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安徽省安庆市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题


安庆一中 2015—2016 学年度高二上学期期中考试 数学学科试题卷(文科)
一.选择题(共 10 小题,每小题 5 分) 1.某社区有 500 个家庭,其中高收入家庭 125 户,中等收入家庭 280 户,低收入家庭 95 户, 为了调查社会购买力的某种指标,要从中抽取一个容量为 100 户的样本,应采用的抽样方 法为( ) A.抽签法 B.随机数表法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 2.圆心为 (1,1) 且过原点的圆的方程是( A. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2

) B. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 D. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2

3.从装有除颜色外完全相同的 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么对立的两个事 件是( ) A.至少有 1 个白球,至少有 1 个红球 B.至少有 1 个白球,都是红球 C.恰有 1 个白球, 恰有 2 个白球 D.至少有 1 个白球,都是白球 4.某程序框图如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( A. f ( x) ? x
2



B. f ( x ) ?

1 x

C. f ( x) ? e

x

D. f ( x) ? sin x

2 2 5.平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 且与圆 x ? y ? 5 相切的直线的方程是(



A. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0

B. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 D.2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0

6.右图程序运行结果是( A.32 B.34

) C.35 D.36

a ?1 b ?1 t?2
WHILE

t <=5

a ? a?b b ? a?b t ? t ?1 WEND
PRINT END

a

7.天气预报说,在今后的三天中,每三天下雨的情况不完全相同,每一天下雨的概率均为 40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率:用 1,2,3,4 表示下 雨,从下列随机数表的第 1 行第 2 列开始向右读取直到末尾,每三个一组,从而获得 21 组数 据.据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为( ) 19 07 96 61 91 92 52 71 93 28 12 45 85 69 17 16 83 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 53 79 89 A.

5 21

B.

2 7

C.

1 3

D.无答案可选

8. 圆 C1:x2+y2+4x-4y+7=0 和圆 C2:x2+y2-4x-10y+13=0 的公切线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

)

9.某同学在一次综合性测试中语文、数学、英语、科学、社会 5 门学科的名次在其所在班级 里都在前三名 (记第一名为 1,第二名为 2,第三名为 3,依此类推且没有并列名次情况) ,则称该同学为超 级学霸,现根据不同班级的甲、乙、丙、丁四位同学对一次综合性测试名次数据的描述,一 定可以推断是超级学霸的是( ) A.甲同学:平均数为 2,中位数为 2 B.乙同学:中位数为 2,唯一的众数为 2 C.丙同学:平均数为 2,标准差为 2 D.丁同学:平均数为 2,唯一的众数为 2 10.甲、乙两人约定上午 7:20 至 8:00 之间到某站乘公共汽车,在这段时间内有 3 班公共 汽车,它们开车的时刻分别是 7:40、7:50 和 8:00,甲、乙两人约定,见车就乘,则甲、 乙同乘一车的概率为(假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的, 且每人在 7:20 至 8: 00 时的任何时刻到达车站都是等可能的) ( ) A.

1 3

B.

1 2

C.

3 8

D.

5 8

二.填空题 (共 5 小题,每题 5 分) 11.某班级有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生,将这 50 名学生随机编号 1~50 号,并分组,第一组 1~5 号,第二组 6~10 号……第十组 46~50 号,若在第三组 中抽得号码为

12 的学生,则在第八组中抽得号码为________的学生.

12. 把 23 化为二进制数是

13.已知直线 l : x ? y ? 3 ? 0 被圆 C : ( x ? a) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 截得的弦长为 2 2 ,则 a 的值 为 .

14.用秦九韶算法求多项式 f ( x) ? x6 ? 5x5 ? 6x4 ? x2 ? 3x ? 2 的值,当 x ? ?2 时, V3 的值 为 15.过点 P(1,1) 的直线,将圆形区域 ( x, y) x 2 ? y 2 ? 4 分两部分,使这两部分的面积之差 最大,则该直线 的方程为 .

?

?

三 解答题 16. (12 分) 在平面直角坐标系中,曲线 y ? x ? 4 x ? 3 与两坐标轴的交点都在圆 C 上。
2

(1)求圆 C 的方程; (2) 判断直线 ax ? y ? 3a ? 1 ? 0 与圆 C 的位置关系.

17. (12 分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m ,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个 球,该球的 编号为 n ,求 n ? m ? 2 的概率.

18. (12 分)从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布 直方图(如图),

(1) 由图中数据求 a 的值; (2) 若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方 法选取 18 人 参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为多少? (3) 估计这所小学的小学生身高的众数,中位数及平均数.

19. (12 分)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄 存款 (年底余额),如下表: 年份 时间代号 x 储蓄存款 y(千亿元) 2010 1 5
?
?

2011 2 6
?

2012 3 7

2013 4 8

2014 5 10

(1) 求 y 关于 x 的回归方程 y = b x + a ; (2) 用所求的回归方程预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款. 附:

? ? ?b ? ? ? ? ?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? ( x i ? x) 2
i ?1

n

?

?x y
i ?1 n i i ?1

n

i

? nx y
2

? xi2 ? n x

a ? y ? bx

20.(13 分) 已知数列 ?an ? 的各项均为正数,观察程序框图 (1)若输入的 a1 ? 1 , d ? 1 , k ? 3 时,求输出的 S 的值 (2)写出 k ? 4 时, S 的表达式(用 a1,a2,a3,a4,a5 表示) (3) 若输入 k ? 5 , k ? 10 时,分别有 S ? 试求数列 ?an ? 的通项;

5 10 和S ? . 11 21

2 2 21. (14 分)已知圆 C 的方程为 x ? ( y ? 4) ? 4 ,点 O 是坐标原点,直线 l : y ? kx 与圆 C

交于 M , N 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)求弦 MN 中点 G 的轨迹方程,并求出轨迹的长度; (3)设 Q(m, n) 是线段 MN 上的点,且 数,并求其定义域.

2 1 1 ? ? ,请将 n 表示为 m 的函 2 2 | OQ | | OM | | ON |2

安庆一中 2015—2016 学年度高二上学期期中考试 数学学科试题卷(文科) 参考答案
1.D 2.C 3.B 4.D 11. 37 5.A 6.B 7.B 13 8.C 9.D 10. C 15. x+y-2=0 12 . 10111 ( 2) 1 或-3 14. -40

2 2 16 (1) ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 5

(2) 相交 17 (1)从袋中随机取出两个球,其一切可能的结果组成的基本条件有 1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4,共 6 个. 从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2,1 和 3 两个. 2 1 因此所求事件的概率 P=6=3. (2)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m,放回后,再从袋中随机取一个球, 记下编号为 n,其一切可能的结果(m,n)有: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 16 个. 又满足条件 n≥m+2 的事件为(1,3),(1,4),(2,4),共 3 个, 3 所以满足条件 n≥m+2 的事件的概率为 P1=16. 3 13 故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 1-P1=1-16=16. 18 (1)因为直方图中的各个矩形的面积之和为 1, 所以有 10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得 a=0.030. (2) 由直方图可知三个区域内的学生总数为 100×10×(0.030+0.020+0.010) =60 人. 其中身高在[140,150]内的学生人数为 10 人, 所以从身高在[140,150]范围 内抽取的 18 学生人数为60×10=3 人. 1 (3)分别为 115cm, 123 cm,124.5cm 3 19

20(1) S ?

1 1 1 1 3 ? ? ? 1? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 4 1 1 1 1 (2) S ? ? ? ? a1 a 2 a 2 a3 a3 a 4 a 4 a5 1 1 1 (3)由框图可知 S=a a +a a +…+ , akak+1 1 2 2 3 1 1 1 1 ∵数列{an} 是等差数列,设公差为 d,则有 =d(a - ), akak+1 k ak+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴S=d(a -a +a -a +…+a - )=d(a - ). a a 1 2 2 3 k 1 k+1 k+1 5 10 k=5 时,S=11;k=10 时,S=21. 1 1 1 5 ? ?d(?a1-a6?)=11, ?a1=1, ?a1=-1, ∴? 解得? 或? (舍去). 1 1 1 10 ?d=2 ?d=-2 ? ?d?(a1-a11?)=21,?

故 an=a1+(n-1)d=2n-1. 21 解:(1)将 y=kx 代入 x2+(y-4)2=4 中,得(1+k2)x2-8kx+12=0.(*) 由 Δ=(-8k)2-4(1+k2)× 12>0,得 k2>3. 所以,k 的取值范围是(-∞, ? 3 )∪( 3 ,+∞). 4? (2)轨迹方程 x2+(y-2)2=4 (在已知圆内) ,长度 3 (3)因为 M, N 在直线 l 上, 可设点 M, N 的坐标分别为(x1, kx1), (x2, kx2), 则|OM|2=(1+k2)x12,|ON|2=(1+k2)x22, 又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2. 2 1 1 2 1 1 ? ? ? ? 由 ,得 , 2 2 2 2 2 2 2 | OQ | | OM | | ON | ?1 ? k ?m ?1 ? k ? x1 ?1 ? k 2 ? x2 2 即

2 1 1 ? x1 ? x2 ?2 ? 2 x1 x2 . ? ? ? m2 x12 x22 x12 x22 8k 12 36 由(*)式可知,x1+x2= ,x1x2= , 所以 m2 ? 2 . 2 2 1? k 1? k 5k ? 3 因为点 Q 在直线 y=kx 上,

n 36 ,代入 m2 ? 2 中并化简,得 5n2-3m2=36. m 5k ? 3 36 由 m2 ? 2 及 k2>3,可知 0<m2<3,即 m∈( ? 3 ,0)∪(0, 3 ). 5k ? 3 根据题意,点 Q 在圆 C 内,则 n>0,

所以 k ?

36 ? 3m2 15m2 ? 180 所以 n ? . ? 5 5
15m2 ? 180 于是, n 与 m 的函数关系为 n ? (m∈( ? 3 , 0)∪(0, 3 )). 5


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