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高二数学:7.2《等差数列》课件 沪教版


引例一

1+2+3+·+100=? · ·

高斯
(1777—1855)
德国著名数学家

得到数列 1,2,3,4, … ,100

引例二

姚明刚进NBA一周训练罚球的个数:
第一天:6000, 第二天:6500, 第三天:7000, 第四天:7500, 第五天:8000, 第六天:8500, 第七天:9000.

得到数列: 6000,6500,7000,7500, 8000,8500,9000

引例三
匡威运动鞋(女)的尺码(鞋底长,单位是cm) ,24, ,23, ,25, , 2 得到数列 ,26, ,23, ,24, ,25, 6 ,
1 2 1 2 23
2

1 24 25 1 2 2

22 24

1 2 1 2

25

1 2

观察归纳 高斯计算的数列: 发现? 1,2,3,4, … ,100 姚明罚球个数的数列: 6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000 运动鞋尺码的数列 ,26 ,23, ,24, ,25,
1 2 23 1 25 1 22 2

观察:以上数列有什么共同特点?
从第 2项起,每一项与前一项的差都等于同一 常数。

等差数列定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项 的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。这 个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示。

递推公式:an-an-1=d (d是常数,n≥2,n∈N*)
①1,2,3,…,100;
1 2 3 24 1 2 5 1 2 22

公差d=1

③ 24, ,23, ②6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000 公差d=500 , 25 2 1 6 公差d=

2

想一想
1、数列6,4,2,0,-2,-4?是否为等差数列?若是,
则公差是多少?若不是,说明理由 差是多少?若不是,说明理由 公差是0 3、数列0,1,0,1,0,1是否为等差数列?若是,则公差是 多少?若不是,说明理由 2、常数列a,a,a,…是否为等差数列?若是,则公

公差是-2

不是

公差d是每一项(第2项起)与它的前一项 的差,防止把被减数与减数弄颠倒,而且公差可 以是正数,负数,也可以为0

通项公式
已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d

累差迭加法

a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d
……

(1) (2) (3)

an-an-1=d
(1)式+(2)式+…+(n-1)式得:

(n-1)

即 an-a1=(n-1)d, an=a1+(n-1)d

例题讲解 例1(1)求等差数列8,5,2,…的第20项 (2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,… 的项?如果是,是第几项? 解: (1)由a1=8, d=5-8=-3, n=20,得
(-3) =-49 a20= 8 + (20-1)× (2) 由a1=8, d=-9-(-5)=-4, 得到这个数列的通项公式为 an=-5-4(n-1) 由题意知,问是否存在正整数n,使得 -401= -5-4(n-1) 成立 解关于n的方程, 得n=100 即-401是这个数列的第100项。

例2 在等差数列{an}中,已知a5=10, a12=31,求首项a1 与公差d. 解: 由题意知, a5=10=a1+4d a12=31=a1+11d 解得: a1=-2 d=3 即等差数列的首项为-2,公差为3 点评:利用通项公式转化成首项和公差 联立方程求解

:用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列,由已知条件, =33,a12=110,n=12. 由通项公式,得a12= a1+(12-1)d 即110=33+11d d=7 因此a2=33+7=40, a3=40+7=47, a4=54, a5=61, a6=68, a 7=75,a8=82, a9=89, a10=96 a=11 =103 梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm ,47 cm , 5 cm ,61 cm ,68 cm ,75 cm ,82 cm , 9 cm ,96 cm ,103 cm

例3 梯子的最高一级宽33cm,最低一级110 cm, 中间还有10级,各级的宽度成等差数列.计算中间各级 的宽度.

题后点评

求通项公式的关键步骤:
求基本量a1和d :根据已知条件列方程,由 此解出a1和d ,再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系,列出 方程求解的思想方法,称方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。

练一练

在等差数列{an}中,

(1) 已知a4=10, a7=19,求a1与d. (2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12. 解: (1)由题意知, a4=10=a1+3d 解得: a1=1 a7=19=a1+6d 即等差数列的首项为1,公差为3 (2)由题意知, a3=9=a1+2d a9=3=a1+8d d=3

解得:

a1=11 d=-1

所以: a12=a1+11d=11+11×(-1)=0

古题今解

我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记 有:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗。 人分加三颗。问:五人各得几何?”
分析: 此题已知a1+a2+a3+a4+a5=60,d=3, ∴ a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60, ∴ a1=6, a2=9, a3=12, a4=15, a5=18 即为五等诸侯分到橘子的颗数。
点评:解等差数列有关问题时转化为

a1和d是常用的基本方法

接轨高考
(此题为2003年全国高考题) 则n的值为(C ) A.48 B.49 C.50

1 等差数列{an}中,已知 a1 ? , a 2 ? a5 ? 4, a n ? 33 3
D.51

a2+ a5= a1+ d+a 1+4 d=4
d? 2 3

新概念 在等差数列a,A,b中,A与a,b有什么关系? 解: 依题得, A-a=b-A

所以,

A=(a+b)/2
A为a,b的

等差中项

要点扫描

本节课主要学习:
一个定义: an-an-1=d(d是常数,n≥2, n∈N*)

一个公式:an=a1+(n-1)d
一种思想:方程思想 一个概念: A=a+b/2

课后作业

如何解决

1+2+3+·+100=? · ·

预习:等差数 列的前n项和

课堂练习
课后作业 能力提升

是等差数列,并求出公差d.

1 { } 1.已知a1=3,2an=Sn·n-1,求证:数列 sn S

方法二 由递推公式:an-an-1=d (d是常数,n≥2,n∈N*)

可得:

a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d
……
等差数 列的通 项公式

a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d
……

an-an-1=d

an=a1+(n-1)d

an=a1+(n-1)d
当n=1时,等式也成立。


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