湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 1.4.2正弦、余弦函数的性质教案 新人教A版必修4

1.4.2 正弦、余弦函数的性质
教学目标： 1、知识与技能 掌握正弦函数和余弦函数的性质． 2、过程与能力目标 通过引导学生观察正、余弦函数的图像，从而发现正、余弦函数的性质，加深对性质 的理解．并会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间． 3、情感与态度目标 渗透数形结合思想，培养学生辩证唯物主义观点． 教学重点：正、余弦函数的周期性；正、余弦函数的奇 、偶性和单调性。 教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用；正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应 用。 正弦、余弦函数的性质(一) 教学过程： 一、复习引入： 1．问题： （1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？?? （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 2．观察正（余）弦函数的图象总结规律： 自变量

x
函数值

?2?
0

?

3? 2
1

??
0

?

? 2

0 0

? 2
1

?
0

3? 2
?1

2?
0

sin x

?1

y – 1
?2?

?5?

??

?

?
2

O

?
2

?

2?

5?

x

?1 –

正弦函数 f ( x) ? sin x 性质如下： （观察图象） 1? 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； 2? 规律是：每隔 2?重复出现一次（或者说每隔 2k?,k?Z 重复出现） 3? 这个规律由诱导公式 sin(2k?+x)=sinx 可以说明 结论：象这样一种函数叫做周期函数。 文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得； 符号语言： 当 x 增加 2k?（ k ? Z ） 时， 总有 f ( x ? 2k? ) ? sin( x ? 2k? ) ? sin x ? f ( x) ． 也即： （1）当自变量 x 增加 2k? 时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意 x ， sin( x ? 2k? ) ? sin x 恒成立。

1

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、讲解新课： 1．周期函数定义：对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每 一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数，非零常 数 T 叫做这个 函数的周期。 问题： （1）对于函数 y ? sin x ， x ? R 有 sin(

?
6

?

2? ? 2? ) ? sin ，能否说 是它的周期？ 3 6 3

x ? R 是不是周期函数， k ?Z （2） 正弦函数 y ? sin x ， 如果是， 周期是多少？ （ 2k? ，
且k ? 0） （3）若函数 f ( x ) 的周期为 T ，则 kT ， k ? Z 也是 f ( x ) 的周期 吗？为什么？
*

（是，其原因为： f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ? ? ? f ( x ? kT ) ）

2、说明：1?周期函数 x?定义域 M，则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无上界；T<0 则定义 域无下界； 2?“每一个值”只要有一个反例，则 f (x)就不为周期函数（ 如 f (x0+t)?f (x0)） 3?T 往往是多值的（如 y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期）周期 T 中最小 的正数叫做 f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2? （一般称为周期） 从图象上可以看出 y ? sin x ， x ? R ； y ? cos x ， x ? R 的最小正周期为 2? ； 判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （ f ( x) ? c 没有最小正周期）

3、例题讲解 例 1 求下列三角函数的周期： ① y ? 3 cos x ② y ? sin 2 x （3） y ? 2 sin( x ?

1 2

?
6

)，

x? R．
解： （1）∵ 3cos( x ? 2? ) ? 3cos x ，

x ? R 的值才能重复出现， ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? 2? ， 函数 y ? 3cos x ，
所以，函数 y ? 3cos x ， x ? R 的周期是 2? ． （2）∵ sin(2 x ? 2? ) ? sin 2( x ? ?) ? sin 2 x ， ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? ? ，函数 y ? sin 2 x ， x ? R 的值才能重复出现， 所以，函数 y ? sin 2 x ， x ? R 的周期是 ? ．

2

（3）∵ 2sin(

1 ? 1 ? 1 ? x ? ? 2? ) ? 2sin[ ( x ? ?) ? ] ? 2sin( x ? ) ， 2 6 2 6 2 6

∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? ? ， 函数 y ? sin 2 x ，x ? R 的值才能重复出现， 所以，函数 y ? sin 2 x ， x ? R 的周期是 ? ． 练习 1。求下列三角函数的周期： 1? y=sin(x+
? ) 3

2? y=cos2x

3? y=3sin(

x ? + ) 2 5

解：1? 令 z= x+

? 而 sin(2?+z)=sinz 3 ? ? ]=f (x+ ) 3 3

即：f (2?+z)=f (z) ∴周期 T=2?

f [(x+2)?+

2?令 z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x+2?)=cos[2(x+?)] 即：f (x+?)=f (x) ∴T=? 3?令 z=
x ? x ? + 则：f (x)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin( + +2?) 2 5 2 5

=3sin(

x ? 4? ? ? )=f (x+4?) 2 5

∴T=4?

思考：从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关？

x?R 说明： （1） 一般结论： 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) ， （其中 A, ? , ?
为常数，且 A ? 0 ， ? ? 0 ）的周期 T ?

2?

?

；

（2） 若? ? 0 ， 如： ① y ? 3cos(? x) ； ② y ? sin(?2 x) ； ③ y ? 2 sin( ? 则这三个函数的周期又是什么？

1 ? x ? ) ，x ? R ． 2 6

一般结论：函数 y ? Asin(?x ??) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) ， x ? R 的周期 T ? 思考： 求下列函数的周期： 1?y=sin(2x+ 解： 1? y1=sin(2x+

2? |? |

? ? )+2cos(3x- ) 4 6
y2=2cos(3x-

2? y=|sinx|
? 2? ) 最小正周期 T2= 3 6

? ) 最小正周期 T1=? 4

∴T 为 T1 ,T2 的最小公倍数 2? ∴T=2? 2? T=? 作图 -? 三、巩固与练习 P36 面 四、小 结：本节课学习了以下内容： 周期函数的定义，周期，最小正周期 五、课后作业：
??

y 1 o 1

?

2?

3?

x

3

正弦、余弦函数的性质(二) 教学过程： 一、复习引入： 偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？ 二、讲解新课： 1. 奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？ (1)余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时，函数 y 取同一值。 例如：f(-

? 1 ? 1 ? ? )= ,f( )= ,即 f( - )=f( )；?? 3 2 3 2 3 3

由于 cos(－x)=cosx

∴

f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数 y=cosx 的图象上的任一点,那么, 与它关于 y 轴的对称点(-x,y)也在函数 y=cosx 的图象上，这时，我们说函 数 y=cosx 是偶 函数。 (2)正弦函数的图形 观察函数 y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对 称。 也就是说，如果点（x,y）是函数 y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点 （-x,-y）也在函数 y=sinx 的图象上，这时，我们说函数 y=sinx 是奇函数。 2.单调性 从 y＝sinx，x∈［－ 当 x∈［－

? 3?
2 , 2

］的图象上可看出：

? ? ， ］时，曲线逐渐上升，sinx 的值由－1 增大到 1 . 2 2 ? 3? 当 x∈［ ， ］时，曲线逐渐下降，sinx 的值由 1 减小到－1. 2 2
结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－

? ? ＋2kπ ， ＋2kπ ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－ 2 2 ? 3? 1 增大到 1；在每一个闭区间［ ＋2kπ ， ＋2kπ ］(k∈Z)上都是减函数， 2 2

其值从 1 减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π ，2kπ ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1 增加到 1； 在每一个闭区间［2kπ ，(2k＋1)π ］(k∈Z)上都是减函数，其值从 1 减小到 －1. 3.有关对称轴 观察正、余弦函数的图形，可知

4

y=sinx 的对称轴为 x= k? ?

?
2

k∈Z

y=cosx 的对称轴为 x= k?

k∈Z

练习 1。 （1）写出函数 y ? 3 sin 2 x 的对称轴； （2） y ? sin( x ? (A) x 轴， 思考：P46 面 11 题。 4.例题讲解 例 1 判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ?

?
4

) 的一条对称轴是（ C ）

(B) y 轴， (C) 直线 x ?

?
4

，

(D) 直线 x ? ?

?
4

1 ? sin x ? cos x ; 1 ? sin x ? cos x

(2) f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x );

例2

函数 f(x)＝sinx 图象的 对称轴是

；对称中心是

.

例 3．P38 面例 3 例 4 不通过求值，指出下列各式大于 0 还是小于 0；

10 1 ? 例 5 求函数 y ? 2 sin( x ? ) 的单调递增区间； 2 3 ? 1 x ? [?2? ,2? ] 的单调递增区间吗？ 思考：你能求 y ? sin( ? x) 3 2
练 习 2：P40 面的练习 三、小 结：本节课学习了以下内容：正弦、余弦函数的性质 1． 单调性 2． 奇偶性 3． 周期性 四、课后作业：

① sin( ?

?
18

) ? sin( ?

?

)

② cos( ?

23 17 ? ) ? cos( ? ? ) 5 4

5