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4-2 曲面立体-截交线


§4-2 截交线

这类形体 的三视图 如何绘制?

§4-2 截交线

§4-2 截交线
0、概述 1、平面切割圆柱体

2、平面切割圆锥体
3、平面切割球 4、综合举例

§4-2 截交线

一、概述(曲面切割体)
曲面切割

体——曲面立体被平面切去某些部分后的形体。

基本体被平面截切后,在表面上出现了新的表面(截断面)和交线(截交线)

截平面 截平面:用于截切立体的平面。 截交线:平面与立体表面的交线。 截断面(断面):由截交线围成的平面图形。 截断面
§4-2 截交线

截交线

一、概述(曲面切割体)

曲面切割体上截交线的特点: ? 共有线

曲面切割体上截断面的特点:
?平面、封闭 即每个截断面都是平面封闭图形

?有直线、有曲线
? 绘制基本形体各表面 ? 绘制每个截断面 ? 擦除被切除的表面及边
§4-2 截交线

绘制曲面切割体三视图的基本思路:(思路同平面切割体)

重点二、画曲面切割体三视图的步骤
1、分析 (1)分析切割体被切割前的基本体是圆柱、 圆锥还是球。 (2)分析截平面相对于投影面的位置以及 是在立体的哪个部位上切割的。 (3)分析被切割后立体表面上产生了哪些 新的表面和交线, (4)分析所产生的表面和交线相对于投影 面的位置和它们的投影特点 。 2、画未切基本体的三视图 3、分别按截切顺序依次画出截切后所产生的 各表面(包括两个截平面相交的交线的投影) 4、修改描深完成切割体的三视图。

1、分析 (1)形体分析(什么形体) (2)位置分析(在哪里切)

步骤仅红字部分与 平面切割体不同

(3)截交线截断面分析 (各截断面什么形状) (4)投影分析 (各截断面投影是什么) 2、画未切形体三视图 3、逐个截断面处理 (平面封闭图形) 4、擦除、检查、描深。

§4-2 截交线

§4-2 截交线
0、概述 1、平面切割圆柱体

2、平面切割圆锥体
3、平面切割球 4、综合举例

§4-2 截交线

1、平面切割圆柱体
平面与圆柱表面的交线,因平面与圆柱轴线的相对位置不 同而有不同的形状。 (1)当截平面平行于圆柱轴线时,截交线是矩形;
截平面与 底面交线

平行于柱 轴的直线

PH

§4-2 截交线

1、平面切割圆柱体
(2)当截平面垂直于圆柱轴线时,截交线是一个圆;

QV

与圆柱等 直径的圆

§4-2 截交线

1、平面切割圆柱体
(3)当截平面倾斜于圆柱轴线且完全与柱面相交时,截交线 是一个椭圆,且椭圆的短轴等于圆柱的直径;
RV

椭圆

椭圆的短轴与 圆柱直径相等

§4-2 截交线

1、平面切割圆柱体
在没有积聚性的投影面上,截交线的投影一般仍为椭圆。 1)当α=45°时,截交线的投影是圆; 2)当α>45°时或α<45°时,截交线的投影是椭圆。
α α α

RV PV QV

α<45°
§4-2 截交线

α=45°

α>45°

1、平面切割圆柱体
(4)当截平面倾斜于圆柱轴线且与底面相交时,截交线是由 直线段和椭圆弧围成的平面图线。
RV

直线段

椭圆弧

§4-2 截交线

1、平面切割圆柱体
例1 求正垂面P与直立正圆柱面的截交线。
PV

短轴

长轴
§4-2 截交线

1、平面切割圆柱体
例1 求正垂面P与直立正圆柱面的截交线。
PV

分析: 截平面是正垂面,截交线的正面 投影与随正垂面积聚为直线;则其侧 面投影待求。
方法——表面取点法或利用长、 短轴作图。
§4-2 截交线

1、平面切割圆柱体
例1 求正垂面P与直立正圆柱面的截交线。
PV 5'(6') 1'(2') 7'(8') 2 6 3 7 3' 6” 2” 8” 4' 8 4 4” 7” 3” 5” 1”

作图:
(1)求特殊点; (2)取一般点; (3)判断可见性,连线;

1

5

(4)利用换面法求实形。

§4-2 截交线

1、平面切割圆柱体
例2 完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。

分析: 1.形体分析 2.位置分析 3.截断面分析 4.投影分析
§4-2 截交线

1、平面切割圆柱体
例2 完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。

分析: 1.空间分析 2.位置分析 3.截断面分析 4.投影分析
§4-2 截交线

1、平面切割圆柱体
例2 完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。

1'(4') 2'(3') 3” 2” 4” 1”


最前、最后的 素线没有被截 切,仍完整 作图:

Ⅰ Ⅱ

4(3)

(1)标记截交线的顶点;

(2)求侧平面的水平投影;
(3)求ⅠⅡ、ⅢⅣ的侧面投影; (4)求圆弧及水平面的侧面投影;
1(2)
§4-2 截交线

(5)完成作图。

1、平面切割圆柱体
例3 完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。

分析: 1.形体分析 2.位置分析 3.截断面分析
§4-2 截交线

1、平面切割圆柱体
例3 完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。

分析: 4.投影分析。

§4-2 截交线

1、平面切割圆柱体
例3 完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。
Ⅳ 1'(4') 4” 1” 2” Ⅲ Ⅰ Ⅱ

2'(3')

3”

作图:
4(3)

(1)标记截交线的顶点; (2)求侧平面的水平投影; (3)求ⅠⅡ、ⅢⅣ的侧面投影; (4)求圆弧及水平面的侧面投影;

1(2)
§4-2 截交线

1、平面切割圆柱体
例3 完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。
1'(4') 4” 1” 2”

2'(3')

3”

圆弧侧 面投影 可见 最前、最后的 素线被截切到, 已不完整 作图:

Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ

4(3)

(1)标记截交线的顶点; (2)求侧平面的水平投影; (3)求ⅠⅡ、ⅢⅣ的侧面投影; (4)求圆弧及水平面的侧面投影;

1(2)
§4-2 截交线

(5)完成作图。

1、平面切割圆柱体
例4 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。

分析: 1.形体分析 2.位置分析 3.截断面分析
§4-2 截交线

1、平面切割圆柱体
例4 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。

分析:

4.投影分析。

§4-2 截交线

1、平面切割圆柱体
例4 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
1'(4')(5')(8') 2'(3')(5')(6') 7” Ⅷ Ⅶ Ⅴ Ⅳ Ⅰ Ⅵ Ⅲ Ⅱ

8” 5”
6”

4” 1” 2”

3”

内外圆柱面上 最前、最后的 素线没有被截 切,仍完整 作图:

(1)标记截交线的顶点;
8(7) 5 (6) 4(3) 1(2)
§4-2 截交线

(2)求侧平面的水平投影; (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影;

(4)求圆弧及水平面的侧面投影; (5)完成作图。

1、平面切割圆柱体
例4 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
1'(4')(5')(8') 2'(3')(5')(6') 7” Ⅷ Ⅶ Ⅴ Ⅳ Ⅰ Ⅵ Ⅲ Ⅱ

8” 5”
6”

4” 1” 2”

3”

内外圆柱面上 最前、最后的 素线没有被截 切,仍完整 作图:

(1)标记截交线的顶点;
8(7) 5 (6) 4(3) 1(2)
§4-2 截交线

(2)求侧平面的水平投影; (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影;

(4)求圆弧及水平面的侧面投影; (5)完成作图。

1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。

分析: 1.形体分析; 2.位置分析 3.截断面分析
§4-2 截交线

1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。

分析: 4.投影分析。

§4-2 截交线

1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
Ⅷ 1'(4')(5')(8') 8” 5” 4” 1” 2” Ⅶ Ⅴ Ⅵ Ⅳ Ⅰ Ⅲ Ⅱ

6”
2'(3') (6')(7') 7” 3”

作图:
8(7) 5(6) 4(3) 1(2)
§4-2 截交线

(1)标记截交线的顶点; (2)求侧平面的水平投影; (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影;

1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
Ⅷ 1'(4')(5')(8') 8” 5” 4” 1” 2” Ⅶ Ⅴ Ⅵ Ⅳ Ⅰ Ⅲ Ⅱ

6” 2'(3') (6')(7')
7” 3”

作图:
8(7) 5(6) 4(3) 1(2)
§4-2 截交线

(1)标记截交线的顶点; (2)求侧平面的水平投影; (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影; (4)求圆弧及水平面的侧面投影;

1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
1'(4')(5')(8') 8” 5” 4” 1” 2”

外圆柱面上 圆弧的侧面 投影可见

Ⅷ Ⅶ

Ⅴ Ⅵ Ⅳ Ⅰ Ⅲ Ⅱ

6” 2'(3') (6')(7')
7” 3”

作图:
8(7) 5(6) 4(3) 1(2)
§4-2 截交线

(1)标记截交线的顶点; (2)求侧平面的水平投影; (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影; (4)求圆弧及水平面的侧面投影; (5)完成作图。

1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
Ⅷ 1'(4')(5')(8') 8” 5” 4” 1” 2” Ⅶ Ⅴ Ⅵ Ⅳ Ⅰ Ⅲ Ⅱ

6” 2'(3') (6')(7')
7” 3”

作图:
8(7) 5(6) 4(3) 1(2)
§4-2 截交线

(1)标记截交线的顶点; (2)求侧平面的水平投影; (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影; (4)求圆弧及水平面的侧面投影; (5)完成作图。

1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
Ⅷ 1'(4')(5')(8') 8” 5” 4” 1” 2” Ⅶ Ⅴ Ⅵ Ⅳ Ⅰ Ⅲ Ⅱ

6” 2'(3') (6')(7')
7” 3”

作图:
8(7) 5(6) 4(3) 1(2)
§4-2 截交线

(1)标记截交线的顶点; (2)求侧平面的水平投影; (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影; (4)求圆弧及水平面的侧面投影; (5)完成作图。

2、平面切割圆锥体
平面与圆锥体表面的交线,因平面与圆锥轴线的相对位置 不同而有不同的形状,可能的情况有五种。
截交线 过锥顶的等 的名称 腰三角形 立 体 图 过锥顶β<α
PV





椭圆或椭圆 弧与直线段

抛物线或抛物 双曲线或双曲 线与直线段 线与直线段

β=90°
PV

β>α
PV

β=α
PV

β<α

投 影 图
β α

PH

§4-2 截交线

2、平面切割圆锥体
例6 求正垂面与直立正圆锥体的截交线。

PV

分析:

截交线为椭圆;正面投影积聚为直线段,另两 面投影为椭圆的类似形。
方法——可通过求类似形椭圆的长、短轴作椭 圆投影,也可以利用表面取点法精确作图。
§4-2 截交线

2、平面切割圆锥体
例6 求正垂面与直立正圆锥体的截交线。
短轴
a'b' e'(f')
中点

a' PV f” d”

a” e” c” b” F D

A E C B

c'(d')

b'

作图:
d f a c e
§4-2 截交线

长轴

b

(1)特殊点:最高点A、最低点B、最 前点C、最后点D ; (2)特殊点:转向轮廓线上的点E、F ; (3)一般点;

2、平面切割圆锥体
例6 求正垂面与直立正圆锥体的截交线。
短轴
a'b' e'(f')
中点

a' PV f” d”

a” e” c” b” F D

A E C B

c'(d')

b'

作图:
d f a c e
§4-2 截交线

长轴

b

(1)特殊点:最高点A、最低点B、最 前点C、最后点D ; (2)特殊点:转向轮廓线上的点E、F ; (3)一般点; (4)判断可见性,连线。

2、平面切割圆锥体
PV PV PV

(a)

(b)

(c)

当截平面为正垂面而截交线又为椭圆时,它的水平投影总 是椭圆,并且长轴总是对应着长轴、短轴对应着短轴。 但其侧面投影的长、短轴可能互换(如图b所示),也可能 长、短轴相等而为圆(如图c所示),须视截平面对H面倾角的 大小而定。
§4-2 截交线

3、平面切割圆球体
圆球有无穷多条回转轴线,故它与平面的截交线总是圆。 当截平面为投影面平行面时,截交线的三投影为一个圆与 两条直线段。
PV QV

截平面为水平面
§4-2 截交线

截平面为侧平面

3、平面切割圆球体
例7 完成半球切槽的水平投影和侧面投影。

分析: 切槽由一对侧平面和水平面组成,截平面与圆球面的交线都是圆。 方法——纬圆法。 §4-2 截交线

3、平面切割圆球体
例7 完成半球切槽的水平投影和侧面投影。

分析: 切槽由一对侧平面和水平面组成,截平面与圆球面的交线都是圆。 方法——纬圆法。 §4-2 截交线

3、平面切割圆球体
例7 完成半球切槽的水平投影和侧面投影。

Δy

作图:

(1)求截交线的水平投影;
(2)求截交线的侧面投影;
§4-2 截交线

3、平面切割圆球体
例7 完成半球切槽的水平投影和侧面投影。

Δy

作图:

(1)求截交线的水平投影;
注意:侧面投影图中,水平面 以上的球面轮廓线已不存在。
§4-2 截交线

(2)求截交线的侧面投影; (3)完成作图。

4、综合举例
例8 完成回转体表面截交线的正面投影。

分析:
QH

截平面为正平面;其正面投影表达实形,其 余两投影积聚为直线段。
方法——纬圆法。

§4-2 截交线

4、综合举例
例8 完成回转体表面截交线的正面投影。

分析:
QH

截平面为正平面;其正面投影表达实形,其 余两投影积聚为直线段。
方法——纬圆法。

§4-2 截交线

4、综合举例
例8 完成回转体表面截交线的正面投影。

4' 6'

1' 5' 7' P1V P2V 3'

1”

2'

2”(3”)

作图:
2 6 4 1 5 QH 7 3

(1)求特殊点; (2)求一般点; (3)判断可见性,连线。

§4-2 截交线

4、综合举例
例9 完成立体表面截交线的正面投影。
圆柱 环面 圆 球

分析:

两圆弧 的切点

立体的表面由同轴的圆柱面、内圆环面 和球面组成。 截交线为闭合的平面曲线,是正平面与 圆环面和球面相交得到的组合曲线。
§4-2 截交线

4、综合举例
例9 完成立体表面截交线的正面投影。

§4-2 截交线

4、综合举例
例9 完成立体表面截交线的正面投影。

§4-2 截交线

4、综合举例
例9 完成立体表面截交线的正面投影。
圆弧 两圆弧 的切点
3' 1' PV 4' 6' n'

非圆曲线
m' 5' 2' 3” 4”

Ⅴ Ⅲ Ⅰ


Ⅱ Ⅵ

两曲线 结合点

作图: (1)求特殊点(最左点Ⅰ、最 右点Ⅱ、曲线结合点Ⅴ与Ⅵ ); (2)求一般点;
1
§4-2 截交线

2

(3)判断可见性,连线。

4、综合举例
例10 完成立体表面截交线的投影。

p Q

§4-2 截交线

4、综合举例
例11 完成立体的投影。

§4-2 截交线

本节结束

§4-2 截交线

例1、圆柱切割体视图
1’ (2’) 2’’ 4’’ 3’’ 1’’

作图步骤:
3’ (4’)
1) 作平行于轴线的 截切面投影 2) 补全所缺投影

2 (4)

1

§4-2 截交线

(3)

回本节 回本讲

例2、圆柱切割体视图
c’
(f’) e’ f’’

c’’ d’

e’’

作图步骤:
b’’
1) 求特殊点。 2) 求一般位置点。 3) 依次光滑连接。

(d’)

b’
a’’

a’

4) 检查擦除多余图线

d

f

a

c

e b §4-2 截交线 回本节 回本讲

例3、圆锥切割体视图
2′
4′

2″
4″ 3″ 5″ 4″ 3″ 5″

3′ 5′ 1′

1″

3 5 1

4

2

5

3

4

§4-2 截交线

回本节 回本讲

例4、圆球切割体视图

水平面截切圆球,截交 线在俯视图上为部分圆弧, 在左视图上积聚为直线。

两个侧平面截切圆球,截 交线在左视图上为部分圆弧, 在俯视图上积聚为直线。
§4-2 截交线 回本节 回本讲


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