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函数的概念和图象


2.1.1 函数的概念和图象(二)
学习目标: 使学生掌握函数图像的画法. 教学重点: 函数图像的画法. 教学难点: 函数图像的画法. 教学过程: 一、复习回顾 上节课,我们学习了函数的概念,请同学们回忆一下,函数的定义是怎样的?它有几个 要素?分别是什么? 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 数 x,在集合 B 中都有惟一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f︰A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 函数有三要素:定义域、值域、对应关系. 练习:下列函数中,哪个函数与函数 y=x 是同一个函数?
x 两个只有当它们的三要素完全相同时才为同一个函数.

?1?y ? ?

x

?

2

?2?y ? 3 x 3

?3?y ?

x2

?4?y ? x

2

二、学生活动 1 2 在初中,我们已学过函数的图象,并能作出函数 y=2x-1,y= (x≠0)以及 y=x

x

的图象.社会生活中还有许多函数图象的例子,如心电图、示波图等. 回想一下,在初中我们是采用什么方法来画出函数的图象? 描点法 描点法作图的步骤有哪些? 列表、描点、连线 练习(P25 例 4)试画出下列函数的图象: ⑴f(x)=x+1 2 y ⑵f(x)=(x-1) +1,x∈[1,3)
y

1 O 1 x

1 O 1 x

三、建构数学 将自变量的一个值 x0 作为横坐标,相应的函数值 f(x0)作为纵坐标,就得到坐标平面上 的一个点(x0,f(x0)).当自变量取遍函数定义域 A 中的每一个值时,就得到一系列这样的点. 所有这些点组成的集合(点集)为 {(x,f(x))|x∈A},
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即 {(x,f(x))|y=f(x),x∈A}, 所有这些点组成的图形就是函数 y=f(x)的图象. 四、数学运用 例 5 估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查 得我国从 1949 年至 1999 年人口数据资料如表所示, 你能根据这个表说出我国人口变化情况 吗?
年 份 1949 542 1954 603 1959 672 1964 705 1969 807 1974 909 1979 975 1984 1035 1989 1107 1994 1177 1999 1246 人口数/百万

如果把人口数 y(百万人)看做年份 x 的函数,试画出这个函数的图象. 解:由上表的数据,画出的函数图象是 11 个点.
y/百万人

1400 1200 1000 800 600 400 200

x/年份
1949 1954 1959 19641969 1974 1979 1984 1989 1994 1999

补:一物体从静止开始下落,下落的距离 y(m)与下落时间 x(s)之间近似地满足关系式 2 y=4.9x .若一物体下落 2s,你能求出它下落的距离吗?并画出它的图象.

y

O

x

思考: 设函数 y=f(x)的定义域为 A, 则集合 P={(x,y)|y=f(x),x∈A}与集合 Q={y| y=f(x),x∈A}相等吗?请说明理由. y 解析:P≠Q,因为 P、Q 的代表元素不一样,P 是点集,Q 是值域. 2 问题:直线 x=1 和函数 y=x +1 的图象的公共点可能几个? 解析:根据图象知有且仅有一个公共点. 2 变:⑴(P29 习题 6)直线 x=a 和函数 y=x +1 的图象的公共点可能 几个? O x x=1 解析:根据图象知有且仅有一个公共点. 2 ⑵直线 x=-1 和函数 y=x +1,x∈[0.+∞)的图象的公共点可能几个? 解析:根据图象知没有公共点. 2 ⑶直线 x=a 和函数 y=x +1,x∈A 的图象的公共点可能几个? 解析:当 a∈A,则根据图象知有且仅有一个公共点;当 a?A 时,没有公共点.
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例 6 试画出函数 f(x)=x +1 的图象,并根据图象回答下列问题: ⑴比较 f(-2),f(1),f(3)的大小; ⑵若 0<x1<x2,试比较 f(x1)与 f(x2)的大小. y 解:函数的图象如下 y ⑴根据图象知 f(3)>f(-2)>f(1), ⑵根据图象知,当 0<x1<x2 时, f(x1)<f(x2). 思考:在上例⑵中, ⑴如果把“0<x1<x2”改为 “x1<x2<0” ,那么 f(x1)与 f(x2) 哪个大? ⑵如果把“0<x1<x2”改为 “|x1|<|x2|” ,那么 f(x1)与 f(x2) O x1 O 1 3 x -2 哪个大? 解析:仍然根据函数的图象,有 ⑴f(x1)>f(x2). ⑵∵f(x)的图象关于 y 轴对称,∴当|x1|<|x2|时有 f(x1)<f(x2). 学生练习 P28 练习 1,2,3 五、回顾反思 能用描点法画出常见函数的图象,并能根据函数的图象解决有关问题 六、作业 P20 习题 2.1⑴7,8,9

2

x2 x

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