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6等差数列与等比数列复习


等差数列与等比数列 【基础知识回顾】
1.等差数列的有关定义 (1)一般地, 如果一个数列从第____项起, 每一项与它的前一项的____等于 一个常数, * 那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为____________ (n∈N ,d 为常数). (2)数列 a,A,b 成等差数列,则 A=____________,其中 A 叫做 a,b 的____________. 2.等差数列 ?an ? 的有关公式 (1)通项公式:an= ____________,an=am+__________ (m,n∈N*) 3.等差数列 ?an ? 的性质 (2)前 n 项和公式:Sn=______________=________________= (1)若 m+n=p+q (m,n,p,q∈N*),则有________________ (2)等差数列中,Sm, ,S3m-S2m,…成等差数列. (3)已知等差数列?an ?,公差为d , 共有2n项,则S偶 ? S奇 ? (4) 等差数列?an ?,公差为d , 共有2n ?1项,则S奇 ? S偶 ? (5) 等差数列中,S2n-1= an ;an = 4.等比数列的定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的 常数,那么这个数列就叫做等比数列 . 这个常数叫做等比数列的 (q ? 0) ,即: q = (q ? 0)
2

S奇 ? S偶
,



S奇 ? S偶

;

等于同一个 ,用字母 q 表示

5.等比中项:如果 a、G、b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.且 G ? 6.等比数列 ?an ? 的通项公式: a n = 7. 等比数列 ?an ? 求和公式: S n ? ? =

? ?

8. 等比数列 ?an ? 的性质: (1)若 m ? n ? p ? q (m, n, q, p ? N ? ) ,则 (2)等比数列中(公比不为-1) ,Sm, 9. a n 与 S n 的关系为 10.练习: (1)在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1,则 a5 的值为 (2)设数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a6=2 且 S5=30,则 S8= (3)设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. 则 Sn 最大的序号 n 的值为 S5 (4)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 = S2 1 (5) 在等比数列{an}中, 若 a1= , a =-4, 则公比 q=________; |a1|+|a2|+…+|an|=_______ 2 4 ,S3m-S2m,…成等比数列.

1

【典型例题】 例 1、已知等差数列{an}满足 a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的前 n 项和 Tn.

1 例 2、已知在正整数数列{an}中,前 n 项和 Sn 满足: Sn= (an+2)2. 8 (1)求证:{an}为等差数列. 1 (2)若 bn= an-30.求数列{bn}的前 n 项和的最小值. 2

例 3、成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数 列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式;
? ?

5? ? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列.

2

【课后作业】 1、 已知两个数列 x, a1, a2, a3, y 与 x, b1, b2, y 都是等差数列, 且 x≠y, 则 a2-a1 = ________. b2-b1

2、在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=___

___

3、已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=__

___

4、已知等比数列{an}为递增数列,且 a2 5=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式 an=________.

5、已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=_______

6、设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q=

? 1 ? 7、已知数列{an}中,a3=2,a5=1,若?1+a ?是等差数列,求 an ?
n?

3

Sn 8、设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an= +2(n-1) (n∈N*). n (1)求证:数列{an}为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式; S2 S3 Sn (2)是否存在自然数 n,使得 S1+ + +…+ -(n-1)2=2 013?若存在,求出 n 的 n 2 3 值;若不存在,请说明理由.

1 9、已知数列{an}的各项均为正数,且前 n 项和 Sn 满足 Sn= (an+1)(an+2).若 a2,a4,a9 6 成等比数列,(1)求证:数列{an}为等差数列; (2)求数列{an}的通项公式.

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