2a)+(a ﹣a﹣2)i 为纯虚数,则实数 a 的值等于 19.函数 f(x)=x ﹣3x+1 在闭区间[﹣3,0]上的最大值为 20.若函数 是 .
3

在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则实数 m 的取值范围

三、解答题: (本大题共 6 小题 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

第 3 页(共 17 页)

21.求值:



22.设 f(x)=2x +ax +bx+1 的导数为 f′(x) ,若函数 y=f′(x)的图象关于直线 x=﹣ 对称,且 f′ (1)=0 (Ⅰ)求实数 a,b 的值 (Ⅱ)求函数 f(x)的极值. 23.对于函数 f(x)=a﹣ (a∈R) .

3

2

(1)探索并证明函数 f(x)的单调性; (2)是否存在实数 a 使函数 f(x)为奇函数?若有,求出实数 a 的值,并证明你的结论;若没有, 说明理由. 24.设 t≠0,点 P(t,0)是函数 f(x)=x +ax 与 g(x)=bx +c 的图象的一个公共点,两函数的图 象在点 P 处有相同的切线. (Ⅰ)用 t 表示 a,b,c; (Ⅱ)若函数 y=f(x)﹣g(x)在(﹣1,3)上单调递减,求 t 的取值范围. 25.如图,设铁路 AB 长为 80,BC⊥AB,且 BC=10,为将货物从 A 运往 C,现在 AB 上距点 B 为 x 的点 M 处修一公路至 C,已知单位距离的铁路运费为 2,公路运费为 4. (1)将总运费 y 表示为 x 的函数; (2)如何选点 M 才使总运费最小?
3 2

26.已知函数 f(x)=x ﹣4x+a+3,g(x)=mx+5﹣2m. (Ⅰ)若 y=f(x)在[﹣1,1]上存在零点,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a=0 时,若对任意的 x1∈[1,4],总存在 x2∈[1,4],使 f(x1)=g(x2)成立,求实数 m 的 取值范围.

2

第 4 页(共 17 页)

2014-2015 学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期末数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 16 小题,每小题 4 分,共 64 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知复数 z= A. 1﹣i ,则 z 的共轭复数 是( B. 1+i ) C. i D . ﹣i

考点:复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题:计算题. 分析:复数分子、分母同乘分母的共轭复数,化简为 a+bi(a,b∈R)的形式,即可得到选项. 解答: 解:复数 z= =

所以它的共轭复数为:1﹣i 故选 A 点评:本题是基础题,考查复数代数形式的乘除运算,复数的基本概念,考查计算能力,常考题型. 2.设集合 A={﹣2,0,2,4},B={x|x ﹣2x﹣3<0},则 A∩B=( A. {0} B. {2} C. {0,2}
2

) D. {0,2,4}

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:由 B 中的不等式变形得: (x﹣3) (x+1)<0, 解得:﹣1<x<3,即 B=(﹣1,3) , ∵A={﹣2,0,2,4}, ∴A∩B={0,2}. 故选:C. 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3.下列函数是奇函数的是( ) B. f(x)=2 +2 3 D. f(x)=x ﹣1
x
﹣x

A. f(x)=﹣|x| C. f(x)=lg(1+x)﹣lg(1﹣x)

考点:函数奇偶性的判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数奇偶性的定义即可得到结论. 解答: 解:f(﹣x)=﹣|﹣x|=﹣|x|=f(x) ,故 A 是偶函数. f(﹣x)=2 +2 =f(x) ,故 B 是偶函数.
第 5 页(共 17 页)
x
﹣x

f(﹣x)=lg(1﹣x)﹣lg(1+x)=﹣[lg(1+x)﹣lg(1﹣x)]=﹣f(x) ,故 C 是奇函数. f(﹣x)=﹣x ﹣1≠﹣f(x) ,故 D 不是奇函数. 故选:C 点评:本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键. 4.函数 f(x)=ln(x +2)的图象大致是(
2 3



A.

B.

C.

D. 考点:函数的图象. 专题:函数的性质及应用. 分析:研究函数性质,选择与之匹配的选项. 解答: 解:因为定义域为 R,且 f(﹣x)=f(x) ,所以函数为偶函数,排除 C 项; 又 f(0)=ln2>0,排除 A、B 两项; 只有 D 项与之相符. 故选:D. 点评:本题考查了函数的性质与识图能力,属基础题,一般先观察四个选项的不同,再差别函数对 应的性质,即得正确选项.

5.设 a>0,将

表示成分数指数幂,其结果是(



A.

B.

C.

D.

考点:根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题:计算题. 分析:由根式与分数指数幂的互化规则所给的根式化简即可将其表示成分数指数幂,求得其结果选 出正确选项. 解答: 解:由题意 故选 C. =

第 6 页(共 17 页)

点评:本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算,解题的关键是掌握并能熟练运用根式与分 数指数幂互化的规则. 6.函数 f(x)=2 +x 的零点所在区间为( A. (0,1) B. (﹣1,0) 考点:二分法求方程的近似解. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:由函数的解析式求得 f(﹣1)?f(0)<0,根据函数零点的判定定理,可得 f(x)=2 +x 的 零点所在区间. 解答: 解:∵连续函数 f(x)=2 +x ,f(﹣1)= ﹣1=﹣ ,f(0)=1+0=1, ∴f(﹣1)?f(0)=﹣ ×1<0, 根据函数零点的判定定理,f(x)=2 +x 的零点所在区间为(﹣1,0) , 故选:B. 点评:本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,连续函数只有在某区间的端点处函数值异号, 才能推出此函数在此区间内存在零点,属于基础题. 7. A. ln2+ dx=( B. ln2﹣ ) C. ln2﹣ D. ln2﹣
x 3 x 3 x 3 x 3

) C. (1,2)

D. (﹣2,﹣l)

考点:定积分. 专题:导数的概念及应用. 分析:只须求出被积函数的原函数,再利用积分中值定理即可求得结果. 解答: 解:∵ dx=(lnx﹣ ﹣ )|1 =ln2﹣ ﹣ ﹣ln1+1+ =ln2+ .
2

故选:A 点评:本小题主要考查定积分、定积分的应用、导数等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化 思想.属于基础题. 8.已知 f(n)= + + +…+ ,则( )

A. f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + B. f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + C. f(n)中共有 n ﹣n 项,当 n=2 时,f(2)= + D. f(n)中共有 n ﹣n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + +
2 2

第 7 页(共 17 页)

考点:数列的求和. 专题:计算题. 2 分析:观察数列的通项公式,可得分母 n,n+1,n+2…n 构成以 n 为首项,以 1 为公差的等差数列, 2 从而可得项数为 n ﹣n+1 2 解答: 解:分母 n,n+1,n+2…n 构成以 n 为首项,以 1 为公差的等差数列 2 项数为 n ﹣n+1 故选 D 点评:本题主要等差数列通项公式的简单运用,考查考生的基本运算的能力、对公式的基本运用的 能力. 9.一排九个坐位有六个人坐,若每个空位两边都坐有人,共有( A. 7200 B. 3600 C. 2400 )种不同的坐法. D. 1200

考点:计数原理的应用. 专题:排列组合. 分析:由题意,6 个人之间形成 5 个空,插入 3 个座位,即可得不同的坐法. 6 3 解答: 解:由题意,6 个人之间形成 5 个空,插入 3 个座位,可得不同的坐法有 A6 C5 =7200 种, 故选:A. 点评:本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,比较基础. 10. 若函数 f (x) =x lnx (x>0) 的极值点为 α, 函数 g (x) =xlnx (x>0) 的极值点为 β, 则有 ( A. α>β B. α<β C. α=β D. α 与 β 的大小不确定 考点:函数在某点取得极值的条件. 分析:利用积的导数法则求 f′(x) ,g′(x) ;据函数极值点处的导数为零,列出方程解得. 2 解答: 解:∵f′(x)=2xlnx+x,g′(x)=lnx +2 2 2 又 f(x)=x lnx(x>0)的极值点为 α,g(x)=xlnx (x>0)的极值点为 β, 2 ∴2αlnα+α=0,lnβ +2=0 ∴ ∴α>β 故选 A. 点评:本题考查导数的运算法则和极值点处的导数为零. 11.已知函数 f(x)= x ﹣2x +3m,x∈R,若 f(x)+9≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A. m≥ B. m> C. m≤ D. m<
4 3 2 2





考点:函数恒成立问题;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:计算题. 分析:要找 m 的取值使 f(x)+9≥0 恒成立,思路是求出 f′(x)并令其等于零找出函数的驻点,得 到函数 f(x)的最小值,使最小值大于等于﹣9 即可求出 m 的取值范围.
第 8 页(共 17 页)

解答: 解:因为函数 f(x)= x ﹣2x +3m,所以 f′(x)=2x ﹣6x . 令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=3,经检验知 x=3 是函数的一个最小值点,所以函数的最小值为 f(3)=3m ﹣ .

4

3

3

2

不等式 f(x)+9≥0 恒成立,即 f(x)≥﹣9 恒成立, 所以 3m﹣ ≥﹣9,解得 m≥ .

故答案选 A. 点评:考查学生找函数恒成立问题时的条件的能力. 12.如图,阴影部分的面积是( )

A. 2

B. ﹣2

C.

D.

考点:定积分在求面积中的应用. 专题:导数的综合应用. 分析:利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积,然后计算. 解答: 解:由题意,结合图形,得到阴影部分的面积是 )| = ; =(3x﹣

故选 C. 点评:本题考查了利用定积分求封闭图形的面积;关键是正确利用定积分表示面积,然后计算.

13.用数学归纳法证明不等式“ 等式的左边( )

+

+…+



(n>2)”时的过程中,由 n=k 到 n=k+1 时,不

A. 增加了一项 B. 增加了两项 C. 增加了两项 D. 增加了一项 ,又减少了一项 ,又减少了一项

第 9 页(共 17 页)

考点:数学归纳法. 专题:阅读型. 分析:本题考查的知识点是数学归纳法,观察不等式“ 他们都是以 开始,以 + +…+ > (n>2)左边的各项,

项结束,共 n 项,当由 n=k 到 n=k+1 时,项数也由 k 变到 k+1 时,但前

边少了一项,后面多了两项,分析四个答案,即可求出结论. 解答: 解: ,

= 故选 C 点评:数学归纳法常常用来证明一个与自然数集 N 相关的性质,其步骤为:设 P(n)是关于自然数 n 的命题,若 1) (奠基) P(n)在 n=1 时成立;2) (归纳) 在 P(k) (k 为任意自然数)成立的假 设下可以推出 P(k+1)成立,则 P(n)对一切自然数 n 都成立. 14.对于函数 f(x)=x ﹣3x ,给出下列四个命题: ①f(x)是增函数,无极值; ②f(x)是减函数,有极值; ③f(x)在区间(﹣∞,0]及[2,+∞)上是增函数; ④f(x)有极大值为 0,极小值﹣4; 其中正确命题的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3
3 2

D. 4

考点:利用导数研究函数的极值. 专题:导数的综合应用. 2 分析:由已知得 f′(x)=3x ﹣6x,由此利用导数性质能能求出 f(x)的增区间是(﹣∞,0) , (2, +∞) ;减区间是(0,2) .f(x)极大值=f(0)=0,f(x)极小值=f(2)=﹣4. 3 2 解答: 解:∵f(x)=x ﹣3x , 2 ∴f′(x)=3x ﹣6x, 由 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2, 当 x∈(﹣∞,0)时,f′(x)>0;当 x∈(0,2)时,f′(x)<0;当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0. ∴f(x)的增区间是(﹣∞,0) , (2,+∞) ;减区间是(0,2) . ∴f(x)极大值=f(0)=0,f(x)极小值=f(2)=﹣4. 故①②错误,③④正确. 故选:B. 点评:本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识,同时考查推理论证能力, 分类讨论等综合解题能力. 15.如图所示的是函数 f(x)=x +bx +cx+d 的大致图象,则 x1 +x2 等于(
3 2 2 2



第 10 页(共 17 页)

A.

B.

C.

D.

考点:导数的运算;函数解析式的求解及常用方法;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题:压轴题;数形结合. 分析:由图象知 f(x)=0 的根为 0,1,2,求出函数解析式,x1,x2 为导函数的两根,可结合根与 系数求解. 解答: 解:由图象知 f(x)=0 的根为 0,1,2,∴d=0. 3 2 2 ∴f(x)=x +bx +cx=x(x +bx+c)=0. 2 ∴x +bx+c=0 的两个根为 1 和 2.∴b=﹣3,c=2. 3 2 2 ∴f(x)=x ﹣3x +2x.∴f′(x)=3x ﹣6x+2. ∵x1,x2 为 3x ﹣6x+2=0 的两根,∴ ∴ 点评:本题考查了识图能力,以及极值与导数的关系 16.当 x∈[﹣2,1]时,不等式 ax ﹣x +4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. [﹣5,﹣3] B. [﹣6,﹣ ] C. [﹣6,﹣2]
3 2 2

. .



D. [﹣4,﹣3]

考点:函数恒成立问题;其他不等式的解法. 专题:综合题;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析:分 x=0,0<x≤1,﹣2≤x<0 三种情况进行讨论,分离出参数 a 后转化为函数求最值即可,利 用导数即可求得函数最值,注意最后要对 a 取交集. 解答: 解:当 x=0 时,不等式 ax ﹣x +4x+3≥0 对任意 a∈R 恒成立; 当 0<x≤1 时,ax ﹣x +4x+3≥0 可化为 a≥
3 2 3 2



令 f(x)=

,则 f′(x)=

=﹣

(*) ,

当 0<x≤1 时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增, f(x)max=f(1)=﹣6,∴a≥﹣6; 当﹣2≤x<0 时,ax ﹣x +4x+3≥0 可化为 a≤
3 2



由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x<0 时,f′(x)>0,f (x)单调递增,
第 11 页(共 17 页)

f(x)min=f(﹣1)=﹣2,∴a≤﹣2; 综上所述,实数 a 的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数 a 的取值范围是[﹣6,﹣2]. 故选:C. 点评:本题考查利用导数研究函数的最值,考查转化思想、分类与整合思想,按照自变量讨论,最 后要对参数范围取交集;若按照参数讨论则取并集. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 17.计算(4A84+2A85)÷(A86﹣A95)×0!= 4 . 考点:排列及排列数公式. 专题:计算题;排列组合. 分析:根据排列数的公式进行计算即可. 解答: 解: (4 +2 )÷( ﹣ )×0!=(4×8×7×6×5+2×8×7×6×5×4)

÷(8×7×6×5×4×3﹣9×8×7×6×5)×1 =(3×8×7×6×5×4)÷(8×7×6×5×3) =4. 故答案为:4. 点评:本题考查了排列数的公式应用问题,也考查了计算能力的应用问题,是基础题目. 18.若复数 z=(a ﹣2a)+(a ﹣a﹣2)i 为纯虚数,则实数 a 的值等于 0 . 考点:复数的基本概念. 专题:数系的扩充和复数. 分析:由纯虚数的定义可知 ,解之可得.
2 2

解答: 解:由纯虚数的定义可知 由方程可解得 a=0,或 a=2, 2 但 a=2 时 a ﹣a﹣2=0,矛盾, 故答案为:0 点评:本题考查复数的基本概念,属基础题.



19.函数 f(x)=x ﹣3x+1 在闭区间[﹣3,0]上的最大值为 3 ;最小值为 ﹣17 . 考点:利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:计算题. 分析:求出函数的导数,通过导数为 0,求出极值点,比较极值点的函数值与端点的函数值,即可 得到所求的最值. 3 解答: 解:因为函数 f(x)=x ﹣3x+1, 2 所以函数 f′(x)=3x ﹣3, 2 令 3x ﹣3=0,解得 x=﹣1,或 x=1?[﹣3,0],
第 12 页(共 17 页)

3

因为 f(﹣3)=(﹣3) ﹣3×(﹣3)+1=﹣17, 3 f(﹣1)=(﹣1) ﹣3×(﹣1)+1=3, f(0)=1; 所以函数的最大值为:3;最小值为:﹣17. 故答案为:3;﹣17. 点评:本题是基础题,考查函数与导函数的关系,函数的最值的求法,考查计算能力,注意端点的 函数的求解. 20.若函数 <m≤0 . 考点:函数单调性的性质. 分析:若函数 变形为 ,只要考查函数 就行了. 在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则实数 m 的取值范围是 ﹣1

3

解答: 解:∵函数

变形为





,只要 g(x)是单调减函数即可.

画出 g(x)的图象:



解得﹣1<m≤0 故填﹣1<m≤0. 点评:研究函数 助. 三、解答题: (本大题共 6 小题 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
第 13 页(共 17 页)

的性质是解决问题的关键,此函数的性质为解决许多问题提供了帮

21.求值:



考点:对数的运算性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据指数幂和对数的运算性质计算即可. 解答:解: =2× ﹣lg10+ =1﹣1+ = .

点评:本题考查了指数幂和对数的运算性质,属于基础题.
3 2

22.设 f(x)=2x +ax +bx+1 的导数为 f′(x) ,若函数 y=f′(x)的图象关于直线 x=﹣ 对称,且 f′ (1)=0 (Ⅰ)求实数 a,b 的值 (Ⅱ)求函数 f(x)的极值. 考点:利用导数研究函数的极值;二次函数的性质. 专题:计算题. 分析: (Ⅰ)先对 f(x)求导,f(x)的导数为二次函数,由对称性可求得 a,再由 f′(1)=0 即 可求出 b (Ⅱ)对 f(x)求导,分别令 f′(x)大于 0 和小于 0,即可解出 f(x)的单调区间,继而确定极值. 解答: 解: (Ⅰ)因 f(x)=2x +ax +bx+1,故 f′(x)=6x +2ax+b 从而 f′(x)=6 从而由条件可知﹣ =﹣ ,解得 a=3 又由于 f′(x)=0,即 6+2a+b=0,解得 b=﹣12 3 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=2x +3x ﹣12x+1 2 f′(x)=6x +6x﹣12=6(x﹣1) (x+2) 令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=﹣2 当 x∈(﹣∞,﹣2)时,f′(x)>0,f(x)在(﹣∞,﹣2)上是增函数; 当 x∈(﹣2,1)时,f′(x)<0,f(x)在(﹣2,1)上是减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数. 从而 f(x)在 x=﹣2 处取到极大值 f(﹣2)=21,在 x=1 处取到极小值 f(1)=﹣6. 点评:本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值,考查运算能力. 23.对于函数 f(x)=a﹣ (a∈R) . y=f′(x)关于直线 x=﹣ 对称,
3 2 2

(1)探索并证明函数 f(x)的单调性; (2)是否存在实数 a 使函数 f(x)为奇函数?若有,求出实数 a 的值,并证明你的结论;若没有, 说明理由.
第 14 页(共 17 页)

考点:函数单调性的判断与证明. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)利用导数判断函数的单调性即可; (2)先由 f(0)=0 求得 a=1,再证明 f(﹣x)=﹣f(x) ,恒成立. 解答: 解:∵f(x)=a﹣ (a∈R) .

∴f′(x)=

>0 恒成立,

∴函数 f(x)在 R 上为增函数 (2)由 f(0)=a﹣ =0,得 a=1,

∴f(x)=1﹣

=



∵f(﹣x)=

=

=﹣

=﹣f(x)

所以当 a=1 时,f(x)为奇函数. 点评:本题主要考查了导数与函数的单调性的关系以及函数的奇偶性,属于基础题. 24.设 t≠0,点 P(t,0)是函数 f(x)=x +ax 与 g(x)=bx +c 的图象的一个公共点,两函数的图 象在点 P 处有相同的切线. (Ⅰ)用 t 表示 a,b,c; (Ⅱ)若函数 y=f(x)﹣g(x)在(﹣1,3)上单调递减,求 t 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:常规题型;计算题. 分析: (I)根据函数 f(x) ,g(x)的图象都过点(t,0) ,以及 f(x) ,g(x)在点(t,0)处有 相同的切线,建立方程组,即可用 t 表示 a,b,c; (II)先利用导数求出 y=f(x)﹣g(x)的单调减区间,然后使(﹣1,3)是单调减区间的子集, 建立关系式,解之即可求出 t 的范围. 解答: 解: (I)因为函数 f(x) ,g(x)的图象都过点(t,0) ,所以 f(t)=0, 3 2 2 即 t +at=0.因为 t≠0,所以 a=﹣t .g(t)=0,即 bt +c=0,所以 c=ab. 又因为 f(x) ,g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所以 f'(t)=g'(t) . 2 2 而 f'(x)=3x +a,g'(x)=2bx,所以 3t +a=2bt. 2 3 2 3 将 a=﹣t 代入上式得 b=t.因此 c=ab=﹣t .故 a=﹣t ,b=t,c=﹣t . 3 2 2 3 2 2 (II)y=f(x)﹣g(x)=x ﹣tx ﹣t x+t ,y'=3x ﹣2tx﹣t =(3x+t) (x﹣t) . 当 y'=(3x+t) (x﹣t)<0 时,函数 y=f(x)﹣g(x)单调递减. 由 y'<0,若 t>0,则﹣ <x<t;若 t<0,则 t<x<﹣ .
3 2

第 15 页(共 17 页)

由题意,函数 y=f(x)﹣g(x)在(﹣1,3)上单调递减,则(﹣1,3)?(﹣ ,t)或(﹣1,3) ?(t,﹣ ) . 所以 t≥3 或﹣ ≥3.即 t≤﹣9 或 t≥3. ∴t 的取值范围为(﹣∞,﹣9]∪[3,+∞) . 点评:本题主要考查函数与导数的基本知识,几何意义及其应用,以及利用导数研究曲线上某点切 线方程,同时考查学生数形结合思想以及转化与归化的能力,属于中档题. 25.如图,设铁路 AB 长为 80,BC⊥AB,且 BC=10,为将货物从 A 运往 C,现在 AB 上距点 B 为 x 的点 M 处修一公路至 C,已知单位距离的铁路运费为 2,公路运费为 4. (1)将总运费 y 表示为 x 的函数; (2)如何选点 M 才使总运费最小?

考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;函数最值的应用. 专题:应用题. 分析: (1)由已知中铁路 AB 长为 80,BC⊥AB,且 BC=10,为将货物从 A 运往 C,现在 AB 上 距点 B 为 x 的点 M 处修一公路至 C,已知单位距离的铁路运费为 2,公路运费为 4,我们可计算出 公路上的运费和铁路上的运费,进而得到由 A 到 C 的总运费; (2)由(1)中所得的总运费 y 表示为 x 的函数,利用导数法,我们可以分析出函数的单调性,及 函数的最小值点,得到答案. 解答: 解: (1)依题中,铁路 AB 长为 80,BC⊥AB,且 BC=10, 将货物从 A 运往 C,现在 AB 上距点 B 为 x 的点 M 处修一公路至 C, 且单位距离的铁路运费为 2,公路运费为 4 ∴铁路 AM 上的运费为 2(80﹣x) ,公路 MC 上的运费为 4 则由 A 到 C 的总运费为 y=2(80﹣x)+4 (2)y′=﹣2+ 令 y′=0, 解得 x= 当 0≤x≤ 故当 x= ,或 x=﹣ 时,y′≤0;当 (舍)…(9 分) ≤x≤80 时,y′≥0 (0≤x≤80) , ,

(0≤x≤80)…(6 分)

时,y 取得最小值.…(12 分)
第 16 页(共 17 页)

即当在距离点 B 为

时的点 M 处修筑公路至 C 时总运费最省.…(13 分)

点评:本题考查的知识点是导数在最大值最小值问题中的应用,函数最值的应用,其中根据已知条 件求出函数的解析式,并确定函数的单调性是解答本题的关键. 26.已知函数 f(x)=x ﹣4x+a+3,g(x)=mx+5﹣2m. (Ⅰ)若 y=f(x)在[﹣1,1]上存在零点,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a=0 时,若对任意的 x1∈[1,4],总存在 x2∈[1,4],使 f(x1)=g(x2)成立,求实数 m 的 取值范围. 考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题:综合题. 分析: (1)y=f(x)在[﹣1,1]上单调递减函数,要存在零点只需 f(1)≤0,f(﹣1)≥0 即可 (2)存在性问题,只需函数 y=f(x)的值域为函数 y=g(x)的值域的子集即可. 2 解答: 解: (Ⅰ) :因为函数 f(x)=x ﹣4x+a+3 的对称轴是 x=2, 所以 f(x)在区间[﹣1,1]上是减函数, 因为函数在区间[﹣1,1]上存在零点, 则必有: 即 ,解得﹣8≤a≤0,
2

故所求实数 a 的取值范围为[﹣8,0]. (Ⅱ)若对任意的 x1∈[1,4],总存在 x2∈[1,4], 使 f(x1)=g(x2)成立,只需函数 y=f(x)的值域为函数 y=g(x)的值域的子集. 2 f(x)=x ﹣4x+3,x∈[1,4]的值域为[﹣1,3],下求 g(x)=mx+5﹣2m 的值域. ①当 m=0 时,g(x)=5﹣2m 为常数,不符合题意舍去; ②当 m>0 时,g(x)的值域为[5﹣m,5+2m],要使[﹣1,3]?[5﹣m,5+2m], 需 ,解得 m≥6;

③当 m<0 时,g(x)的值域为[5+2m,5﹣m],要使[﹣1,3]?[5+2m,5﹣m], 需 ,解得 m≤﹣3;

综上,m 的取值范围为(﹣∞,﹣3]∪[6,+∞) . 点评:本题主要考查了函数的零点,值域与恒成立问题.

第 17 页(共 17 页)


相关文章:
2014-2015学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
(共 17 页) 2014-2015 学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期末数学试 卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 16 小题,每小题 4 分,共 64 分...
2014-2015学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期末数学试卷(理科)
2014-2015学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期末数学试卷(理科)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期末数学试卷 (...
2014-2015学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析
2014-2015学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期末数学试卷...
2014-2015学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期末数学试卷(理科)_65
(共 17 页) 2014-2015 学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期末数学试 卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 16 小题,每小题 4 分,共 64 分...
甘肃省张掖市高台一中2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(文科)
求直线 l 甘肃省张掖市高台一中 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 16 小题,每小题 4 分,共 64 分.在每小题...
甘肃省张掖市高台一中2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(文科) Word版含解析
求直线 l 甘肃省张掖市高台一中 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 16 小题,每小题 4 分,共 64 分.在每小题...
甘肃省张掖市高台一中2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(文科)_144
求直线 l 第 4 页(共 18 页) 甘肃省张掖市高台一中 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 16 小题,每小题 4 ...
2014-2015学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期末物理试卷
2014-2015 学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期末物理试卷一、选择题:本题共 12 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的....
2014-2015学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期末生物试卷
2014-2015学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期末生物试卷_理化生_高中教育_教育...能用文字及数学方式等多种表达形式准确地描述生物学方面的内容的能力和 计算能力...
更多相关标签:
甘肃省张掖市高台县 | 张掖市高台县 | 张掖市高台县人民医院 | 张掖市高台县第一中学 | 甘肃省张掖市 | 甘肃省张掖市民乐县 | 甘肃省张掖市甘州区 | 甘肃省张掖市地图 |