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广东省湛江市农垦实验中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷


广东省湛江市农垦实验中学 2014-2015 学年高二上学期第一次月 考数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)sin225°=() A. B. C . ﹣1 D.1

2. (5 分)圆心角为 1rad,半径为 1 的扇形的面积为() A.1

B. C. D.π

3. (5 分)已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα=() A. B. C. ﹣ D.﹣

4. (5 分)函数 f(x)=cos(2x+ A. B. π

)的最小正周期是() C . 2π D.4π

5. (5 分)为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象,只需把 y=sin2x 的图象上所有的点() A.向左平行移动 个单位长度 C. 向左平行移动 1 个单位长度 B. 向右平行移动 个单位长度 D.向右平行一定 1 个单位长度

6. (5 分)已知向量 =(2,4) , =(﹣1,1) ,则 2 ﹣ =() A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)

7. (5 分)已知 , 为单位向量,其夹角为 60°,则(2 ﹣ )? =() A.﹣1 B. 0 C. 1 D.2

8. (5 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 若 3a=2b, 则 的值为() A.﹣ B. C. 1 D.

9. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于() A.8 B.10 C.12 D.14 10. (5 分)已知数列{an}是公比为实数的等比数列,且 a1=1,a5=9,则 a3 等于() A.2 B. 3 C. 4 D.5

二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分. 11. (5 分)已知 sinα= ,则 =.

12. (5 分)已知 α 为第四象限角,

,则 tan2α=.

13. (5 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的公比为. 14. (5 分)设函数 f(x)= =. +1,若 a,b,c 成等差数列(公差不为零) ,则 f(a)+f(c)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (13 分)已知函数 f(x)=sin2x+cos2x,x∈R,求 (1)f(x)的最小正周期和最大值; (2)f(x)的单调区间. 16. (13 分)已知 f(x)=cos2x+4sinx,求: (1) 的值;

(2)f(x)的最大值以及取得最大值时 x 的值. 17. (13 分)在△ ABC 中, (Ⅰ)求 sinA 的值; (Ⅱ)设△ ABC 的面积 ,求 BC 的长. , .

18. (13 分)已知数列{an}满足递推关系式 an=2an﹣1+1, (n≥2)其中 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式 (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 19. (14 分)已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,等比数列{bn}的公比为 q,a1=b1=1,a2=b2, a5=b3.

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)若 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 20. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n +1(n∈N ) (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn;
2 *

(3)讨论(2)中 Tn 的最值.

广东省湛江市农垦实验中学 2014-2015 学年高二上学期第 一次月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)sin225°=() A. B. C . ﹣1 D.1

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 把 225°写为 180°+45°由诱导公式二得特殊角的正弦角,由特殊角正弦值得结果. 解答: 解:sin225°=sin(180°+45°)=﹣sin45°=﹣ .

故选 A. 点评: 本题考查用诱导公式化简求值,诱导公式一到四可以把任意角的三角函数化为锐角 的三角函数,是基础题. 2. (5 分)圆心角为 1rad,半径为 1 的扇形的面积为() A.1 B. C. D.π

考点: 扇形面积公式. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由题意根据 l=rθ,求出扇形的弧长,直接利用 S= lr,求出扇形的面积. 解答: 解:扇形的圆心角为 1,半径为 1,扇形的弧长为:1, 所以扇形的面积为:S= lr= ×1×1= . 故选:B.

点评: 本题是基础题,考查扇形的面积的求法,弧长、半径、圆心角的关系,考查计算能 力. 3. (5 分)已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα=() A. B. C. ﹣ D.﹣

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cosα 的值. 解答: 解:∵角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,∴x=﹣4,y=3,r= ∴cosα= = =﹣ , =5.

故选:D. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题.

4. (5 分)函数 f(x)=cos(2x+ A. B. π

)的最小正周期是() C . 2π D.4π

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意得 ω=2,再代入复合三角函数的周期公式 解答: 解:根据复合三角函数的周期公式 函数 f(x)=cos(2x+ 故选:B. 点评: 本题考查了三角函数的周期性,以及复合三角函数的周期公式 础题. 5. (5 分)为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象,只需把 y=sin2x 的图象上所有的点() A.向左平行移动 个单位长度 C. 向左平行移动 1 个单位长度 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. B. 向右平行移动 个单位长度 D.向右平行一定 1 个单位长度 应用,属于基 )的最小正周期是 π, 得, 求解.

分析: 根据 y=sin(2x+1)=sin2(x+ ) ,利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出 结论. 解答: 解:∵y=sin(2x+1)=sin2(x+ ) ,∴把 y=sin2x 的图象上所有的点向左平行移动 个 单位长度, 即可得到函数 y=sin(2x+1)的图象, 故选:A. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.

6. (5 分)已知向量 =(2,4) , =(﹣1,1) ,则 2 ﹣ =() A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案. 解答: 解:由 =(2,4) , =(﹣1,1) ,得: 2 ﹣ =2(2,4)﹣(﹣1,1)=(4,8)﹣(﹣1,1)=(5,7) . 故选:A. 点评: 本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算,是基础的计算题.

7. (5 分)已知 , 为单位向量,其夹角为 60°,则(2 ﹣ )? =() A.﹣1 B. 0 C. 1 D.2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由条件利用两个向量的数量积的定义,求得 解答: 解:由题意可得, ∴(2 ﹣ )? =2 ﹣ =1×1×cos60°= , =0, 、 =1, 的值,可得(2 ﹣ )? 的值.

故选:B. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,属于基础题.

8. (5 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 若 3a=2b, 则 的值为()

A.﹣

B.

C. 1

D.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据正弦定理,将条件进行化简即可得到结论. 解答: 解:∵3a=2b,∴b= ,

根据正弦定理可得

=

=

=



故选:D. 点评: 本题主要考查正弦定理的应用,比较基础. 9. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于() A.8 B.10 C.12 D.14 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质和已知可得 a2,进而可得公差,可得 a6 解答: 解:由题意可得 S3=a1+a2+a3=3a2=12, 解得 a2=4,∴公差 d=a2﹣a1=4﹣2=2, ∴a6=a1+5d=2+5×2=12, 故选:C. 点评: 本题考查等差数列的通项公式和求和公式,属基础题. 10. (5 分)已知数列{an}是公比为实数的等比数列,且 a1=1,a5=9,则 a3 等于() A.2 B. 3 C. 4 D.5 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设等比数列{an}的公比为 q,由题意可得 q = 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q, (q∈R) 由题意可得 q =
2 4 4

,可得 q ,而 a3=a1q ,代值可得.

2

2

=9,解得 q =3,

2

∴a3=a1q =3 故选:B 2 点评: 本题考查等比数列的通项公式,得出 q 是解决问题的关键,属基础题. 二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分.

11. (5 分)已知 sinα= ,则

= .

考点: 二倍角的余弦;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由二倍角的余弦公式的变形应用及诱导公式可把原式变为 sinα 的式子,代值计算可 得. 解答: 解:化简可得

=

= 故答案为:

=

=

点评: 本题考查二倍角的余弦公式的变形应用,属基础题.

12. (5 分)已知 α 为第四象限角,

,则 tan2α=



考点: 二倍角的正切. 专题: 计算题. 分析: 根据 α 为第四象限角, tan2α= 求得结果. ,可得 sin α 的值,即得 tanα 的值,由

解答: 解:∵α 为第四象限角, ∴tan2α= = ,

,∴sin α=﹣ ,∴tanα=﹣ ,

故答案为:



点评: 本题考查同角三角函数的基本关系的应用,二倍角公式的应用,求出 tanα 的值,是 解题的关键.

13. (5 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的公比为 .

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;压轴题.

分析: 先根据等差中项可知 4S2=S1+3S3, 利用等比数列的求和公式用 a1 和 q 分别表示出 S1, S2 和 S3,代入即可求得 q. 解答: 解:∵等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列, n﹣1 2 ∴an=a1q ,又 4S2=S1+3S3,即 4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q ) , 解 .

故答案为 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.属基础题. 14. (5 分)设函数 f(x)= =2. 考点: 等差数列的性质;函数的值. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 2b=a+c,化简可得 f(a)+f(c)=2+ 得. 解答: 解:∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c, ∴f(a)+f(c)= =2+ =2+ + =2+ =2+0=2 +1+ +1 ,代入化简可 +1,若 a,b,c 成等差数列(公差不为零) ,则 f(a)+f(c)

故答案为:2 点评: 本题考查等差数列的性质,涉及分式的加减运算,属基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (13 分)已知函数 f(x)=sin2x+cos2x,x∈R,求 (1)f(x)的最小正周期和最大值; (2)f(x)的单调区间. 考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和的正弦把原函数化积. (1)直接由周期公式得到周期,由振幅得到最大值; (2)直接由复合函数的单调性求得单调区间. 解答: 解:f(x)=sin2x+cos2x = = .

(1)f(x)的最小正周期为 π;最大值为 (2)由 由 ∴f(x)的单调增区间为 单调减区间为 ,得

. ,得 . ; . .

点评: 本题考查了三角函数中恒等变换应用,考查了复合函数单调性的求法,是中档题. 16. (13 分)已知 f(x)=cos2x+4sinx,求: (1) 的值;

(2)f(x)的最大值以及取得最大值时 x 的值. 考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 2 分析: 展开二倍角的余弦,得到 f(x)=﹣2sin x+4sinx+1. (1)直接取 x=﹣ 求 的值;

(2)利用配方法配方,求得 f(x)的最大值并求得 f(x)取得最大值时 x 的值. 解答: 解:f(x)=cos2x+4sinx 2 =1﹣2sin x+4sinx 2 =﹣2sin x+4sinx+1. (1) =
2

= =﹣ ;
2

(2)f(x)=﹣2sin x+4sinx+1=﹣2(sinx﹣1) +3. 当 sinx=1,即 x= 时函数取得最大值 3.

点评: 本题考查了三角函数中恒等变换应用,考查了配方法求函数的最值,是中档题. 17. (13 分)在△ ABC 中, (Ⅰ)求 sinA 的值; (Ⅱ)设△ ABC 的面积 ,求 BC 的长.





考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)由 cosB,cosC 分别求得 sinB 和 sinC,再通过 sinA=sin(B+C) ,利用两角和 公式,进而求得 sinA.

(Ⅱ)由三角形的面积公式及(1)中的 sinA,求得 AB?AC 的值,再利用正弦定理求得 AB, 再利用正弦定理进而求得 BC. 解答: 解: (Ⅰ)由 由 所以 (Ⅱ)由 由(Ⅰ)知 故 AB×AC=65, 又 故 所以 , , . . 得 , , ,得 . . ,得 ,

点评: 本题主要考查了正弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用.属基础题. 18. (13 分)已知数列{an}满足递推关系式 an=2an﹣1+1, (n≥2)其中 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式 (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列递推式;等比关系的确定;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: (1)由 an=2an﹣1+1 可得 an+1=2(an﹣1+1) ,从而可证数列{an+1}是以 2 为首项以 2 为公比的等比数列可求 (2)由(1)可得 的求和公式可求 解答: 解: (1)由 an=2an﹣1+1 可得 an+1=2(an﹣1+1) ,a1+1=2 ∴数列{an+1}是以 2 为首项以 2 为公比的等比数列 ∴ ∴ (2)由 ∴ =(2+2 +…+2 )﹣n
2 n

,利用分组,结合等比数列

=

=2

n+1

﹣2﹣n

点评: 本题主要考查了构造等比数列求解通项,数列求和的分组求和及等比数列的求和公 式的应用,属于数列知识的综合应用 19. (14 分)已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,等比数列{bn}的公比为 q,a1=b1=1,a2=b2, a5=b3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)若 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意可知, 即可求解 (2)由 cn=an?bn=(2n﹣1)?3
n﹣1

解方程可求 d,q,结合等差与等比 数列的通项公式

,可以利用错位相减求和

解答: 解: (1)由题意可知, 解方程可得,d=2,q=3 ∴ (2)∵cn=an?bn=(2n﹣1)?3 1 2 n﹣1 ∴sn=1?1+3?3 +5?3 +…+(2n﹣1)?3 ﹣ 2 n 1 n ∴3sn=1?3+3?3 +…+(2n﹣3)?3 +(2n﹣1)?3 2 n﹣1 n 两式相减可得,﹣2sn=1+2(3+3 +…+3 )﹣(2n﹣1)?3 =1+2
n n﹣1

﹣(2n﹣1)?3
n

n

=1+3 ﹣3﹣(2n﹣1)?3 =(﹣2n+2)?3 ﹣2 ∴ 点评: 本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的简单应用,错位相减求和方法的 应用是数列求和的重要方法,要注意掌握 20. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n +1(n∈N ) (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn;
2 *

n

(3)讨论(2)中 Tn 的最值. 考点: 数列的求和.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用公式 (2)n≥2 时,cn= 和; (3)利用(2)的结论,即可得出 Tn 的最值. 2 解答: 解: (1)∵Sn=n +1 ∴a1=S1=1+1=2, 2 2 ∴当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n +1)﹣[(n﹣1) +1]=2n﹣1, 当 n=1 时,2n﹣1=1≠a1, ∴ (2)n≥2 时,cn= ∴当 n=1 时,Tn=c1= . = = = , +…+ ﹣ )= + ( ﹣ )= ﹣ = ( ﹣ ) , = 可求出数列{an}的通项 an. = ( ﹣ ) ,利用裂项相消法求

当 n≥2 时,Tn=c1+c2+…+cn= + ( ﹣ + ,

∴Tn=



(3)由(2)Tn 的最小值为 ,无最大值. 点评: 本题考查数列的性质和应用,考查利用公式法求数列的通项公式及利用裂项相消法 求数列的和知识,解题时要注意公式的灵活运用.


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