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上海市2013届浦东新区高三一模数学文科试卷


浦东新区 2012 学年度第一学期期末质量测试 高三数学试卷(文科)
一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分. 1.若集合 A ? ? 0, m ? , B ? ? 1, 2 ?, A ? B ? ? 1 ? ,则实数 m ? 2.已知二元一次方程组 ? 1 .

?a1 x ?

b1 y ? c1 ?1 ? 1 1 ? 的增广矩阵是 ? ?1 1 3 ? ,则此方程组的解是 ? ? ? ?a2 x ? b2 y ? c2

?x ? 2 . ? ? y ?1
3.函数 y ? log2 ( x ? 2) 的定义域为

[3,??)

.

4.已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 5.函数 y ? 1 ? x ( x ? 0 )的反函数是 6.函数 f ( x) ? 2sin ?

1 16

.

2 y ? ( x ? 1)( x ? 1 ) .

?? ? ?? ? ? x ? cos ? ? x ? 的最小正周期为 ?4 ? ?4 ?

?

.

7.等差数列 ?an ? 中, a6 ? a7 ? a8 ? 12 ,则该数列的前 13 项的和 S13 ?

52

.

8.已知数列 ?an ? 是无穷等比数列,其前 n 项和是 Sn ,若 a2 ? a3 ? 2 , a3 ? a4 ? 1 ,

则 lim Sn 的值为
n??

16 3

.

?2 x ? y ? 0 ? y 9. 已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 5 ? 0 , z ?x ? 则 ?y ?1 ?
的最小值等于

?1

.

10.若一个圆锥的轴截面是边长为 4 cm 的等边三角形,则 这个圆锥的侧面积为 8?
n

cm2 .

11.二项式 ? x ? 1 ? 的展开式前三项系数成等差数列, ? ? 2 x? ?

主视图

左视图

8 则n ? . 12.如图所示,已知一个空间几何体的三视图,
俯视图
1/8

则该几何体的体积为

2? ?

2 3 3

.

13.非零向量 OA 与 OB ,对于任意的 t ? R, OA ? tOB 的最小值的几何意义 为点 A 到直线 OB 的距离 .

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

14. 1, 2, 3, 4, 5 共有 5! 种排列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,其中满足“对所有 k ? 1, 2, 3, 4, 5 都有 ak ? k ? 2 ”的不同排列有 54 种. 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 15.已知△ABC 两内角 A、B 的对边边长分别为 a、b, 则“ A ? B ”是“ a cos A ? b cos B ”的( A )

( A) 充分非必要条件
件 16.已知函数 f ( x ) ?

( B ) 必要非充分条件

(C ) 充要条件

( D) 非充分非必要条

( A) ?

1 2

1 1 ,若函数 y ? f ( x ? ) ? n 为奇函数,则实数 n 为( B ) 2 4 ?2 1 1 ( B) ? (C ) ( D) 0 4 4
x

17. x1 ,x2 ,x3 , ?,x2013 的方差为 3 , 3 x1 ,3 x2 ,3 x3 , ?,3 x2013 的方差为 D ) 若 则 (

( A) 3

( B) 9

(C ) 18

( D) 27

18 . 定 义 域 为 ? a, b? 的 函 数 y ? f ( x) 图 象 的 两 个 端 点 为 A, B , 向 量

???? ??? ? ??? ? ON ? ? OA ? (1 ? ?) OB ,
M ( x, y )是 f ( x) 图 象 上 任 意 一 点 , 其 中 x ? ? a ? (1? ?) b, ? ??0,1? . 若 不 等 式

MN ? k恒成立,
则称函数 f ( x ) 在 ? a, b? 上满足“ k 范围线性近似”,其中最小的正实数 k 称为该函数的线 性近似阀值. 下列定义在 ?1, 2? 上函数中,线性近似阀值最小的是 ( D )

( A) y ? x 2

( B) y ?

2 x

(C ) y ? sin

?
3

x

( D) y ? x ?

1 x

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 19.(本小题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分)

2/8















ABC ? A1B1C1


B1



A1

c1

A ? B

A? 1C 2 , ?A A ? 45? . ?ABC

(1)求直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积; (2)若 D 是 AC 的中点,求异面直线 BD 与 AC 所成的 1 角.
A D C

V 解: (1) ?

1 ?2?2?2 ? 4 ; ????????????? 2

B

6分

(2)设 M 是 AA1 的中点,连结 DM , BM ,? DM // AC , 1

??BDM 是异面直线 BD 与 AC 所成的角.???8 分 1
在 ?BDM 中, BD ? BM ? 5,
2 2

MD ? 2 ,
2

? 5? ? ? 2? ?? 5? cos ?BDM ?
2? 2 ? 5
即 ?BDM ? arccos

?

10 .?????????????10 分 10

10 10 .? 异面直线 BD 与 AC 所成的角为 arccos .???? 1 10 10

12 分 20.(本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知复数 z1 ? 2sin ? ? 3i, z2 ? 1 ? (2cos ? )i, (1)若 z1 ? z2 ? R ,求角 ? ; 值范围. 解 : ( 1 )

? ? ?0, ? ? .

(2)复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OZ1 , OZ2 ,其中 O 为坐标原点,求 OZ1 ? OZ2 的取

???? ???? ? ?

???? ???? ? ?

z1 ? z2 ? (2 sin ? ? 3i)?1 ? (2 cos? )i?

= (2 sin ? ? 2 3 cos? ) ? (2 sin 2? ? 3)i ? R ??2 分

? sin 2? ?

3 ??????????4 分 2

又 ? 0 ? 2? ? 2? ,? 2? ?

?

2 ? ? 或 ? , ? ? ? 或 ???????6 分 3 3 6 3

(2) OZ1 ? (2 sin ?, 3 OZ2 ? 1,2 cos? ) ? ), (

? OZ1 ? OZ2 ? 2 sin ? ? 2 3 cos? ? 4 sin(? ? ) ?????????10 分 3

3/8

??

?
3

?? ?

?
3

?

? ?2 3 ? 4 sin(? ?

?
3

2? 3



) ? 4 ?OZ1 ? OZ2 ? ? 2 3,4 ???14 分

?

?

21.(本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建一个占地面积为 S 的矩形 AMPN 健身场地,如图点 M 在 AC 上,点 N 在 AB 上, P 点在斜边 BC 上, 且 已知 ?ACB ? 60? 且 | AC |? 30 米,AM = x , ? [10,20] . x (1)试用 x 表示 S ,并求 S 的取值范围; (2)设矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为

37k ,再把矩形 AMPN 以外(阴影 S
B

部分)铺上草坪,每平方米的造价为

12k ( k 为正常数),求总造 S

价 T 关于 S 的函数 T ? f (S ) ;试问如何选取 | AM | 的长使总造价

T 最低(不要求求出最低造价).
? 解:(1)在 Rt?PMC 中,显然 | MC |? 30 ? x , ?PCM ? 60 ,

N

P

? | PM |?| MC | ? tan?PCM ? 3(30 ? x) ,?????
A M C

?2 分 矩形 AMPN 的面积 S ?| PM | ? | MC |? 3x(30 ? x) , x ?[10, 20] ?4 分 于是 200 3 ? S ? 225 3 为所求.???????6 分 (2) 矩形 AMPN 健身场地造价 T1 ? 37k S ???????????????7 分 又 ?ABC 的面积为 450 3 ,即草坪造价 T2 ?

12k (450 3 ? S ) ,?????8 分 S

由总造价 T ? T1 ? T2 ,? T ? 25k ( S ?

216 3 ) ,200 3 ? S ? 225 3 .?10 分 S

? S?

216 3 ? 12 6 3 ,????????????????????11 分 S 216 3 即 S ? 216 3 时等号成立, ???????????12 分 S

当且仅当 S ?

此时 3x(30 ? x) ? 216 3 ,解得 x ? 12 或 x ? 18 ,

4/8

所以选取 | AM | 的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低.?????????14 分 22.(本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 定义数列 {xn } ,如果存在常数 p ,使对任意正整数 n ,总有 ( xn?1 ? p)( xn ? p ) ? 0 成 立,那么我们称数列 {xn } 为“ p ? 摆动数列”.
n (1) an ? 2n ? 1,bn ? (? ) ,n ? N ? , 设 判断 {an } 、{bn } 是否为 p ? 摆动数列”, “

1 2

并说明理由; (2)设数列 {cn } 为“ p ? 摆动数列”, c1 ? p ,求证:对任意正整数 m, n ? N * ,总 有 c2n ? c2m ?1 成立; (3)设数列 { d n } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? (?1)n ? n ,试问:数列 { d n } 是否为“ p ? 摆动数列”,若是,求出 p 的取值范围;若不是,说明理由. 解:(1)假设数列 {an } 是“ p ? 摆动数列”,即存在常数 p ,总有 2n ? 1 ? p ? 2n ? 1 对 任意 n 成立, 不妨取 n ? 1 时,则 1 ? p ? 3 ,取 n ? 2 时,则 3 ? p ? 5 ,显然常数 p 不存在, 所以数列 {an } 不是“ p ? 摆动数列”;????????????????2 分 而数列 {bn } 是“ p ? 摆动数列”, p ? 0 .
n 2 n ?1 ? 0 对任意 n 成立, 由 bn ? (? ) ,于是 bnbn ?1 ? (? )

1 2

1 2

所以数列 {bn } 是“ p ? 摆动数列”.?4 分 (2)由数列 {cn } 为“ p ? 摆动数列”, c1 ? p , 即存在常数 p ,使对任意正整数 n ,总有 (cn ?1 ? p)(cn ? p) ? 0 成立. 即有 (cn ? 2 ? p)(cn ?1 ? p) ? 0 成立.则 (cn ? 2 ? p)(cn ? p) ? 0 ,???????6 分 所以 c1 ? p ?? c3 ? p ? ? ? c2m?1 ? p ,??????????????7 分 同理 (c2 ? p)(c1 ? p) ? 0 ? c2 ? p ? c4 ? p ? ? ? c2n ? p ,??????8 分 所以 c2 n ? p ? c2 m ?1 .????????????????????????9 分 因此对任意的 m, n ? N ,都有 c2n ? c2m ?1 成立.????????????10 分
*

5/8

(3)当 n ? 1 时, d1 ? ?1 , 当

n ? 2, n ? N ?





dn ? Sn ? Sn?1 ? (?1)n (2n ? 1)









dn ? (?1)n (2n ? 1) ????12 分
即存在 p ? 0 ,使对任意正整数 n ,总有 d n d n?1 ? (?1) 2n?1 (2n ? 1)(2n ? 1) ? 0 成立, 所以数列 {d n } 是“ p ? 摆动数列”;??????????????????14 分 当 n 为奇数时 dn ? ?2n ? 1 递减,所以 dn ? d1 ? ?1,只要 p ? ?1即可, 当 n 为偶数时 dn ? 2n ? 1递增, dn ? d2 ? 3 ,只要 p ? 3 即可.??????15 分 综上 ? 1 ? p ? 3 .所以数列 { d n } 是 p ? 摆动数列” p 的取值范围是 (?1,3) .??? “ , 16 分 23.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 10 分)

1 ? 2x, 0? x? ? ? 2 设函数 T ( x) ? ? 1 ?2(1 ? x), ? x ? 1 ? ? 2
(1)求函数 y ? T ( x2 ) 和 y ? ?T (x)? 的解析式;
2

(2)是否存在实数 a ,使得 T ( x)+a ? T ( x ? a) 恒成立,若存在,求出 a 的值,若不
2

存在,请说明理由;
? (3)定义 Tn?1 ( x) ? Tn (T ( x)) ,且 T1 ( x) ? T ( x) , n ? N

?

?

① 当 x ? ? 0,

? ?

1 ? 时,求 y ? T4 ( x) 的解析式; 16 ? ?
当 x??

已知下面正确的命题:

? i ?1 i ? 1 ? ? 1 , ? 时 ( i ? N ,? i ? 15) , 都 有 ? 16 16 ?

i T4 ( x) ? T4 ( ? x) 恒成立. 8
② 若方程 T4 ( x) ? k x 恰有 15 个不同的实数根,确定 k 的取值;并求这 15 个不同的 实数根的和.

6/8

? 2 ? 2 2? x ???2 x ? 2 ,2 ? ? ? ? ? 2 解: (1)函数 y ? T ( x ) ? ? ? 2? ? 2 ? ? 2 1 ?2(1 ? x ) x ? ?-1 , 2 ? ? ? 2 ,? ? ? ? ? ?

函数 y ? ?T ( x) ?

2

? 2 ? 4x ? ?? ?4(1 ? x) 2 ? ?

? 1? x ? ?0 , ? ? 2? ?????????????4 分 ?1 ? x ? ? , 1? ?2 ?



2



1 ? 2 0? x? ?2 x ? a , ? 2 T ( x) ? a 2 ? ? ?2(1 ? x) ? a 2 , 1 ? x ? 1 ? ? 2



1 ? 0? x?a? ? 2 x ? 2a, ? 2 T ( x ? a) ? ? ??6 分 1 ?2(1 ? x ? a), ? x ? a ? 1 ? ? 2
则当且仅当 a2 ? 2a 且a2 ? ?2a 时,即 a ? 0 . 综上可知当 a ? 0 时,有 T ( x) ? a ? T ( x ? a) ? T ( x) 恒成立.?????8 分
2

(3)① 当 x ? ? 0,

? ?

1 ? ? 1 ? 时,对于任意的正整数 j ? N ,? j ? 3 , 16 ?
1 , 故有 y ? T4 ( x) ? T3 (2x) ? T2 (22 x) ? T1 (23 x) ? 16x .??13 2

j 都有 0 ? 2 x ?

分 ② 由①可知当 x ? ? 0,

? ?

1 ? 时,有 T4 ( x) ? 16x ,根据命题的结论可得, 16 ? ?
时,

当 x??

? 1 2 ? ? 0 2 ? , ? , ? 16 16 ? ? 16 16 ? ? ? ?
1 8 1 8

1 ? 0 1 ? ? 0 2 ? ? x?? , ? ? ? , ? , 8 ? 16 16 ? ? 16 16 ?

故有 T4 ( x) ? T4 ( ? x)=16( ? x) ? ?16x ? 2 , 因此同理归纳得到,当 x ? ?

? i i ?1 ? , ( i ? N, ? i ? 15) 时, 0 ? 16 16 ? ?

7/8

? 4 1 1 ?2 x ? i, i 是偶数 ???????15 分 T4 ( x) ? (?1)i (24 x ? i ? ) ? = ? 4 2 2 ??2 x ? i ? 1,i 是奇数 ?

? 2i ? 1? ? (?1) ? i i ?1 ? x?? , ? 时, 解方程 T4 ( x) ? kx 得, x ? 32 ? (?1)i 2k ? 16 16 ?
要使方程 T4 ( x) ? kx 在 x?? 0,1 ? 上恰有 15 个不同的实数根,

i

则必须

? 2 ?14 ? 1? ? (?1)14 ? ? 2 ?15 ? 1? ? (?1)15
32 ? (?1) 2k
14

32 ? (?1) 2k
15

解得 k ?

16 15

方程的根 xn ?

? 2n ?1? ? (?1)n
32 ? (?1) 2k
n

( n ? N ?,? n ? 15) ?????????17 分 1

这 15 个不同的实数根的和为:

S ? x1 ? x2 ? ? ? x14 ? x15
? 0+2+4+6+8+10+12+14 2+4+6+8+10+12+14 225 .????18 分 + ? 16 16 32 1616+ 15 15

8/8


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