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新课标教案

幂函数

数学的内在美常常让我深深感动 欣赏运算的完美性:
1 我们来看看由8、2、3、 这四个数 3 运用数学符号可组成哪些等式?

8?2
3 ? log2 8

3

2?8

1 3

函数的完美

追求
我们知道: N ? 1.如果 a 一定,N 随 b 的变化而变化, x 我们建立了指数函数 y ? a ; 2.如果 a 一定, b 随 N 的变化而变化, 我们建立了对数函数: y ? log a x。

a

b

设想:如果b一定,N随a的变化而变化,
是不是也应该可以确定一个函数呢?

函数的生活实例
问题1:如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克, 那么她需要付的钱数p = w元, 这里p是w的函数。 问题2:如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 是S = a? 这里S是a的函数。 , 问题3:如果正方体的边长为a,那么正方体的体积 是V = a? 这里V是a的函数 。 , 问题4:如果正方形场地的面积为S,那么正方形的 1 边长a= S 2 ,这里a是S的函数 。 问题5:如果某人t s内骑车行进了1km,那么他骑 ?1 车的平均速度v = t km/s,这里v是t的函数 。

一 幂函数的定义:
我们把形如:

y?x

?

的函数称为幂函数,其中 ? 是实常数。 ------为了研究方便,我们只对 ? 是 有理数的情况进行一些讨论

研究几个具体的幂函数
例1 求下列函数的定义域,判断 它们的奇偶性:

(1) y ? x (3) ? x y

1 2

(2) y ? x

?2

3 5

重点研究 幂函数在第一象限的图象
因为函数的奇偶性能够帮助 我们完成左半平面内的图象,所 以只需要研究它们在第一象限内 的图象

二 幂函数在第一象限的图象
?

利用Excel作出下列幂函数在第 一象限的图象

( )y ? x 和y ? x 1
2
1 2

3
1 3

(2)y ? x 和y ? x
?1 2

(3)y ? x , y ? x 和y ? x

?2

?1

观察(一)
3

y?x

3

y?x

2

2

1

0 0 1 2 3

观察(二)
3

2

y?x y?x

1 2

1 3

1

0 0 1 2 3

观察(三)
3

2

1

0 0 1 2

y?x ?1 y ? x?2 y?x 3

?1 2

观察(四)
?

通过计算机快速作图,我们观察到 更多的幂函数图象。请注意幂函数 的指数变化,带来的幂函数图形的 变化

观察(五)
?

把图象的变化“记录”下来

小组讨论,归纳
——通过对图象位置变化的观 察,我们可以发现哪些规律性 的结论?

归纳
幂函数图象在第一象限的分布情况:

? ?1
? ?0
0 ?? ?1

0 ?? ?1

? ?1

? ?0

在上 (1,??) 任取一点 作 x 轴的 垂线,与 幂函数的 图象交点 越高, ? 的值就越 大。

归纳
幂函数图象在第一象限的性质:

? ? 0 ,图象都过定点 0,)和( 1,); ( 0 1
在区间[0, ?)上单调递增 ? .

? ? 0, 图象都过定点 1,); ( 1
在区间(0, ?)上单调递减 ? .

知识理解、运用
如图是幂函数y ? x 在第一象限的图象, 1 已知? ? ?2, ,则 c1 , c2 , c3 , c4的?依次为 ? 2 y 1 1 ( A) ? 2,? , , 2 c1 2 2 1 1 c2 ( B ) 2, ,? ,?2 2 2 c3 1 1 (C ) ? ,?2, 2, c4 2 2 x 1 1 ( D ) 2, , ? 2, ? 2 2
2 1 0 0 1 2

?

图象性质应用(奇偶性和单调性)
1.画出幂函数 y ? x 的图象,并指出它
的单调性
1 3

2.比较下列各组数的大小.
(1) 1.5 ,1.7 ,1 (2) (? 2) ,(? 3) ,(? 5)
3 7 3 7 3 7

1 3

1 3

小结:
? ?

?

?

1.学习了幂函数的概念; 2.利用“还原根式”求幂函数定义域 的方法; 3.利用幂函数在第一象限内的图象特 征,并会根据奇偶性完成整个函数 的图象。 4.利用函数的单调性比较几个“同指 数不同底数”的幂的大小.

课后作业
(1)若(a+1)-2>(3-2a)-2,求实数a 的取值范围。 m2-2m-3(m∈N) (2)已知幂函数y=x 的图像与x轴、y轴都没有公共点, 且关于y轴对称,求m的值。

问题探究:
整数m, n的奇偶性与幂函数 y ? x (m, n ? Z , 且m, n互质)的定 义域以及奇偶性有什么 关系?
m n


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