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2014-2015学年江苏省南京市高一(下)期末数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省南京市高一(下)期末数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.不等式 <0 的解集为 .

2.数列{an}是等比数列,若 a3=1,a5=4,则 a7 的值为 3.在△ ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a +b ﹣ 小为

. 4.点 P(3,﹣2)到直线 l:3x+4y﹣26=0 的距离为 5.函数 y=x+ (x>﹣1)的最小值为 .
2 2

. ab=c ,则角 C 的大
2



6.过点 P(﹣

,1) ,倾斜角为 120°的直线方程为



7.若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a8=2a3,则

的值是



8.若三条直线 ax+2y+8=0,4x+3y﹣10=0 和 2x﹣y=0 相交于一点,则实数 a 的值 为 . 9.下列命题: ①如果一条直线平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行; ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行; ③如果一条直线与平面内无数条直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直; ④如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直,那么这两个平面互相垂直. 其中正确的命题的序号为 . 10.已知经过 A(﹣1,a) ,B(a,8)两点的直线与直线 2x﹣y+1=0 平行,则实数 a 的值 为 . 11.在△ ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 bcosC+ccosB=csinA,则 大值为 .

的最

12.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 2cm 的半圆,则这个圆锥的体积为 3 cm .

13.已知 x>0,y>0,且 xy=x+2y,则 x+y 的最小值为
n * *



14.已知 an=3 ,bn=3n,n∈N ,对于每一个 k∈N ,在 ak 与 ak+1 之间插入 bk 个 3 得到一个 数列{cn}.设 Tn 是数列{cn}的前 n 项和,则所有满足 Tm=3cm+1 的正整数 m 的值 为 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分) (2015 春?南京期末)已知直线 l:x﹣2y+2m﹣2=0. (1)求过点(2,3)且与直线 l 垂直的直线的方程; (2)若直线 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积大于 4,求实数 m 的取值范围. 16. (14 分) (2015 春?南京期末)一副直角三角板(如图 1)拼接,将△ BCD 折起,得到 三棱锥 A﹣BCD(如图 2) . (1)若 E,F 分别为 AB,BC 的中点,求证:EF∥平面 ACD; (2)若平面 ABC⊥平面 BCD,求证:平面 ABD⊥平面 ACD.

17. (14 分) (2015 春?南京期末)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD= ∠ABD=60°,∠ADB=75°, ∠ADC=120°. (1)求 BD 的长; (2)求△ ABC 的面积.

,CD=



18. (16 分) (2015 春?南京期末)如图,用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间 堆放谷物.已知木板的长 BC 紧贴地面且为 4 米,宽 BE 为 2 米,墙角的两堵墙面所成二面 角为 120°,且均与地面垂直,如何放置木板才能使这个空间的体积最大,最大体积是多少?

19. (16 分) (2015 春?南京期末)已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S3=a4+4,且 a2,a6,a18 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= (3)设 cn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn; ,若{cn}为等差数列,求实数 t 的值.

20. (16 分) (2015 春?南京期末)设等比数列{an}的首项为 a1=2,公比为 q(q 为正整数) , 2 * 且满足 3a3 是 8a1 与 a5 的等差中项.数列{bn}的前 n 项和 Sn=n ,n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)若不等式 λbn≤Sn+6 对任意 n∈N*恒成立,求实数 λ 的取值范围;

(3)若 cn=

从数列{cn}中取出若干项(奇数项与偶数项

均不少于两项) , 将取出的项按照某一顺序排列后构成等差数列. 当等差数列的项数最大时, 求所有满足条件的等差数列.

2014-2015 学年江苏省南京市高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.不等式 <0 的解集为 (﹣1,0) .

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 不等式 <0,即 x(x+1)<0,由此求得它的解集. <0,即 x(x+1)<0,求得﹣1<x<0,

解答: 解:不等式

故答案为: (﹣1,0) . 点评: 本题主要考查分式不等式的解法,体现了转化的数学思想,属于基础题. 2.数列{an}是等比数列,若 a3=1,a5=4,则 a7 的值为 16 .

考点: 等比数列的性质;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等比数列的性质进行求解即可. 解答: 解:在等比数列中, 2 a3a7=(a5) , 即 a7=16, 故答案为:16 点评: 本题主要考查等比数列性质的应用,利用等比中项的性质是解决本题的关键.比较 基础. 3.在△ ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a +b ﹣ 小为 .
2 2

ab=c ,则角 C 的大

2

考点: 余弦定理.

专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理即可得出. 解答: 解:由余弦定理可得:cosC= ∵C∈(0,π) , ∴C= . . = = ,

故答案为:

点评: 本题考查了余弦定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 4.点 P(3,﹣2)到直线 l:3x+4y﹣26=0 的距离为 5 . 考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 把已知条件代入点到直线的距离公式,化简可得. 解答: 解:由题意结合点到直线的距离公式可得: 点 P(3,﹣2)到直线 l:3x+4y﹣26=0 的距离 d= = =5.

故答案为:5 点评: 本题考查点到直线的距离公式,属基础题.

5.函数 y=x+

(x>﹣1)的最小值为 7 .

考点: 专题: 分析: 解答:

基本不等式. 不等式的解法及应用. 变形利用基本不等式的性质即可得出. 解:∵x>﹣1,∴x+1>0. =(x+1)+ ﹣1 ﹣1=7,当且仅当 x=3 时取等号.

∴函数 y=x+

故答案为:7. 点评: 本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 6.过点 P(﹣ ,1) ,倾斜角为 120°的直线方程为 x+y+2=0 .

考点: 直线的点斜式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线的倾斜角求出斜率,用点斜式写出直线方程即可. 解答: 解:∵直线 l 的倾斜角为 120°, ∴直线的斜率为 k=tan120°=﹣ ,

又∵直线 l 过点(﹣3,1) , ∴直线 l 的方程为:y﹣1=﹣ (x+3) , 即 x+y+2=0, 故答案为: x+y+2=0 点评: 本题考查了求直线方程的问题,由直线的倾斜角可以得斜率,由斜率与一点可以写 出直线方程,是基础题.

7.若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a8=2a3,则

的值是 6 .

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由 a8=2a3,得出 a1=3d,再利用等差数列的前 n 项和的公式,即可得出结论. 解答: 解:由{an}为等差数列,且 a8=2a3, 得到 a1+7d=2(a1+2d) , ∴a1=3d, ∴ = =6,

故答案为:6. 点评: 本题考查学生掌握等差数列的通项公式及前 n 项和的公式,是一道中档题. 8. 若三条直线 ax+2y+8=0, 4x+3y﹣10=0 和 2x﹣y=0 相交于一点, 则实数 a 的值为 ﹣12 .

考点: 两条直线的交点坐标. 专题: 直线与圆. 分析: 联立 4x+3y﹣10=0, 2x﹣y=0, 解得 (x, y) , 由于三条直线 ax+2y+8=0, 4x+3y﹣10=0, 2x﹣y=0 相交于一点,把点代入 ax+2y+8=0,即可解得 a. 解答: 解:联立 4x+3y﹣10=0,2x﹣y=0, 得 ,

解得



∵三条直线 ax+2y+8=0,4x+3y﹣10=0,2x﹣y=0 相交于一点, ∴把点(1,2)代入 ax+2y+8=0,可得 a+4+8=0, 解得 a=﹣12. 故答案为:﹣12. 点评: 本题考查了直线的交点、方程组的解法,属于基础题 9.下列命题: ①如果一条直线平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行; ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行;

③如果一条直线与平面内无数条直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直; ④如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直,那么这两个平面互相垂直. 其中正确的命题的序号为 ②④ . 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: 对四个选项分别进行判断,即可得出结论. 解答: 解:①如果平面外一条直线平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平 行,故不正确; ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行,根据面面平行的判定定理可知正确; ③平面内无数条直线均为平行线时,不能得出直线与这个平面垂直,故不正确; ④如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直,那么这两个平面互相垂直,利用平面与 平面垂直度判定定理可知正确. 故答案为:②④. 点评: 本题主要考查了直线与平面平行的性质,直线与平面垂直的判定和平面与平面垂直 的判定.考查了基础知识的综合运用. 10.已知经过 A(﹣1,a) ,B(a,8)两点的直线与直线 2x﹣y+1=0 平行,则实数 a 的值 为 2 . 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 直线与圆. 由题设条件知,两直线平行故两直线的斜率相等,由此方程求 a 的值即可. 解:直线 2x﹣y+1=0 的斜率为 1, ,

由平行直线斜率相等得:2= ∴a=2

故答案为:2 点评: 本题考查两直线平行的条件,由斜率相等建立方程求参数,属于直线中的基本题型. 11.在△ ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 bcosC+ccosB=csinA,则 大值为 .

的最

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦,利用两角和公式化简求得 sinC 的 值进而求得 C,利用正弦定理将所求转化为 sin(A+ )即可求其最大值.

解答: 解:∵bcosC+ccosB=csinA, ∴由正弦定理可得:sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sinCsinA, ∵sinA≠0, ∴sinC=1,C= ,

∴利用正弦定理可得: ∴则 = sin(A+

= )的最大值为

=sinA+sinB=sinA+cosA= .

sin(A+

) ,

故答案为: . 点评: 本题主要考查了正弦定理,三角形内角和定理,三角函数恒等变换的应用,属于基 本知识的考查.
3

12. 若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 2cm 的半圆, 则这个圆锥的体积为

π

cm .

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用圆锥的侧面展开图,求出圆锥的底面周长,然后求出底面半径,求出圆锥的高, 即可求出圆锥的体积. 解答: 解:圆锥的侧面展开恰为一个半径为 2cm 的半圆, 所以圆锥的底面周长为:2πcm, 底面半径为:1cm,圆锥的高为: cm; 圆锥的体积:V= π?1 × 故答案为: π.
2

=

π.

点评: 本题是基础题,考查圆锥的侧面展开图,利用扇形求出底面周长,然后求出体积, 考查计算能力,常规题型. 13.已知 x>0,y>0,且 xy=x+2y,则 x+y 的最小值为 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: x>0,y>0,且 xy=x+2y,可得 y= ﹣2)+ >0,解得 x>2.变形 x+y=x+ =(x 3+2 .

+3,利用基本不等式的性质即可得出.

解答: 解:∵x>0,y>0,且 xy=x+2y, ∴y= 则 x+y=x+ >0,解得 x>2. =(x﹣2)+ +3 +3=3+2 ,当且仅当 x=2+ ,

y= =1 时取等号. ∴x+y 的最小值为 3+2 . 故答案为:3+2 . 点评: 本题考查了基本不等式的性质,考查了变形能力与计算能力,属于中档题.

14.已知 an=3 ,bn=3n,n∈N ,对于每一个 k∈N ,在 ak 与 ak+1 之间插入 bk 个 3 得到一个 数列{cn}.设 Tn 是数列{cn}的前 n 项和,则所有满足 Tm=3cm+1 的正整数 m 的值为 3 . 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意确定数列{cn}的项,然后分类求解满足 Tm=3cm+1 的正整数 m 的值. n 解答: 解:an=3 ,bn=3n, 由题意知,c1=a1=3,c2=c3=c4=3,c5=a2=9,c6=c7=c8=c9=c10=c11=3,c12=a3=27,…, 则当 m=1 时,T1=3≠3c2=9,不合题意; 当 m=2 时,T2=6≠3c3=9,不合题意; 当 m=3 时,T3=9=3c4=9,适合题意. 当 m≥4 时,若 cm+1=3,则 Tm≥12≠3cm+1,不适合题意, 从而 cm+1 必是数列{an}中的某一项 ak+1, 则 Tm=a1+3+3+3+a2+3+3+3+3+3+3+a3+3+…+3+a4+3+…+a5+3+…+a6+…+ak﹣1+3+…+ak, 2 3 k =(3+3 +3 +…+3 )+3[1+2+…+(k﹣1)] = 又 3cm+1=3ak+1=3×3 ∴
k+1

n

*

*

= , =3×3
k+1



,即 5×3 =k ﹣k﹣1,

k

2

上式显然无解. 即当 m≥4 时,Tm≠3cm+1, 综上知,满足题意的正整数 m 的值为 3. 故答案为:3. 点评: 本题考查等差、等比数列的前 n 项和公式,考查数列的分组求和,同时考查逻辑推 理能力,关键是对题意的理解,属有一定难度题目. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分) (2015 春?南京期末)已知直线 l:x﹣2y+2m﹣2=0. (1)求过点(2,3)且与直线 l 垂直的直线的方程; (2)若直线 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积大于 4,求实数 m 的取值范围. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的截距式方程. 专题: 不等式的解法及应用;直线与圆. 分析: (1)由直线 l:x﹣2y+2m﹣2=0 的斜率为 ,可得所求直线的斜率为﹣2,代入点斜 式方程,可得答案; (2)直线 l 与两坐标轴的交点分别为(﹣2m+2,0) , (0,m﹣1) ,则所围成的三角形的面 积为 ×|﹣2m+2|×|m﹣1|, 根据直线 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积大于 4, 构造不等式, 解得答案.

解答: 解: (1)∵直线 l:x﹣2y+2m﹣2=0 的斜率为 , ∴与直线 l 垂直的直线的斜率为﹣2,…(2 分) 因为点(2,3)在该直线上, 所以所求直线方程为 y﹣3=﹣2(x﹣2) , 故所求的直线方程为 2x+y﹣7=0. …(6 分) (2)直线 l 与两坐标轴的交点分别为(﹣2m+2,0) , (0,m﹣1) ,…(8 分) 则所围成的三角形的面积为 ×|﹣2m+2|×|m﹣1|.…(10 分) 由题意可知 ×|﹣2m+2|×|m﹣1|>4,化简得(m﹣1) >4,…(12 分) 解得 m>3 或 m<﹣1, 所以实数 m 的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) . …(14 分) 点评: 本题考查的知识点是直线的点斜式方程,直线与直线的交点,解不等式,是直线与 不等式的综合应用,难度中档. 16. (14 分) (2015 春?南京期末)一副直角三角板(如图 1)拼接,将△ BCD 折起,得到 三棱锥 A﹣BCD(如图 2) . (1)若 E,F 分别为 AB,BC 的中点,求证:EF∥平面 ACD; (2)若平面 ABC⊥平面 BCD,求证:平面 ABD⊥平面 ACD.
2

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用三角形中位线的性质,可得 EF∥AC,即可证明 EF∥平面 ACD; (2)若平面 ABC⊥平面 BCD,可得 CD⊥平面 ABC,CD⊥AB,因为 AB⊥AC,所以 AB⊥ 平面 ACD,即可证明:平面 ABD⊥平面 ACD. 解答: 证明: (1)因为 E,F 分别为 AB,BC 的中点,所以 EF∥AC. …(2 分) 又 EF?平面 ACD,AC?平面 ACD,所以 EF∥平面 ACD. …(6 分) (2)因为平面 ABC⊥平面 BCD,平面 ABC∩平面 BCD=BC, CD?平面 BCD,CD⊥BC,所以 CD⊥平面 ABC. …(8 分) 因为 AB?平面 ABC,所以 CD⊥AB. …(10 分) 又因为 AB⊥AC,AC∩CD=C,AC?平面 ACD,CD?平面 ACD, 所以 AB⊥平面 ACD. …(12 分)

又 AB?平面 ABD,所以平面 ABD⊥平面 ACD. …(14 分) 点评: 本题考查线面平行的判定,考查平面与平面垂直的判定与性质,考查学生分析解决 问题的能力,属于中档题. 17. (14 分) (2015 春?南京期末)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD= ∠ABD=60°,∠ADB=75°, ∠ADC=120°. (1)求 BD 的长; (2)求△ ABC 的面积. ,CD= ,

考点: 解三角形. 专题: 应用题;解三角形. 分析: (1)求出,∠ABD=60°,∠BAD=180°﹣60°﹣75°=45°,利用正弦定理,求 BD 的长; (2)利用△ ABD 的面积+△ BCD 的面积﹣△ ACD 的面积,即可求△ ABC 的面积. 解答: 解: (1)在△ ABD 中,AD= ,∠ABD=60°,∠BAD=180°﹣60°﹣75°=45°, 由正弦定理得 = ,所以 BD=2.…(4 分) ,BD=2,∠ADB=75°, .…(8 分)

(2)在△ ABD 中,AD=

所以△ ABD 的面积 S1= AD?BD?sin∠ADB=

又△ ACD 的面积 S2= AD?DC?sin∠ADC= ,…(10 分) △ BCD 的面积 S3=1.…(12 分) 所以△ ABC 的面积 S=S1+S3﹣S2= .…(14 分)

点评: 本题考查正弦定理,考查三角形面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于 中档题. 18. (16 分) (2015 春?南京期末)如图,用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间 堆放谷物.已知木板的长 BC 紧贴地面且为 4 米,宽 BE 为 2 米,墙角的两堵墙面所成二面 角为 120°,且均与地面垂直,如何放置木板才能使这个空间的体积最大,最大体积是多少?

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 方法一、设 AB=x 米,AC=y 米,所围成的直三棱柱空间的体积为 V 立方米,由体 积公式可得 V= xysin ?2= xy.再由余弦定理,结合重要不等式,可得 xy 的最大值,

进而得到体积的最大值; 方法二、设∠ABC=θ,所围成的直三棱柱空间的体积为 V 立方米.运用正弦定理,以及体 积公式,运用三角函数的化简,结合正弦函数的值域,即可得到最大值. 解答: 解法一:设 AB=x 米,AC=y 米,所围成的直三棱柱空间的体积为 V 立方米, 所以 V= xysin
2 2 2

?2=

xy. ,即 x +y +xy=16, ,
2 2

由题意得 4 =x +y ﹣2xycos
2 2

因为 x +y ≥2xy,所以 16≥2xy+xy,即 xy≤ 当且仅当 x=y= 所以 V≤ ? = 时,不等式取等号. .

答:当 AB=AC=

米时,所围成的直三棱柱空间最大,最大体积为

立方米.

解法二:设∠ABC=θ,所围成的直三棱柱空间的体积为 V 立方米. 由正弦定理得 = = ,

则 AC=

sinθ,AB=

sin(

﹣θ) , sinθ?sin( ﹣θ)× ×2

所以 V= AB?AC?sin = sinθ?sin(

?BE= ×

﹣ θ)

= =

sinθ×( sin(2θ+

cosθ﹣ sinθ)= )﹣ . <2θ+ = <

×[

sin2θ﹣(1﹣cos2θ)]

因为 0<θ<

,即

, 时,V 取得最大值 . 立方米.

所以当且仅当 2θ+ 答:当∠ABC=

,即 θ=

时,所围成的直三棱柱空间最大,最大体积为

点评: 本题考查基本不等式在最值问题中的运用,考查运算能力,属于中档题. 19. (16 分) (2015 春?南京期末)已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S3=a4+4,且 a2,a6,a18 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= (3)设 cn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn; ,若{cn}为等差数列,求实数 t 的值.

考点: 等差关系的确定;数列的求和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)求出首项与公差,可求求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= (3)设 cn= ,利用错位相减法求数列{bn}的前 n 项和 Tn; ,若{cn}为等差数列,则 2c2=c1+c3,即可求实数 t 的值.

解答: 解: (1) 设等差数列{an}的公差为 d (d≠0) , 由 S3=a4+4, 得 3a1+3d=a1+3d+4, 即 a1=2. 2 又 a2,a6,a18 成等比数列,∴(a1+5d) =(a1+d) (a1+17d) ,整理得:d=2, ∴an=2+2(n﹣1)=2n; (2)bn= ∴Tn=1+ + = +…+ ,



∴ Tn= +

+…+

+

两式相减,整理可得 Tn=4﹣ (3)Sn=2n+
2

; =n +n.

cn=

,若{cn}为等差数列,则 2c2=c1+c3,即 2

=

+

,∴t= .

点评: 本题考查等差数列的通项,考查数列的求和,考查学生的计算能力,属于中档题. 20. (16 分) (2015 春?南京期末)设等比数列{an}的首项为 a1=2,公比为 q(q 为正整数) , 2 * 且满足 3a3 是 8a1 与 a5 的等差中项.数列{bn}的前 n 项和 Sn=n ,n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)若不等式 λbn≤Sn+6 对任意 n∈N*恒成立,求实数 λ 的取值范围; (3)若 cn= 从数列{cn}中取出若干项(奇数项与偶数项

均不少于两项) , 将取出的项按照某一顺序排列后构成等差数列. 当等差数列的项数最大时, 求所有满足条件的等差数列. 考点: 数列的应用. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)通过 2×3a3=8a1+a5,进而计算即得结论; (2)通过 Sn=n 可知 b1=S1=1,bn=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1(n≥2) ,进而已知条件转化为 λ≤ 对一切 n∈N*恒成立,利用基本不等式计算即得结论; (3)通过(1) 、 (2)可知 cn= 奇数、一个是偶数,进而讨论即得结论. 解答: 解: (1)由题意得,2×3a3=8a1+a5, 2 4 则 6q =8+q ,…(2 分) 2 2 解得 q =4 或 q =2. 因为 q 为正整数,则 q=2. 又 a1=2,则 an=2 ,即数列{an}的通项公式为 an=2 . (2)当 n=1 时,b1=S1=1; 2 2 当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1=n ﹣(n﹣1) =2n﹣1, 当 n=1 时也符合,故 bn=2n﹣1. 不等式 λbn≤Sn+6 对一切 n∈N*恒成立,转化为 λ≤
n n 2

,易知取出的数列中相邻的项必定一个是

…(3 分) …(4 分)

…(6 分) 对一切 n∈N*恒成立.

记 T=

,令 2n﹣1=t(t>0) ,则 n=



T=

= (t+

+2)≥ (2

+2)= (2×5+2)=3,…(8 分)

当且仅当 t=

,即 t=5,n=3 时等号成立, …(10 分) ,

故 λ≤3,即实数 λ 的取值范围是(﹣∞,3]. (3)由(1) , (2)可知 cn=

设奇数项取了 s 项,偶数项取了 k 项,其中 s,k∈N*,s≥2,k≥2. 因为数列{cn}的奇数项均为奇数,偶数项均为偶数, 因此,若抽出的项按照某种顺序构成等差数列, 则该数列中相邻的项必定一个是奇数,一个是偶数.…(12 分) 假设抽出的数列中有三个偶数,则每两个相邻偶数的等差中项为奇数. 设抽出的三个偶数从小到大依次为 2 ,2 ,2 (1≤i<j<p) , 则 又 =2 =2
i﹣1 i j p j﹣1 j﹣1 i﹣1

+2 +2

为奇数,而 i≥1,j≥2,则 2

为偶数,2 与2
p﹣1

为奇数,所以 i=1.

j﹣1

p﹣1

为奇数,而 j≥2,p≥3,则 2

j﹣1

均为偶数,矛盾.

又因为 k≥2,所以 k=2,即偶数只有两项, 则奇数最多有 3 项,即 s+k 的最大值为 5. …(14 分) 设此等差数列为 d1,d2,d3,d4,d5,则 d1,d3,d5 为奇数,d2,d4 为偶数,且 d2=2. 由 d1+d3=2d2=4,得 d1=1,d3=3,此数列为 1,2,3,4,5. 同理,若从大到小排列,此数列为 5,4,3,2,1. 综上,当等差数列的项数最大时,满足条件的数列为 1,2,3,4,5 和 5,4,3,2,1.… (16 分) 点评: 本题考查数列的应用,考查分析问题、解决问题的能力,注意解题方法的积累,属 于中档题.


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