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2016年全国高中数学联合竞赛加试解答(B卷)


2016 年全国高中数学联合竞赛加试(B 卷) 参考答案及评分标准
说明: 1. 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、 (本题满分 40 分)非负实数 x1 , x2 ,? , x2016 和实数 y1

, y2 ,? , y2016 满足: 2 2 (1) xk + yk = 1, k = 1, 2,? , 2016 ; (2) y1 + y2 + ? + y2016 是奇数. 求 x1 + x2 + ? + x2016 的最小值.

1, 2,? , 2016 , 解: 由已知条件 (1) 可得:xk ≤ 1, yk ≤ 1, k = 于是 (注意 xi ≥ 0 )
2016 k 1= k 1= k 1 =

∑ xk ≥

2016

∑ xk2 =∑ (1 ? yk2 ) =2016 ? ∑ yk2 ≥ 2016 ? ∑ yk .
k 1 = k 1 =

2016

2016

2016



…………………10 分 不妨设 y1 ,? , ym > 0, ym +1 ,? , y2016 ≤ 0, 0 ≤ m ≤ 2016 .则

∑ y k ≤ m, ?
k= 1

m

2016 k= m +1



yk ≤ 2016 ? m .

若 ∑ yk > m ? 1 ,并且 ?
k =1 m k =1

m

2016 k= m +1



yk > 2015 ? m ,令
2016 k= m +1

∑ yk = m ? 1+ a , ?
则 0 < a, b < 1 ,于是
2016 k= 1



y= 2015 ? m + b , k

∑y = ∑y
k k= 1 2016 k =1

m

k

+

2016 k= m +1



yk = m ? 1 + a ? (2015 ? m + b)

= 2m ? 2016 + a ? b ,

由条件(2)知, ∑ yk 是奇数,所以 a ? b 是奇数,这与 0 < a, b < 1 矛盾. …………………20 分 因此必有 ∑ yk ≤ m ? 1 ,或者 ?
k =1 2016 m 2016 k= m +1



yk ≤ 2015 ? m ,则
2016 k= m +1


k= 1

yk = ∑ yk ?
k= 1

m



yk ≤ 2015 .

…………………30 分

2016

于是结合①得

∑x
k =1

k

≥ 1.

又当 x= x2 = ? = x2015 = 0, x2016 = 1, y = y = ? y2015 = 1, y2016 = 0 时满足题设 1 1 2
1

条件,且使得不等式等号成立,所以 x1 + x2 + ? + x2016 的最小值为 1. …………………40 分 二、 (本题满分 40 分)设 n, k 是正整数,且 n 是奇数.已知 2n 的不超过 k 的 正约数的个数为奇数,证明: 2n 有一个约数 d ,满足 k < d ≤ 2k . 证明: 记 A d d 2n ,0 < d ≤ k , d 是奇数 ,B d d 2n ,0 < d ≤ k , d 是偶数 , = =

{

}

{

}

则 A ? B = ? , 2n 的不超过 k 的正约数的集合是 A ? B . 若结论不成立,我们证明 A = B . 对 d ∈ A ,因为 d 是奇数,故 2d 2n ,又 2d ≤ 2k ,而 2n 没有在区间 ( k , 2k ] 中 的约数,故 2d ≤ k ,即 2d ∈ B ,故 A ≤ B . …………………20 分
k < k ,故 d ′ ∈ A , 2 …………………30 分

反过来,对 d ∈ B ,设 d = 2d ′ ,则 d ′ n ,d ′ 是奇数,又 d ′ ≤ 从而 B ≤ A . 结论成立.

所以 A = B .故 2n 的不超过 k 的正约数的个数为偶数,与已知矛盾.从而 …………………40 分

三、 (本题满分 50 分) 如图所示, ABCD 是平行四边形, G 是 ?ABD 的重 心.点 P, Q 在直线 BD 上,使得 GP ⊥ PC , GQ ⊥ QC .证明: AG 平分 ∠PAQ .
P D G A B Q C

解:连接 AC ,与 BD 交于点 M .由平行四边形的性质,点 M 是 AC , BD 的 中点.因此,点 G 在线段 AC 上. 由于 ?GPC ? ?GQC ? 90? ,所以 P, G , Q, C 四点共圆,并且其外接圆是 以 GC 为直径的圆.由相交弦定理知 ① PM ? MQ = GM ? MC . …………………20 分 取 GC 的中点 O .注意到 AG : GM : MC = 2 :1: 3 ,故有 1 = OC = GC AG , 2 因此 G, O 关于点 M 对称.于是 ② GM ? MC = AM ? MO . …………………30 分 结合①、②,有 PM ? MQ = AM ? MO ,因此 A, P, O, Q 四点共圆. …………………40 分 1 又 OP = OQ = GC ,所以 ∠PAO = ∠QAO ,即 AG 平分 ∠PAQ . 2 …………………50 分
2

P D G A M B Q O C

AG AC ? ? 2 ,因此以 GC 为直径的圆是阿波罗尼斯圆,它包含 GM CM PA QA 点 P, Q ,所以 ? ? 2 .由角平分线定理的逆定理, AG 平分 ?PAQ . PM QM

注:由于

四、 ( 本 题 满 分 50 分 ) 设 A 是 任 意 一 个 11 元 实 数 集 合 . 令 集 合 = B {uv u, v ∈ A, u ≠ v } .求 B 的元素个数的最小值. 解:先证明 B ≥ 17 .考虑到将 A 中的所有元素均变为原来的相反数时,集 合 B 不变,故不妨设 A 中正数个数不少于负数个数.下面分类讨论: 情况一: A 中没有负数. 设 a1 < a2 < ? < a11 是 A 中的全部元素,这里 a1 ≥ 0, a2 > 0 ,于是

a1a2 < a2 a3 < a2 a4 < ? < a2 a11 < a3 a11 < ? < a10 a11 ,

18 个数,它们均是 B 的元素,这表明 B ≥ 18 . 上式从小到大共有 1 + 9 + 8 =
…………………20 分 情况二: A 中至少有一个负数. 设 b1 , b2 ,? , bk 是 A 中的全部非负元素, c1 , c2 ,? , cl 是 A 中的全部负元素.不 妨设

cl < ? < c1 < 0 ≤ b1 < ? < bk , 11 ,而 k ≥ l ,故 k ≥ 6 .于是有 其中 k , l 为正整数, k + l = c1b1 > c1b2 > ? > c1bk > c2bk > ? > cl bk , 10 个元素,且非正数;又有 它们是 B 中的 k + l ? 1 = b2b3 < b2b4 < b2b5 < b2b6 < b3b6 < b4b6 < b5b6 ,
它们是 B 中的 7 个元素,且为正数.故 B ≥ 10 + 7 = 17 . 由此可知, B ≥ 17 . 另一方面,令 A = {0, ± 1, ± 2, ± 22 , ± 23 , ± 24 } ,则 …………………40 分

B = {0, ? 1, ± 2, ± 22 , ± 23 ,? , ±26 , ± 27 , ? 28 }
是个 17 元集合. 综上所述, B 中元素个数的最小值为 17 . …………………50 分

3


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