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《高三数学总复习》高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第8章 解析几何-4


第八章
解析几何

第四节

直线与圆、圆与圆的位置关系

课前学案 基础诊断

课堂学案 考点通关

自主园地 备考套餐

开卷速查

1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置 考 关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的

位置关 纲 系. 导 学 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

课前学案

基础诊断
夯基固本 基础自测

1.直线与圆的位置关系 1 ______、□ 2 ______、□ 3 ______. 位置关系有三种:□ 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法: ?>0?相交, 判别式 ? ?=0?相切, (1)代数法: ――→ 2 Δ=b -4ac? ?<0?相离.

(2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关 4 ____,d=r?□ 5 ____,d>r?□ 6 ____. 系:d<r?□

2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法: 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构 成的直角三角形计算. (2)代数方法: 运用韦达定理及弦长公式: |AB|= 1+k2|xA-xB| = ?1+k2?[?xA+xB?2-4xAxB]. 说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.

3.求过点P(x0,y0)的圆x2+y2=r2的切线方程 (1)若P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上, 7 ____________. 则以P为切点的圆的切线方程为□ (2)若P(x0,y0)在圆x2+y2=r2外,则过P的切线方程可设为y -y0=k(x-x0),利用待定系数法求解. 说明:k为切线斜率,同时应考虑斜率不存在的情况.

4.圆与圆的位置关系的判定 设⊙C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0), ⊙C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 2(r2>0),则有 8 ____; |C1C2|>r1+r2?⊙C1与⊙C2□ 9 ____; |C1C2|=r1+r2?⊙C1与⊙C2□ 10 ____; |r1-r2|<|C1C2|<r1+r2?⊙C1与⊙C2□

11 ____; |C1C2|=|r1-r2|(r1≠r2)?⊙C1与⊙C2□ 12 ____. |C1C2|<|r1-r2|?⊙C1与⊙C2□

1 相离 答案:□ 6 相离 □ 11 内切 □

2 相切 □ 3 相交 □ 4 相交 □ 5 相切 □ 7 x0x+y0y=r2 □ 8 相离 □ 9 外切 □ 10 相交 □ 12 内含 □

2种方法——计算直线被圆截得的弦的常用方法 (1)几何方法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的 一半及半径构成直角三角形计算. (2)代数方法:运用韦达定理及弦长公式 |AB|= 1+k2|xA-xB| = ?1+k?2[?xA+xB?2-4xAxB].

3个性质——直线与圆的位置关系的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.

1.圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是 ( ) A.相切 C.相交过圆心 B.相交但直线不过圆心 D.相离

解析:由题意知圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d= |2×1-2-5| = 5 < 6 .且2×1+(-2)-5≠0,因此该直线与圆相 22+1 交但不过圆心.
答案:B

2.圆x2+y2-4x=0在点P(1, 3)处的切线方程为( A.x+ 3y-2=0 C.x- 3y+4=0 B.x+ 3y-4=0 D.x- 3y+2=0

)

解析:圆的方程为(x-2)2+y2=4,圆心坐标为(2,0),半径为 2,点P在圆上,设切线方程为y- 3 =k(x-1),即kx-y-k+ 3 = |2k-k+ 3| 3 0,∴ =2,解得k= 3 . k2+1 3 ∴切线方程为y- 3= (x-1),即x- 3y+2=0. 3
答案:D

3.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的 值为( ) B.1 D.-3

A.-1 C.3

解析:由已知得圆心为(-1,2),则3×(-1)+2+a=0,∴a= 1.

答案:B

4.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是 ( ) A.相离 C.外切 B.相交 D.内切

解析:圆O1的圆心为(1,0),半径r1=1,圆O2的圆心为(0,2), 半径r2=2,故两圆的圆心距|O1O2|= 5 ,而r2-r1=1,r1+r2=3, 则有r2-r1<|O1O2|<r1+r2,故两圆相交.
答案:B

5.直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点,则|AB|= __________.

解析:如图,取AB中点C,连接OC、OA,则OC⊥AB,|OA|= |0-2×0+5| 2 2,|OC|= 2 2 = 5, 1 +?-2? ∴|AC|= 8-5= 3,

∴|AB|=2|AC|=2 3.
答案:2 3

课堂学案

考点通关
考点例析 通关特训

考点一 【例1】

直线与圆的位置关系 (1)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+ )

by=1与圆O的位置关系是( A.相切 C.相离 B.相交

D.不确定

(2)直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一 个充分不必要条件是( A.-3<m<1 C.0<m<1 ) B.-4<m<2 D.m<1

解析:(1)由点M在圆外,得a2+b2>1,∴圆心O到直线ax+by 1 =1的距离d= 2 2<1,则直线与圆O相交. a +b (2)根据直线与圆有两个不同的交点,可知圆心到直线的距离d 小于半径. ∵圆x2+y2-2x-1=0可化为(x-1)2+y2=2,即圆心是(1,0), 半径是 2, |1-0+m| ∴d= < 2, 2

∴|m+1|<2, ∴-3<m<1,由题意知m的取值范围应是(-3,1)的一个真子 集,故选C.

答案:(1)B

(2)C

?名师点拨 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法:利用d与r的关系. (2)代数法:联立方程,再利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可 判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动 直线问题.

通关特训1 (1)设m>0,则直线 2(x+y)+1+m=0与圆x2+y2 =m的位置关系为( A.相切 C.相切或相离 ) B.相交 D.相交或相切

(2)若圆x2+y2=r2(r>0)上仅有4个点到直线x-y-2=0的距离 为1,则实数r的取值范围为( A.( 2+1,+∞) C.(0, 2-1) ) 2+1)

B.( 2-1, D.(0, 2+1)

1+m 解析:(1)圆心到直线l的距离为d= ,圆半径为 m .因为d 2 1+m 1 1 -r= - m = (m-2 m +1)= ( m -1)2≥0,所以直线与圆 2 2 2 的位置关系是相切或相离.

2 (2)计算得圆心到直线l的距离为 = 2>1,如图.直线l:x- 2 y-2=0与圆相交,l1,l2与l平行,且与直线l的距离为1,故可以看 出,圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离 2+1.
答案:(1)C (2)A

考点二

圆的切线与弦长问题

【例2】 (1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分 别为A,B,则直线AB的方程为( A.2x+y-3=0 )

B.2x-y-3=0

C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0 (2)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为 __________.

解析:(1)根据平面几何知识,直线AB与点(3,1),(1,0)的连线 1 垂直,这两点连线的斜率为 2 ,故直线AB的斜率是-2,只有选项A 正确. (2)最短弦为过点(3,1),且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦,易 知弦心距d= ?3-2?2+?1-2?2 = 2 ,所以最短弦长为2 r2-d2 = 2 22-? 2?2=2 2.
答案:(1)A (2)2 2

?名师点拨 圆的切线与弦长问题的解题策略 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长一半、弦 心距、半径构成直角三角形. (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建 立关系解决问题.

通关特训2 (1)直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于 M,N两点,若|MN|≥2 3,则k的取值范围是(
? 3 ? A.?-4,0? ? ? ? B.? ?- ?

)

3 3? ? , 3 3? ?

C.[- 3, 3]

? 2 ? D.?-3,0? ? ?

(2)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15 =0相切,则实数k的取值范围是__________.

解析:(1)如图,若|MN|=2 3 ,则由圆与直线的位置关系可知 圆心到直线的距离满足d2=22-( 3)2=1.

∵直线方程为y=kx+3, |k· 2-3+3| ∴d = =1, 1+k2 3 解得k=± 3 . 3 3 若|MN|≥2 3,则- 3 ≤k≤ 3 .
? 1 ?2 3 (2)把圆的方程化为标准方程是?x+2k? +(y+1)2=16- k2, 4 ? ?

3 8 3 8 3 所以16-4k2>0,解得- 3 <k< 3 ,

由题易知点(1,2)应在已知圆的外部, 把点代入圆的方程得1+4+k+4+k2-15>0, 即(k-2)· (k+3)>0, 解得k>2或k<-3,
? 8 3 ? ? 8 3? ? ? ? ? 则实数k的取值范围是?- ∪ . ,- 3 2 , ? ? 3 3 ? ? ? ? ?

答案:(1)B

? 8 3 ? ? 8 3? ? ? ? ? (2)?- ∪ ,- 3 2 , ? ? 3 3 ? ? ? ? ?

考点三

圆与圆的位置关系

【例3】 已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y +m=0. (1)m取何值时两圆外切? (2)m取何值时两圆内切? (3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

解析:两圆的标准方程为:(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y -6)2=61-m, 圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为 11和 61-m. (1)当两圆外切时, ?5-1?2+?6-3?2= 11+ 61-m, 解得m=25+10 11.

(2)当两圆内切时,因定圆的半径 11 小于两圆圆心间距离5, 故只有 61-m- 11=5,解得m=25-10 11. (3)两圆的公共弦所在直线方程为 (x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0, 即4x+3y-23=0, ∴公共弦长为2 ? 11?
2

?|4×1+3×3-23|? ?2 -? 2 2 ? ? =2 4 +3 ? ?

7.

?名师点拨 圆与圆的位置关系的求解策略 (1)判断两圆的位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆 半径和与差之间的关系,一般不采用代数法. (2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长, 只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方 程,再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长.

通关特训3 (1)两个圆:C1:x2+y2+2x+2y-2=0与C2:x2+ y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有( A.1条 C.3条 B.2条 D.4条 )

(2)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15= 0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径 的圆与圆C有公共点,则k的最大值是__________.

解析:(1)由题知C1:(x+1)2+(y+1)2=4,则圆心C1(-1,- 1),C2:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心C2(2,1),两圆半径均为2, 又|C1C2|= ?2+1?2+?1+1?2 = 13 <4,则两圆相交?只有两 条外公切线.

(2)圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,如图,直线y=kx-2上至 少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点, 只需保证圆心C到y=kx-2的距离不大于2即可.圆心C(4,0)到直线y |4k-2| |4k-2| =kx-2的距离d= 2 2= 2, ?-1? +k 1+k

|4k-2| 4 2 由题意知 2 ≤2,整理得3k -4k≤0,解得0≤k≤ 3 .故kmax 1+k 4 = . 3
答案:(1)B 4 (2)3

考点四

与圆有关的探索性问题

【例4】 已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0.问在圆C上是否存 在两点A、B关于直线y=kx-1对称,且以AB为直径的圆经过原 点?若存在,写出直线AB的方程;若不存在,说明理由.

解析:圆C的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心为C(1,- 2). 假设在圆C上存在两点A,B满足条件, 则圆心C(1,-2)在直线y=kx-1上,即k=-1. 于是可知,kAB=1.

设lAB:y=x+b,代入圆C的方程, 整理得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,

则Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0, 即b2+6b-9<0. 解得-3-3 2<b<-3+3 2. 设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2), 1 2 则x1+x2=-b-1,x1x2=2b +2b-2. 由题意知OA⊥OB,则有x1x2+y1y2=0, 也就是x1x2+(x1+b)(x2+b)=0.

∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0. ∴b2+4b-4-b2-b+b2=0, 化简得b2+3b-4=0. 解得b=-4或b=1,均满足Δ>0, 即直线AB的方程为x-y-4=0,或x-y+1=0.

?名师点拨 有关圆的探索性问题的关键点 本题是与圆有关的探索类问题,要注意充分利用圆的几何性质 解题,解题的关键有两点: (1)假设存在两点A、B关于直线对称,则直线过圆心. ?2?若以AB为直径的圆过原点,则OA⊥OB.转化为 =0.

通关特训4 在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象 限,半径为2 2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O. (1)求圆C的方程; (2)探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q到定点F(4,0)的距离 等于线段OF的长.若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理 由.

解析:(1)设圆心为C(a,b),由OC与直线y=x垂直,知O,C b 两点的连线斜率kOC=a=-1,故b=-a, 易知|OC|=2 2,即 a2+b2=2 2,
? ?a=-2, 可解得? ? ?b=2 ? ?a=2, 或? ? ?b=-2,

? ?a=-2, 结合点C(a,b)位于第二象限知? ? ?b=2.

故圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.

(2)假设存在Q(m,n)符合题意, ??m-4?2+n2=42, ? 2 2 m + n ≠0, ? 则 ??m+2?2+?n-2?2=8, ? 4 ? ?m=5, 解得? ?n=12. 5 ?

?4 12? 故圆C上存在异于原点的点Q?5, 5 ?符合题意. ? ?

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